基于梯度曲面面積與稀疏約束的圖像平滑方法

李 輝，吳傳生*，劉 俊，劉 文

（1.武漢理工大學(xué)理學(xué)院，武漢 430070；2.東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，長(zhǎng)春 130024；3.武漢理工大學(xué)航運(yùn)學(xué)院，武漢 430063）

0 引言

自然圖像通常包含豐富的紋理細(xì)節(jié)和邊緣結(jié)構(gòu)等信息，它是反映目標(biāo)場(chǎng)景視覺(jué)信息的一種普遍方式。一般來(lái)說(shuō)，圖像中的邊緣結(jié)構(gòu)是人類視覺(jué)感知的主體內(nèi)容。在一些重要的應(yīng)用場(chǎng)景下，比如交通部門(mén)對(duì)路面標(biāo)志的識(shí)別、藝術(shù)工作者對(duì)墻壁涂鴉繪畫(huà)的理解以及設(shè)計(jì)公司對(duì)圖像輪廓的感知等，并不需要豐富的紋理細(xì)節(jié)。圖像平滑處理作為一項(xiàng)重要的圖像預(yù)處理技術(shù)，目的在于去除冗余紋理細(xì)節(jié)的同時(shí)可保留顯著的邊緣和輪廓等信息，在高動(dòng)態(tài)范圍（High-Dynamic Range，HDR）圖像壓縮［1］、細(xì)節(jié)增強(qiáng)［2］、邊緣檢測(cè)［3］、色調(diào)映射［4］與圖像壓縮偽影的去除［5］等多種成像應(yīng)用中都發(fā)揮著重要的作用。目前圖像平滑技術(shù)根據(jù)其具體的策略可分為三類，分別是基于均值濾波的方法、基于正則化約束的方法和基于學(xué)習(xí)的方法。

基于均值濾波的方法考慮空間和強(qiáng)度因素來(lái)定義不同類型的內(nèi)核，從而計(jì)算相鄰像素的加權(quán)平均值作為平滑輸出。傳統(tǒng)的濾波器包括各向異性擴(kuò)散濾波［6］、雙邊濾波［7］、導(dǎo)向?yàn)V波（Guided Filtering，GF）［1］等。近年來(lái)，基于傳統(tǒng)濾波器的改進(jìn)算法例如雙邊紋理濾波［8］、滾動(dòng)引導(dǎo)濾波（Rolling Guidance Filter，RGF）［9］、梯度域?qū)驗(yàn)V波［10］、互導(dǎo)圖像濾波（Mutually Guided Image Filtering，muGIF）［11］、各向異性滾動(dòng)濾波［12］、各向異性導(dǎo)向?yàn)V波［13］等被陸續(xù)提出，進(jìn)一步提升了圖像平滑效果。這些平滑方法本質(zhì)上是利用局部加權(quán)平均策略，可保留顯著的邊緣輪廓，但圖像中的細(xì)小結(jié)構(gòu)易受周圍鄰域像素值的影響，往往難以保持完整。

基于正則化約束的方法是運(yùn)用某種先驗(yàn)和準(zhǔn)則，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，通過(guò)求解極小化問(wèn)題，達(dá)到保持邊緣和抑制紋理的目的。全變分（Total Variation，TV）正則化［14］通過(guò)尋求圖像總變分最小化去除細(xì)節(jié)和噪聲。加權(quán)最小二乘（Weighted Least Squares，WLS）［15］方法對(duì)圖像梯度的平方加權(quán)求和，具備較好的邊緣保持能力。2011 年，Xu 等［5］提出以稀疏控制為原理的L0梯度最小化（L0Gradient Minimization，L0GM）方法，可有效消除小梯度級(jí)紋理細(xì)節(jié)。在L0GM 的成功應(yīng)用下，Cheng 等［16］提出改進(jìn)的L0梯度最小化平滑模型，以提高不同尺度空間的平滑性能。為從紋理圖像中精確提取主體結(jié)構(gòu)，Xu 等［17］提出相對(duì)全變分正則項(xiàng)（Relative Total Variation，RTV），能充分挖掘紋理和邊緣的本質(zhì)區(qū)別并建立優(yōu)化模型。之后，Liu 等［18］擴(kuò)展了RTV 模型中窗口全變分的范數(shù)范圍，改善了RTV 方法的局限性。此外，我們的前期研究從圖像的幾何角度分析紋理特點(diǎn)，在L0GM 中加入表面積最小化約束，保證了各局部區(qū)域內(nèi)的各向同性平滑，具體可參考文獻(xiàn)［19］（以下簡(jiǎn)稱Liu方法）。

