變工況3維銑削穩(wěn)定性預(yù)報方法研究

胡 騰，王 虎，陽 紅，鄭華林，劉 雁

(1.西南石油大學(xué) 機電工程學(xué)院，四川 成都 610500；2.中國工程物理研究院 機械制造工藝研究所，四川 綿陽 621999；3.四川普什寧江機床有限公司，四川 都江堰 611830)

目前，顫振已成為高效銑削領(lǐng)域亟待解決的關(guān)鍵共性問題[1]。準(zhǔn)確預(yù)報銑削穩(wěn)定性并將其作為約束條件，可為銑削工藝參數(shù)優(yōu)化提供堅實的理論基礎(chǔ)和數(shù)據(jù)支撐，有利于實現(xiàn)高效、無顫振銑削加工，亦有利于延長刀具及機床壽命，具有較重要的科學(xué)意義與工程價值。

近年來，國內(nèi)外學(xué)者針對銑削穩(wěn)定性預(yù)報方法開展了較深入的研究，取得了不少成果：Ramirez等[2]提出了基于Lyapunov-Krasovskii分析的銑削穩(wěn)定性預(yù)報方法，揭示了穩(wěn)定性與切削參數(shù)之間的復(fù)雜聯(lián)系；Sekar等[3]聯(lián)合自適應(yīng)步長R-K方法與誤差控制算法，提出了銑削穩(wěn)定域高精度仿真方法，該方法亦可推廣至多時滯動力學(xué)特征值問題的求解；Li等[4]提出了一種直接利用加工系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)或頻響函數(shù)快速繪制穩(wěn)定性葉瓣圖的方法，較顯著地提升了切削穩(wěn)定性預(yù)報效率；Ahmadi等[5]分別基于多頻率法和半離散法對銑削穩(wěn)定性進行了預(yù)報，并借助等效粘性模型探明了過程阻尼對系統(tǒng)低轉(zhuǎn)速區(qū)切削顫振的抑制作用；Li等[6]建立了考慮模態(tài)耦合和過程阻尼的銑削動力學(xué)模型，并利用二階半離散法對銑削穩(wěn)定性進行了預(yù)報；Ezugwu等[7]提出了基于最小二乘近似的全離散法，并以此分別對再生型極限軸向切深和極限徑向切寬進行了分析與預(yù)報。王民等[8]從再生型顫振機理出發(fā)，基于零階頻域法構(gòu)建了3維穩(wěn)定性葉瓣圖，系統(tǒng)探討了主軸轉(zhuǎn)速、軸向切深與徑向切寬之間復(fù)雜的非線性映射關(guān)系；宋清華等[9]通過考慮刀具偏心建立了計及變徑向切寬的銑削動力學(xué)模型，并基于半離散法預(yù)報了該切削系統(tǒng)的穩(wěn)定域；李欣等[10]建立了考慮過程阻尼的銑削動力學(xué)模型，并基于隱式龍格庫塔法繪制了穩(wěn)定性葉瓣圖，進而在低轉(zhuǎn)速區(qū)對極限軸向切深進行了較準(zhǔn)確預(yù)報。

現(xiàn)階段，銑削穩(wěn)定性預(yù)報研究大多僅針對切削寬度ae恒定的定工況，這并不利于面向最大金屬去除率開展銑削工藝參數(shù)優(yōu)化設(shè)計。一方面，根據(jù)金屬去除率（metal removal rate，MRR）定義[11]：

從切削動力學(xué)的角度來看， Ω、ap、ae三者間存在著相互制約的復(fù)雜關(guān)系，若只針對固定切寬ae進行切削穩(wěn)定性預(yù)報，等同于在設(shè)計空間中縮小了ap與ae的優(yōu)化可行域，致使難以獲取變工況條件下MRR全局最大值；另一方面，文獻[7-9]雖然針對切寬可變條件下的銑削穩(wěn)定性進行了較系統(tǒng)研究，但在構(gòu)建銑削動力學(xué)模型時鮮有完整考慮切削過程阻尼及刀具動力學(xué)行為非對稱性等因素，并不利于提升銑削穩(wěn)定性預(yù)報精度。

為解決上述問題，以時域全離散方法為理論基礎(chǔ)，綜合考慮銑削過程阻尼與銑刀徑向動力學(xué)行為非對稱性，面向可變切削深度及切削寬度的變工況提出一種3維銑削穩(wěn)定性預(yù)報方法。以再生效應(yīng)所致動態(tài)切屑厚度為切入點，系統(tǒng)分析兩自由度銑削幾何，并引入銑削過程阻尼，建立動態(tài)銑削力模型；其次，以曲面銑削時徑向切削寬度的時變特征為工程背景，推導(dǎo)切寬及刀齒切入/切出角數(shù)學(xué)表達，進而結(jié)合動態(tài)銑削力模型與刀尖點徑向非對稱動力學(xué)特性，構(gòu)建變工況銑削動力學(xué)模型；在此基礎(chǔ)上，借助時域全離散法對變工況銑削穩(wěn)定性進行預(yù)報，并繪制3維銑削穩(wěn)定性葉瓣曲面；最后，以某型立式加工中心為平臺開展變工況銑削實驗，對所提穩(wěn)定性預(yù)報方法進行驗證。

