非線性薛定諤方程的幾種差分格式

孫傳志， 汪佳玲

(南京信息工程大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院， 江蘇 南京 210044)

1926年，物理學(xué)家薛定諤提出薛定諤方程，作為量子力學(xué)領(lǐng)域的基本方程，它對物理領(lǐng)域的研究具有深遠意義.隨著社會的發(fā)展進步，單純線性模型已經(jīng)不足以描述這個世界的所有現(xiàn)象，學(xué)者們將視線逐漸轉(zhuǎn)移到非線性模型的研究.20世紀70年代，在含非線性項的色散方程的研究中，Hasegawa推導(dǎo)出非線性薛定諤(nonlinear Schr?dinger equation，NLS)方程，廣泛應(yīng)用于應(yīng)用數(shù)學(xué)和量子力學(xué)等物理領(lǐng)域，如光脈沖在色散與非線性介質(zhì)中的傳輸，原子激光產(chǎn)生的Bose-Einstein凝聚效應(yīng)，電磁場中超導(dǎo)電子的運動等.

NLS方程的一般形式為iut+uxx+β|u|2u=0.其中，β為實常數(shù)；i為虛數(shù)單位.NLS方程對分析求解具有一定難度，沒有統(tǒng)一和高效的方法，在對非線性方程的各類研究中發(fā)現(xiàn)，非線性方程在很多情況下都不具備解析解，只有給出具體的限定條件才能得到確切的結(jié)果.關(guān)于同一個NLS方程，若給定的初始波函數(shù)不同，波函數(shù)的隨時演化模式也會產(chǎn)生變化，為此，利用數(shù)值模擬研究NLS方程.

隨著科學(xué)技術(shù)的創(chuàng)新，非線性薛定諤方程的研究越來越受到國內(nèi)外學(xué)者的重視.張云峰[1]運用算子半群方法證明了NLS方程的解存在唯一性及解的一些性質(zhì)；孟佳[2]利用有限差分法對具體的NLS方程問題展開數(shù)值求解；Borhanifar等[3]研究薛定諤方程近似解的構(gòu)造，并在實驗中加以驗證；Ashyralyev等[4]研究含相關(guān)系數(shù)的高維分數(shù)階薛定諤微分方程混合問題的一階及二階精度差分格式，并得到這些差分格式解的穩(wěn)定性分析；Zisowsky等[5]建立并分析求解NLS方程的不同有限差分格式的離散人工邊界條件，借助數(shù)值算例證明其穩(wěn)定性和正確性.

偏微分方程領(lǐng)域中的數(shù)值計算方法都很經(jīng)典，主要包括算子分裂法，有限元法，有限差分法等[6].有限差分法是求常(偏)微分方程及方程組的定解的方法，它較為靈活簡單，普遍性強，因而方便利用計算機進行編程求解.在相關(guān)格式數(shù)值研究中，王海等[7]簡要分析二階中心差分的理論基礎(chǔ)，在此基礎(chǔ)上構(gòu)造聲波方程的該格式，建立相關(guān)模型并進行數(shù)值模擬；吳宏偉[8]證明緊致差分格式的解的相關(guān)性質(zhì)，并利用該格式數(shù)值求解一類半線性拋物型方程；李華等[9]對Crank-Nicolson差分格式的誤差、穩(wěn)定性等展開分析證明，并聯(lián)立具體的數(shù)值算例加以論證；文獻[10-11]提出非線性差分格式，證明解存在唯一性和二階收斂L∞范數(shù)，并提出一種迭代算法求解非線性差分格式；Wang[12]構(gòu)造最優(yōu)收斂速度的緊致有限差分格式，即L∞范數(shù)下空間上4階及時間上2階精度；Patel等[13]針對具體偏微分方程提出一種無條件穩(wěn)定的緊致有限差分格式，并證明所提差分格式的穩(wěn)定性、一致性和收斂性.

NLS方程格式守恒性一直備受學(xué)者們的重視[14-17]，張魯明等[18-19]針對NLS方程構(gòu)造新的守恒差分格式，并對該守恒格式的收斂穩(wěn)定性展開證明；Lü等[20]推導(dǎo)出NLS方程的一種新求解方法，并利用實驗證明該方法能準確保持電荷守恒、能量守恒；Ismail等[21]提出求解NLS方程的一種線性隱式守恒方法，并在數(shù)值實驗中表明該方法在時間和空間上均具備二階精度且能精確地保持能量守恒；Wang[22]提出一種求解非線性耦合薛定諤方程的能量守恒算法，并分析所提算法的可解性、穩(wěn)定性和誤差估計；Wang[23]提出并分析一個關(guān)于非線性耦合薛定諤方程的線性守恒差分格式；文獻[24-26]針對帶周期邊界條件的非線性薛定諤方程，分別提出緊差分的能量守恒格式，并給出無網(wǎng)格比的誤差估計；Gong等[27]利用Fourier擬譜方法構(gòu)造求解2維非線性薛定諤方程的一個能量和質(zhì)量守恒格式并加以分析；He[28]構(gòu)造并分析了非線性薛定諤方程的一個質(zhì)量且能量守恒的局部非連續(xù)Galerkin方法；Cui等[29]結(jié)合SAV方法構(gòu)造非線性薛定諤方程的任意高階的保結(jié)構(gòu)指數(shù)Runge-Kutta方法；Wang等[30]研究兩個高維薛定諤方程的傅里葉擬譜格式及方程的爆破行為.本文在一定初值、邊值條件下，結(jié)合不同的差分格式對NLS方程進行數(shù)值求解.