基于學(xué)習(xí)的圖像平滑方法主要是利用卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（Convolutional Neural Network，CNN）學(xué)習(xí)濾波核來(lái)改善圖像的平滑質(zhì)量。Xu 等［20］于2015 年開(kāi)創(chuàng)性地提出深度邊緣感知濾波器，在深度CNN 框架下訓(xùn)練圖像的梯度域，以產(chǎn)生精確的梯度邊緣。Liu 等［21］則使用多個(gè)空間變異遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)生成平滑圖像。之后，Wu等［22］提出基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的端到端可訓(xùn)練的CNN 引導(dǎo)濾波器，實(shí)現(xiàn)了運(yùn)算速度的提升。此外，基于CNN 構(gòu)建聯(lián)合濾波內(nèi)核的濾波器［23-24］表現(xiàn)出更為優(yōu)異的平滑效果。眾所周知，基于學(xué)習(xí)的方法可獲得令人滿意的平滑圖像，但高度依賴于訓(xùn)練數(shù)據(jù)集的多樣性和容量，實(shí)現(xiàn)條件成本高。

為更好地解決現(xiàn)有平滑算法在不同尺度上邊緣保持不完全、紋理抑制不徹底以及偽影去除效果欠佳等問(wèn)題，本文擬構(gòu)建一個(gè)梯度曲面面積與稀疏約束的圖像平滑模型。首先研究圖像梯度域上結(jié)構(gòu)和紋理的幾何特征差異，提出梯度曲面面積約束平滑先驗(yàn)；然后充分利用圖像的統(tǒng)計(jì)特征，結(jié)合L0梯度最小化先驗(yàn)建立自適應(yīng)的混合正則化約束的平滑模型；最后，高效穩(wěn)定地求解該模型以輸出高質(zhì)量的平滑圖像。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文算法可有效抑制隨機(jī)復(fù)雜紋理，并在較大程度上保持了邊緣結(jié)構(gòu)的完整性。

1 本文平滑算法

1.1 正則化約束的圖像平滑模型一般框架

首先，假設(shè)f0∈Rm×n表示原始紋理圖像，f表示平滑后的輸出圖像，圖像平滑可歸結(jié)為以下通用框架表示的最優(yōu)化問(wèn)題：

Xu等［5］基于紋理圖像的統(tǒng)計(jì)特征提出L0GM先驗(yàn)，其數(shù)學(xué)模型如下式所示：

圖1 圖像平滑實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Fig.1 Comparison of image smoothing experimental results

由于隨機(jī)復(fù)雜紋理的結(jié)構(gòu)特征與圖像的邊緣特征較為相似，僅應(yīng)用L0梯度最小化先驗(yàn)易造成過(guò)度平滑或欠濾波等問(wèn)題。為進(jìn)一步提高平滑質(zhì)量，我們?cè)谥暗难芯课墨I(xiàn)［19］中提出了曲面面積約束先驗(yàn)并將其加入到L0梯度最小化框架中，即：

其中：α≥0 為正則化參數(shù)；當(dāng)k=1 時(shí)為圖像面積約束項(xiàng)。理論上，對(duì)于任意的k＞0，φ(?f)均可作為全變分正則項(xiàng)TV(f)=的廣義延伸。TV 先驗(yàn)已被廣泛應(yīng)用于圖像處理領(lǐng)域，但眾所周知，TV 在圖像處理過(guò)程中易產(chǎn)生階梯效應(yīng)。如圖2 所示，將紋理圖像視作二維曲面時(shí)，其3D 表面呈現(xiàn)出大量的起伏和折疊，對(duì)應(yīng)圖像中的紋理細(xì)節(jié)區(qū)域。梯度圖的3D 表面可視化對(duì)于紋理和邊緣區(qū)域表現(xiàn)出的起伏更為明顯。由L0GM［5］和Liu 方法［19］的平滑效果可看出，平滑后的圖像仍存在少量的紋理信息，同時(shí)受到了階梯效應(yīng)和偽影的影響，相對(duì)應(yīng)的幾何曲面的3D表面并不平坦，這就啟發(fā)我們可從梯度域的角度對(duì)圖像施加曲面面積約束，通過(guò)最小化梯度曲面面積的方式更徹底地消除圖像中的紋理細(xì)節(jié)。

圖2 不同方法產(chǎn)生平滑圖像的表面差異可視化Fig.2 Visualization of surface differences in smoothing images generated by different smoothing methods

1.2 多約束的圖像平滑算法

為更有效地去除紋理細(xì)節(jié)，抑制階梯效應(yīng)和偽影，同時(shí)防止圖像邊緣受模糊因素的影響，我們基于前期研究成果［19］提出梯度曲面面積約束項(xiàng)，建立混合正則化約束的圖像平滑模型，即：

模型（4）中，‖?f-v‖1是v對(duì)于?f在L1范數(shù)意義上的逼近，L1范數(shù)的應(yīng)用使得此正則項(xiàng)對(duì)于圖像中的噪聲和異常值更具魯棒性。不同于之前文獻(xiàn)［19］的研究將面積約束應(yīng)用于圖像強(qiáng)度層面，φ(?v)是作用于梯度域的約束，本質(zhì)上是圖像的梯度曲面面積約束。二階梯度對(duì)圖像的邊緣和紋理區(qū)域的像素值變化更為敏感，提出的梯度曲面面積約束則具備更強(qiáng)的紋理抑制能力。此外，本文以v間接性地代替?f作為梯度曲面面積約束的懲罰對(duì)象，更有助于邊緣結(jié)構(gòu)的精確保持。

為進(jìn)一步提升紋理抑制和邊緣保持的平衡能力，引入邊緣檢測(cè)函數(shù)g［25-26］，定義如下：

邊緣檢測(cè)函數(shù)的應(yīng)用有助于模型（5）根據(jù)輸入圖像的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)自適應(yīng)地調(diào)節(jié)曲面面積約束懲罰，適當(dāng)?shù)財(cái)U(kuò)大或縮小平滑模型的擴(kuò)散強(qiáng)度。具體來(lái)說(shuō)，在輸入圖像的邊緣區(qū)域，呈現(xiàn)較大的數(shù)值結(jié)果，相應(yīng)的邊緣檢測(cè)函數(shù)g趨于一個(gè)很小的值，此時(shí)曲面面積約束的擴(kuò)散能力減弱，能夠較好地保護(hù)邊緣輪廓不受平滑正則項(xiàng)的懲罰，有效保持圖像自身的結(jié)構(gòu)特征；在輸入圖像的相對(duì)平坦區(qū)域表現(xiàn)出較小的數(shù)值結(jié)果，相應(yīng)的邊緣檢測(cè)函數(shù)g→1，此時(shí)曲面面積約束的擴(kuò)散能力增強(qiáng)，能夠最大限度地去除紋理細(xì)節(jié)，抑制偽影和階梯效應(yīng)對(duì)平滑效果的影響。

2 數(shù)值求解算法

本文提出的圖像平滑模型（5）是一類非凸非光滑的優(yōu)化問(wèn)題，常用的數(shù)值求解算法難以求得較為理想的數(shù)值解。本文采用交替方向乘子法（Alternating Direction Multiplier Method，ADMM）［27］解決此問(wèn)題，將此無(wú)約束問(wèn)題轉(zhuǎn)換為有約束優(yōu)化問(wèn)題，把整體模型分解為幾個(gè)子問(wèn)題，運(yùn)用多種求解方式交替迭代尋求每個(gè)子問(wèn)題的閉合解。

首先，引入輔助變量x、y和z將式（5）轉(zhuǎn)換為以下約束問(wèn)題：

其中：(?，δ，ε)表示拉格朗日乘子，(β1，β2，β3)為懲罰因子。為使得求解更穩(wěn)定高效，利用ADMM 算法將此式的優(yōu)化過(guò)程轉(zhuǎn)化為(x，y)，z和(f，v)三大類子問(wèn)題交替迭代求解，并在每次迭代后更新拉格朗日乘子(?，δ，ε)。