1 數(shù)值格式的構(gòu)造

考慮如下NLS方程的初值、邊值問題，即

iut+uxx+β|u|2u=0，x∈R，t>0，

(1)

初值條件為

u(x，0)=u0(x)，x∈R，

(2)

邊值條件為

u(x，t)→0， |x|→∞，t>0.

(3)

式(1)～(3)中：u0(x)為已知光滑函數(shù)，函數(shù)隨著|x|→∞迅速向0衰減.

當|x|≥1時，方程的解飛快地向0衰減，所以可在一個有限的區(qū)域Ω=(xL，xR)上對式(1)～(2)展開數(shù)值求解，其中，xL，xR≥1，得到如下初值、邊值問題，即

(4)

初值條件為

(5)

邊值條件為

u(x，t)=0，x=xL或x=xR，x∈?Ω.

(6)

式(4)～(6)的質(zhì)量守恒律為

(7)

能量守恒律為

(8)

2 幾種差分格式

2.1 向前Euler格式

(9)

由二階中心差分算子和向前差分算子，有

(10)

(11)

將式(10)，(11)代入式(9)，有

(12)

結(jié)合式(5)～(6)，有

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

以上格式即為NLS方程的向前Euler格式，是一個非線性顯式格式，記

(18)

向前Euler格式(15)～(17)的數(shù)值解在時間和空間方向分別具有1階、2階精度.

2.2 Crank-Nicolson格式

(19)

式(19)中：0≤n≤N-1；1≤j≤J-1.

結(jié)合式(10)及如下式(20)～(22)，即

(20)

(21)

(22)

并利用向前Euler格式類似的推導(dǎo)過程，有

(23)

(24)

(25)

(26)

與向前Euler格式不同，Crank-Nicolson格式是一個非線性隱式格式，Crank-Nicolson格式(24)～(26)的數(shù)值解在時間和空間方向上都具有2階精度.

2.3 緊致差分格式

(27)

式(27)中：0≤j≤J；0≤n≤N-1.

結(jié)合式(20)～(22)，有

(28)

式(28)中：0≤n≤N-1；0≤j≤J-1；c3是與h和τ無關(guān)的常數(shù).

對式(28)兩邊同時乘以Ah，經(jīng)過變換有

(29)

由于

(30)

(31)

將式(31)代入式(29)，有

(32)

(33)

(34)

(35)

緊致差分格式也是一個非線性隱式格式，利用前面定義的矩陣A和H，可以將式(33)表示為

(36)

緊致差分格式(33)～(35)的數(shù)值解在時間和空間方向上分別具有2階，4階精度.

3 守恒性

定理1Crank-Nicolson格式(24)～(26)精確保離散質(zhì)量守恒和能量守恒，質(zhì)量守恒和能量守恒分別為

(37)

(38)

式(37)～(38)中：n=0，1，2，…，N.

證明:式(24)的緊形式為

(39)

對上式取虛部，有

將(un+1-un)與式(39)兩邊同時作內(nèi)積，并取實部，有

(40)

定理2緊致差分格式(34)～(36)精確保離散質(zhì)量守恒和能量守恒，質(zhì)量守恒和能量守恒分別為

(41)

(42)

將式(36)的兩邊與(un+1-un)作內(nèi)積并取實部，得

4 數(shù)值實驗

4.1 孤立波的演化實驗

圖1 初始條件下t=0 s時的孤立波波形

(a) t=1 s (b) t=10 s

Crank-Nicolson格式和緊致差分格式的孤立波波形分別如圖3，4所示.

(a) t=1 s (b) t=10 s

(a) t=1 s (b) t=10 s

由圖2～4可知：當t=10 s時，向前Euler格式所得的孤立波波形有一些振蕩，可能是因為向前Euler格式作為顯格式，對差分步長較敏感.因此，相對其他兩種格式而言，向前Euler格式稍顯不足.

當t=10 s時，選取時間步長(τ=0.000 01)繼續(xù)采用向前Euler格式進行數(shù)值模擬，孤立波波形，如圖5所示.當t=10s時，孤立波波形隨著時間步長τ的減小，振蕩越弱即波形更加穩(wěn)定.

圖5 向前Euler格式在τ=0.000 01的孤立波波形

4.2 守恒量的保持實驗

(a) 總質(zhì)量 (b) 質(zhì)量誤差

(a) 總質(zhì)量 (b) 質(zhì)量誤差

由圖6，7可知：Crank-Nicolson格式和緊致差分格式均能很好地保持離散質(zhì)量守恒和能量守恒.

4.3 數(shù)值格式的計算效率實驗

5 結(jié)論

分別利用經(jīng)典的向前差分算子、二階中心差分算子、Crank-Nicolson方法和緊致差分算子構(gòu)造了向前Euler格式、Crank-Nicolson格式和緊致差分格式.引用守恒性相關(guān)理論知識證明了Crank-Nicolson格式和緊致差分格式精確保持離散質(zhì)量守恒和能量守恒.

通過數(shù)學(xué)軟件MATLAB，分別對3種格式進行了孤立波的數(shù)值實驗和計算，并研究了Crank-Nicolson格式和緊致差分格式對守恒量的保持.雖然3種格式均能對NLS方程進行數(shù)值求解，但是具有不同的特性.向前Euler差分格式作為非線性顯式格式，易于理解和編程，并且計算時間較少.而Crank-Nicolson格式和緊致差分格式都是非線性隱式格式，通過數(shù)值實驗可以驗證它們都能夠精確保持離散質(zhì)量守恒和能量守恒，與理論證明相符合.

這些格式不僅能應(yīng)用于NLS方程，還能應(yīng)用于偏微分方程領(lǐng)域的諸多方程中，如KdV方程、Klein-Gordon方程等.每種差分格式都具有不同的優(yōu)劣性，在具體的實際情況下，可采用較為理想的差分格式進行數(shù)值計算.