首先，固定變量zt、ft、vt、?t、δt和εt時(shí)，(x，y)子問(wèn)題分別是典型的帶L0正則化項(xiàng)和帶L1正則化項(xiàng)的最小二乘問(wèn)題：

其次，固定變量xt+1、yt+1、ft、vt、?t、δt和εt時(shí)，z子問(wèn)題是一類凸優(yōu)化問(wèn)題：

利用二階優(yōu)化算法牛頓法進(jìn)行求解得到：

由于f和v之間存在耦合關(guān)系，需同時(shí)在快速傅里葉變換（Fast Fourier Transform，F(xiàn)FT）框架下求解［30］。固定變量xt+1、yt+1、zt+1、?t、δt和εt時(shí)，(f，v)子問(wèn)題如下：

首先求得其一階最優(yōu)性條件，然后在FFT 框架下采用矩陣的克拉默法則求得在第t+1 次迭代時(shí)(f，v1，v2)的閉式解為：

其中：F為傅里葉變換，F(xiàn)-1為傅里葉逆變換，| ?|*為矩陣的行列式。

最后，拉格朗日乘子以如下所示進(jìn)行每一步的迭代更新：

其中：τ表示迭代步長(zhǎng)，默認(rèn)設(shè)置為1。

在高校學(xué)生黨建工作中，主要是挑選一些優(yōu)秀的學(xué)生作為黨員的候選者，并對(duì)他們進(jìn)行重點(diǎn)培養(yǎng)。但是，一般黨員培養(yǎng)年限大概在一年左右，一年過(guò)后不再繼續(xù)對(duì)這批學(xué)生進(jìn)行重點(diǎn)培養(yǎng)。因此，高校學(xué)生黨建工作缺乏長(zhǎng)遠(yuǎn)的計(jì)劃或目標(biāo)。在此方面，很多黨建工作者認(rèn)為，對(duì)學(xué)生的培養(yǎng)是短期的，以促進(jìn)學(xué)生入黨為目標(biāo)，對(duì)學(xué)生入黨后的表現(xiàn)則漠不關(guān)心。并且由于高校學(xué)生黨建工作對(duì)學(xué)生的培養(yǎng)是短時(shí)間的，因此學(xué)生在加入黨組織后，難以形成自律，黨建工作無(wú)法發(fā)揮長(zhǎng)遠(yuǎn)的作用。

綜上所述，針對(duì)模型（5）非凸非光滑的情況，本文運(yùn)用了基于ADMM 框架的高效求解優(yōu)化算法，首先通過(guò)引入輔助變量的方法求得原始問(wèn)題的增廣拉格朗日函數(shù)，然后在固定相應(yīng)變量的前提下分解求解過(guò)程，最后分別通過(guò)閾值收縮算子、二次牛頓法和傅里葉框架下的線性方程組求解等方法求出每個(gè)子問(wèn)題的閉式解。待更新策略終止迭代時(shí)，輸出高質(zhì)量的平滑圖像。具體算法總結(jié)歸納如算法1所示：

算法1 圖像平滑模型（5）的數(shù)值求解。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

為分析評(píng)價(jià)梯度曲面面積與稀疏約束模型的平滑性能，本章將展示不同類型紋理圖像的平滑結(jié)果，并與WLS［15］、GF［1］、L0GM［5］、RTV［17］、RGF［9］、Guo［31］、Liu［19］、muGIF［11］等方法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)對(duì)比分析。本文實(shí)驗(yàn)均使用Intel Core i5-4210 2.40 GHz 處理器，運(yùn)行平臺(tái)為Matlab R2018。為保證實(shí)驗(yàn)的公平性和科學(xué)性，對(duì)其他對(duì)比方法都進(jìn)行了參數(shù)調(diào)優(yōu)。以下分別從紋理抑制、邊緣檢測(cè)、紋理增強(qiáng)和圖像融合等方面分析該方法的有效性與穩(wěn)定性。

3.1 圖像平滑實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為驗(yàn)證本文算法的有效性，本小節(jié)分別對(duì)真實(shí)紋理圖像與合成噪聲/紋理圖像進(jìn)行定性和定量對(duì)比分析。

3.1.1 圖像平滑定性評(píng)價(jià)實(shí)驗(yàn)結(jié)果

本文選取不同類型的紋理圖像進(jìn)行平滑實(shí)驗(yàn)效果對(duì)比：

圖3 中各方法的主要參數(shù)值分別 為：GF［1］（r=4，ε=0.42），L0GM［5］（λ=0.15），RTV［17］（λ=0.015，σ=3），RGF［9］（σs=4，σr=0.06，4 次迭代），Guo［31］（α=0.35，th=0.2），muGIF［11］（αt=0.035），Liu［19］（λ=0.04，σ=1），本文算法（λ=0.11，α1=0.001，α0=0.2）。

圖3 邊緣保持實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Fig.3 Comparison of edge-preserving experimental results

圖4 中各方法的主要參數(shù)值分別 為：GF［1］（r=4，ε=0.22），L0GM［5］（λ=0.35），RTV［17］（λ=0.025，σ=3），RGF［9］（σs=6.5，σr=0.05，5 次迭代），Guo［31］（α=1，th=0.15），muGIF［11］（αt=0.065），Liu［19］（λ=0.06，σ=1），本文算法（λ=0.23，α1=2，α0=0.3）。

圖4 局部區(qū)域的紋理消除結(jié)果對(duì)比Fig.4 Comparison of texture elimination results for localized areas

圖5 中各方法的主要參數(shù)值分別為：L0GM［5］（λ=0.05），RTV［17］（λ=0.015，σ=3），RGF［9］（σs=5.5，σr=0.03，5 次迭代），muGIF［11］（αt=0.016），Liu［19］（λ=0.018，σ=1），本文算法（λ=0.09，α1=3，α0=0.1）。

圖5 紋理抑制實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Fig.5 Comparison of texture suppression experimental results

圖6 中各方法的主要參數(shù)值分別為：WLS［15］（λ=1，α=1.2），GF［1］（r=8，ε=0.12），L0GM［5］（λ=0.015），RTV［17］（λ=0.007，σ=3），RGF［9］（σs=2.5，σr=0.1，5 次迭代），Guo［31］（α=0.18，th=0.1），muGIF［11］（αt=0.0065），Liu［19］（λ=0.006，σ=1），本文算法（λ=0.04，α1=0.2，α0=0.1）。

圖6 紋理圖像平滑實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Fig.6 Comparison of texture image smoothing experimental results

圖3 展示了邊緣保持的對(duì)比實(shí)驗(yàn)結(jié)果，如局部放大圖所示，GF［1］、RGF［9］和Guo［31］可產(chǎn)生較為完整的邊緣輪廓，但平滑圖像仍含有較多的背景紋理細(xì)節(jié)；L0GM［5］和Liu［19］方法輸出的平滑圖像存在小尺度邊緣信息的損傷及丟失現(xiàn)象，且受到不同程度階梯效應(yīng)的影響，平滑視覺(jué)效果欠佳；RTV［17］和muGIF［11］具有穩(wěn)定的紋理去除性能，但會(huì)以模糊邊緣為代價(jià)。而本文算法中的梯度曲面面積約束與Liu［19］提出的曲面面積項(xiàng)相比具備更好的平滑能力，高階變分優(yōu)勢(shì)也更好地消除了L0GM［5］方法易產(chǎn)生的階梯效應(yīng)，在較大程度上抹平了紋理細(xì)節(jié)。此外，本文算法的自適應(yīng)性更有助于保持不同尺度邊緣的完整性和清晰度。圖4 展示了局部區(qū)域的紋理消除結(jié)果，相較于其他方法的平滑效果，本文算法有效克服了紋理去除不徹底、階梯效應(yīng)和偽影等問(wèn)題，使局部區(qū)域更為平坦光滑，邊緣輪廓更加精確清晰。圖5 再次證明了本文算法對(duì)于紋理抑制的優(yōu)越性，在其他方法均存在部分紋理未完全消除的情況下，本文算法輸出了最大程度的光滑圖像。

圖6 進(jìn)一步驗(yàn)證了本文算法突出的優(yōu)勢(shì)，在平滑過(guò)程中，正則化項(xiàng)通常側(cè)重于單一的懲罰對(duì)象，易使得邊緣保持和紋理抑制無(wú)法同時(shí)兼顧。圖6（e）所示的RTV［17］方法模糊了局部放大圖右下角的小方塊，圖6（h）所示的muGIF［11］方法的平滑圖像仍存在少量的噪點(diǎn)。相比之下，本文算法中的梯度曲面面積約束項(xiàng)抑制了階梯效應(yīng)和大量的冗余紋理細(xì)節(jié)，而引入的邊緣檢測(cè)函數(shù)保護(hù)了較小尺度邊緣不受模糊因素的影響，在紋理抑制和邊緣保持之間達(dá)到完美平衡。

3.1.2 圖像平滑定量評(píng)價(jià)實(shí)驗(yàn)結(jié)果

為進(jìn)一步凸顯本文平滑算法的優(yōu)越性能，在定性對(duì)比分析之后，通過(guò)定量分析再次對(duì)本文算法進(jìn)行評(píng)價(jià)。本節(jié)采用4 幅紋理細(xì)節(jié)較少的卡通圖（將這4 幅圖依次命名為Image1～4）作為實(shí)驗(yàn)對(duì)象。首先，分別在這4 幅圖像中添加方差為0.005、0.01、0.02 的高斯白噪聲，再與GF［1］、L0GM［5］、Liu［19］以及muGIF［11］方法進(jìn)行平滑對(duì)比，選取常用的峰值信噪比（Peak Signal to Noise Ratio，PSNR）作為客觀評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。

表1 展示了對(duì)不同等級(jí)的合成噪聲圖像進(jìn)行平滑處理后的PSNR 值，可以看出與其他平滑方法相比，本文算法有著較高的PSNR，這表明本文的平滑算法可以更好地保持顏色保真度。圖7展示了在方差為0.005噪聲水平下的平滑實(shí)驗(yàn)結(jié)果，如圖所示，本文算法對(duì)噪點(diǎn)消除得最為徹底，平滑結(jié)果質(zhì)量更高。

圖7 合成噪聲（0.005）圖像平滑實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Fig.7 Comparison of image smoothing experimental results with synthetic noise（0.005）

表1 合成噪聲圖像平滑的PSNR對(duì) 單位：dBTab.1 Comparison of PSNR for synthetic noise image smoothing unit：dB

此外，為評(píng)價(jià)平滑算法的紋理抑制性能，將這4 幅圖像分別添加兩種不同的紋理（將這兩種紋理分別命名為紋理1、紋理2）得到合成圖像，再與L0GM［5］、Liu［19］以及muGIF［11］方法進(jìn)行平滑對(duì)比，采用峰值信噪比和結(jié)構(gòu)相似性（structural similarity，SSIM）作為定量評(píng)價(jià)指標(biāo)。表2 給出了合成紋理圖像平滑的PSNR 與SSIM 結(jié)果對(duì)比，可以看到對(duì)于不同的紋理類型，本文算法都有較高的PSNR和SSIM值，再次體現(xiàn)出本文算法從顏色和結(jié)果上的優(yōu)勢(shì)，如圖8 所示，本文算法在抑制較多紋理的同時(shí)更為清晰地保持了圖像邊緣輪廓。

圖8 合成紋理圖像平滑實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Fig.8 Comparison of synthetic texture image smoothing experimental results

表2 合成紋理圖像平滑的PSNR 與SSIM結(jié)果對(duì)比Tab.2 Comparison of PSNR and SSIM results of synthetic texture image smoothing

3.2 圖像平滑應(yīng)用

3.2.1 邊緣檢測(cè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果

顯著的圖像邊緣對(duì)于人類感知圖像內(nèi)容和計(jì)算機(jī)識(shí)別圖像主體有重要的作用。邊緣檢測(cè)已成為提取目標(biāo)形狀的一個(gè)簡(jiǎn)單但重要的預(yù)處理工具。傳統(tǒng)的邊緣檢測(cè)方法易將大尺度紋理視為邊緣，導(dǎo)致邊緣檢測(cè)結(jié)果難以精確反映圖像的主要結(jié)構(gòu)，如圖9（a）和圖10（a）的邊緣檢測(cè)結(jié)果所示，直接采用著名的Canny 邊緣檢測(cè)器并不能產(chǎn)生預(yù)期的檢測(cè)結(jié)果。通過(guò)圖像平滑技術(shù)對(duì)不同尺度的紋理進(jìn)行去除，再采用Canny 算子檢測(cè)邊緣，則可產(chǎn)生更清晰的主體輪廓。

本節(jié)采用兩張紋理圖像（圖像1、圖像2）作為實(shí)驗(yàn)對(duì)象，并分別與Liu［19］、RGF［9］以及muGIF［11］進(jìn)行對(duì)比。圖9 中各對(duì)比方法的主要參數(shù)分別為：Liu［19］（λ=0.02，σ=1），RGF［9］（σs=5，σr=0.02，4 次迭代），muGIF［11］（αt=0.015），本文算法（λ=0.06，α1=0.2，α0=0.1）；圖10 中各方法的主要參數(shù)值分別為：Liu［19］（λ=0.045，σ=1），RGF［9］（σs=2.5，σr=0.05，5 次迭代），muGIF［11］（αt=0.04），本文算法（λ=0.155，α1=0.15，α0=0.1）。

圖9（b）和（d）的邊緣受到不同程度上的模糊和損傷，圖9（c）則表現(xiàn)出圖像背景凹凸不平的缺陷，分別造成了檢測(cè)邊緣后主體結(jié)構(gòu)不精確與紋理邊緣過(guò)于豐富等問(wèn)題。而圖10（b）～（d）并未徹底地移除冗余的紋理細(xì)節(jié)，導(dǎo)致邊緣檢測(cè)圖像的平坦區(qū)域存在部分孤立點(diǎn)，降低了檢測(cè)的準(zhǔn)確度。對(duì)比而言，本文算法更徹底地剔除了干擾邊緣的紋理像素點(diǎn)，并精確保留了圖像主體邊緣信息，生成的邊緣檢測(cè)圖像結(jié)構(gòu)完整，輪廓清晰，明顯提升了Canny邊緣檢測(cè)器的性能。

圖9 圖像1的邊緣檢測(cè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Fig.9 Comparison of edge detection experimental results for figure 1

圖10 圖像2的邊緣檢測(cè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Fig.10 Comparison of edge detection experimental results for figure 2

3.2.2 紋理增強(qiáng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果

紋理增強(qiáng)的目的是改善圖像的強(qiáng)度、對(duì)比度和視覺(jué)外觀，是圖像平滑的一個(gè)基本應(yīng)用。紋理增強(qiáng)的一般步驟是先運(yùn)用圖像平滑技術(shù)輸出原始圖像的結(jié)構(gòu)層，再?gòu)脑紙D像中減去此結(jié)構(gòu)層，得到包含原始圖像高頻紋理細(xì)節(jié)的紋理層，之后將紋理層增強(qiáng)并添加回結(jié)構(gòu)層，獲得最終的紋理增強(qiáng)圖像。本文用I表示原始圖像，s表示結(jié)構(gòu)層，d=I-s則表示紋理層，輸出的紋理增強(qiáng)圖像為q=s+5d。圖像紋理增強(qiáng)技術(shù)的關(guān)鍵是通過(guò)較好的平滑算法準(zhǔn)確分離圖像的結(jié)構(gòu)層和紋理層。在圖像平滑過(guò)程中，如果邊緣受到較小程度模糊的影響，其紋理增強(qiáng)圖像的邊緣則會(huì)出現(xiàn)光暈效應(yīng)，造成增強(qiáng)圖像的視覺(jué)質(zhì)量下降；另一方面，如果未將紋理移除徹底或造成邊緣成分的丟失，其紋理增強(qiáng)圖像則會(huì)產(chǎn)生增強(qiáng)結(jié)構(gòu)層而弱化紋理層的視覺(jué)效果，與預(yù)期的實(shí)驗(yàn)結(jié)果存在較大的差距。本節(jié)分別與GF［1］、L0GM［5］、Liu［19］和muGIF［11］方法產(chǎn)生的平滑圖像和紋理增強(qiáng)圖像進(jìn)行對(duì)比分析。圖11 中各對(duì)比方法的主要參數(shù)分別為：GF［1］（r=8，ε=0.152），L0GM［5］（λ=0.025），Liu［19］（λ=0.007，σ=1），muGIF［11］（αt=0.006 5），本文算法（λ=0.025，α1=0.12，α0=0.1）。圖11 的上半部分表示平滑圖像，下半部分表示增強(qiáng)圖像。GF［1］和Liu［19］的實(shí)驗(yàn)結(jié)果中主體輪廓和與紋理細(xì)節(jié)被同時(shí)增強(qiáng)，并未從視覺(jué)上改善增強(qiáng)圖像的對(duì)比度；L0GM［5］方法的色偏現(xiàn)象明顯，特別是增強(qiáng)圖像的下半部分存在較為嚴(yán)重的曝光現(xiàn)象；muGIF［11］算法產(chǎn)生了較好的平滑圖像，但邊緣處出現(xiàn)了模糊，導(dǎo)致增強(qiáng)后的圖像邊緣產(chǎn)生了光暈效應(yīng)。相比之下，本文算法則解決了邊緣模糊的問(wèn)題并最大限度地移除紋理，生成了高質(zhì)量的紋理增強(qiáng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

圖11 紋理增強(qiáng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Fig.11 Comparison of texture enhancement experimental results

3.2.3 圖像融合實(shí)驗(yàn)結(jié)果

眾所周知，繪畫(huà)、自然圖像和馬賽克圖像通常無(wú)法直接用于無(wú)縫圖像融合技術(shù)，這主要是由于源圖像與目標(biāo)圖像之間的紋理不兼容。為提高圖像融合的性能，需先有效地去除源圖像中不同尺度的紋理。本節(jié)分別應(yīng)用方法GF［1］、L0GM［5］、Liu［19］、RGF［9］以及本文算法產(chǎn)生平滑圖像，再將平滑后的圖像與目標(biāo)圖像融合，并對(duì)最終的融合圖像進(jìn)行對(duì)比分析。圖12中各對(duì)比方法的主要參數(shù)分別為：GF［1］（r=4，ε=0.22），L0GM［5］（λ=0.04），Liu［19］（λ=0.02，σ=1），RGF［9］（σs=4，σr=0.05，5 次迭代），本文算法（λ=0.13，α1=0.2，α0=0.1）。如圖12（a）～（d）所示，在源圖像的釘狀紋理信息未能有效抑制的情況下，融合圖像也存在原始井蓋圖像中的紋理，融合痕跡較為明顯。RGF［9］方法抑制了大量的紋理，卻產(chǎn)生了凹凸不平的背景，使得融合協(xié)調(diào)性欠佳。經(jīng)本文算法平滑后再融合的圖像只顯示主要文字信息，未出現(xiàn)明顯的井蓋背景紋理成分，可取得令人滿意的圖像融合效果。

圖12 圖像融合實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Fig.12 Comparison of image fusion experimental results

4 結(jié)語(yǔ)

本文首先分析紋理圖像中邊緣輪廓信息和紋理細(xì)節(jié)信息的結(jié)構(gòu)特征與幾何特征，然后結(jié)合圖像梯度域的稀疏性和二維曲面的面積約束原理，在L0梯度最小化的框架下設(shè)計(jì)自適應(yīng)曲面面積約束正則化項(xiàng)，提出曲面面積與稀疏約束的圖像平滑模型。最后利用基于ADMM 的數(shù)值求解算法，高效地解決了非凸非光滑的優(yōu)化求解問(wèn)題。在紋理抑制、邊緣檢測(cè)、紋理增強(qiáng)和圖像融合等圖像處理方面的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文提出的圖像平滑模型能夠消除不同尺度的紋理細(xì)節(jié)，抑制階梯效應(yīng)和偽影的影響，同時(shí)可保持精確的圖像邊緣輪廓，展示出較好的平滑性能和視覺(jué)效果。