1 變工況銑削動力學(xué)建模

1.1 考慮過程阻尼的動態(tài)銑削力

不失一般性地，構(gòu)建如圖1所示兩自由度銑削動力學(xué)模型。圖1中，Ω為主軸轉(zhuǎn)速，銑刀刀齒j的瞬時徑向接觸角為φj。由再生效應(yīng)[6]可知，瞬時動態(tài)切削厚度可表示為：

圖1 兩自由度銑削動力學(xué)模型Fig.1 2-DOF milling dynamic model

式中：ft為每齒進給量；T為刀齒切削周期；x(t)、x(t-T)和y(t)、y(t-T)則分別為t、(t-T)時刻刀齒j在x和y向的振動位移；φj為刀齒瞬時徑向接觸角，且：

另一方面，作用在刀齒j上的切向切削力Ftj與徑向切削力Frj可表示為[5]：

式中，下標(biāo)s與p分別表示剪切力與過程阻尼所致犁耕力。若軸向切深為ap，則銑削剪切力可表示為：

式中：Kt、Kr分別為切向、徑向切削力系數(shù)；g為判定函數(shù)，且：

式中，φst和φex分別為切入、切出角。

Ahmadi等[12]指出，可將過程阻尼等效為黏性阻尼Ceq，進而徑向和切向犁耕力為：

式（7）～（8）中，Ksp、μ、W與v分別表示壓入系數(shù)、庫侖摩擦系數(shù)、刀具后刀面磨損帶寬度與切削速度。將切向切削力Ftj與徑向切削力Frj在刀具坐標(biāo)系下作進一步正交分解，可最終獲得銑刀在x、y方向上所受銑削力為：

式中，hkl、gpkl（k，l=x、y）為方向系數(shù)矩陣元素，且：

1.2 基于時變徑向切寬的刀齒切入/切出角

通常情況下，銑削加工均采用徑向切削寬度恒定的工藝過程。然而，針對如葉片、機匣等具有復(fù)雜幾何型面的零件進行銑削加工時，徑向切寬則具有時變特性，致使刀齒切入/切出角在切削進給期間并非恒定不變，進而切削系統(tǒng)動力學(xué)行為亦隨之變化。

某凸曲面順銑工藝過程如圖2所示，其中：ae(t)為時變徑向切削寬度；D1與D2分別位于待加工表面與已加工表面，且分別對應(yīng)t時刻刀齒切入與切出點；Ob(t)與Ow(t)則分別為當(dāng)前時刻上述兩點處對應(yīng)的瞬時曲率中心；XwYwZw與XsYsZs分別為工件坐標(biāo)系與刀具坐標(biāo)系，且二坐標(biāo)系在XY平面內(nèi)的瞬時夾角為θ(t)；φst(t)與φex(t)則分別刀齒切入角與切出角，且[12]：

圖2 凸面銑削過程時變切寬Fig.2 Time-varying cutting width during convex milling process

式中，R為刀具半徑。不難看出，曲面切削時，刀齒切入/切出角取決于R與ae(t)。

不妨設(shè)待加工表面與已加工表面在XY平面內(nèi)分別表示為fb與fw，且：

在t時刻，D2在工件坐標(biāo)系下的坐標(biāo)（xD2，yD2）可借助式（13）及NC代碼獲取，則該點切線方程與法線方程可分別寫作：

另一方面，D1在工件坐標(biāo)系下的坐標(biāo)（xD1，yD1）可聯(lián)立式（12）與刀具端面包絡(luò)圓方程求得；進而，可得過D1且與式（14）平行的直線方程：

聯(lián)立式（15）、（16）即可得二者交點D3坐標(biāo)（xD3，yD3），則：

至此，便求得時變徑向切削寬度ae(t)的一般表達式，進而借助式（11）即可計算得任意時刻刀齒切入/切出角。

1.3 變工況銑削動力學(xué)模型

綜合第1.1、1.2節(jié)所述內(nèi)容，考慮變徑向切寬、過程阻尼和刀尖點動力學(xué)行為非對稱性的變工況兩自由度銑削動力學(xué)模型可寫為:

2 時域全離散的變工況銑削穩(wěn)定性預(yù)報

利用柯西變換，可得變工況銑削動力學(xué)模型（18）的狀態(tài)空間方程為[13]：

式中，A0和A(t)為周期系數(shù)矩陣，F(xiàn)f(t)為周期系數(shù)向量，CP為等效黏性阻尼矩陣，且：

其中，q(t)與p(t)可寫為：

基于時域全離散法[14]求解銑削系統(tǒng)狀態(tài)空間方程（19），即可得到該方程的傳遞矩陣及其特征值 λ，進而可對系統(tǒng)穩(wěn)定性進行判定：

3 算例與實驗驗證

3.1 立式加工中心變工況3維銑削穩(wěn)定性預(yù)報

3.1.1 刀尖點非對稱動力學(xué)行為辨識

基于某立式加工中心搭建錘擊模態(tài)實驗平臺（圖3）。所選刀具為兩齒硬質(zhì)合金銑刀，直徑φ=20 mm。利用所測刀尖點各向原點與交叉加速度頻響函數(shù)，可辨識得如表1所示的刀尖點非對稱動力學(xué)特性參數(shù)。

圖3 錘擊模態(tài)實驗Fig.3 Impact modal test

表1 刀尖點非對稱動力學(xué)特性參數(shù)Tab. 1 Asymmetrical dynamic parameters of tool center point

3.1.2 銑削力系數(shù)標(biāo)定

利用文獻[15]所述實驗方法，借助Kistler切削力測試系統(tǒng)對銑削力系數(shù)進行標(biāo)定，如圖4所示。所選工件材料為AL7075-T6，辨識得平均銑削力系數(shù)為：Kt=804.2 MPa，Kr=177.3 MPa。

圖4 銑削力系數(shù)標(biāo)定實驗Fig.4 Calibrations of milling force coefficients

3.1.3 過程阻尼參數(shù)確定

依據(jù)式（7）可知，過程阻尼取決于刀具后刀面磨損帶寬度與壓入系數(shù)、庫侖摩擦系數(shù)以及切削速度。故一方面，利用超景深顯微鏡對銑刀后刀面磨損帶寬度進行測量（圖5），可測得后刀面磨損帶寬度W為47 μm；另一方面，由文獻[16]可查得壓入系數(shù)Ksp為1.5×105N/mm3及庫侖摩擦系數(shù)μ為0.3；最終，將上述W、Ksp、及μ代入式（7）即可求得等效過程阻尼，進一步依據(jù)式（22）可得等效黏性阻尼矩陣CP。

圖5 刀具后刀面磨損帶寬度Fig.5 VB measurements on tool flank face

3.1.4 刀齒切入/切出角

基于該立式加工中心設(shè)計如圖6所示的變工況銑削工藝過程。其中，刀具進給速度f=200 mm/min，且保持恒定；時變徑向切寬可借助其通式（17）推導(dǎo)求得，且ae(0)=5 mm；進而結(jié)合式（11）即可得任意時刻刀齒切入/切出角。

圖6 變工況銑削工藝過程Fig.6 Milling process on varying cutting condition

3.1.5 變工況3維銑削穩(wěn)定性預(yù)報

綜合第3.1.1、3.1.4節(jié)及式（19），即可得圖3所示立式加工中心銑削動力學(xué)狀態(tài)空間方程。進而，借助時域全離散法，在如表2所示銑削參數(shù)創(chuàng)成的變工況設(shè)計空間內(nèi)進行穩(wěn)定性預(yù)報，可繪制如圖7所示變工況3維銑削穩(wěn)定性葉瓣曲面。

表2 變工況銑削參數(shù)Tab. 2 Milling parameters on varying cutting conditions

由圖7可看出：在3維葉瓣曲面上，部分區(qū)域（虛線框）極限軸向切深最高可達20 mm（例如A點），但該點對應(yīng)極限徑向切寬僅為5 mm；在2×103～8×103r/min轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)，當(dāng)徑向切寬達到20 mm時，對應(yīng)極限軸向切深最大值為12.3 mm（B點）；由于充分考慮了過程阻尼，銑削穩(wěn)定性在主軸低轉(zhuǎn)速區(qū)域（雙點劃線框）得到顯著提升。如圖7中C點的極限徑向切寬ae及極限軸向切深ap均達到了20 mm，但該點對應(yīng)的主軸轉(zhuǎn)速 Ω僅為1.5×103r/min。

圖7 3維銑削穩(wěn)定性葉瓣曲面Fig.7 3D milling stability lobe surface

由此，主軸轉(zhuǎn)速、軸向切深、徑向切寬三者間隱含著復(fù)雜的非線性映射關(guān)系：一方面，對于某一固定主軸轉(zhuǎn)速 Ω而言，極限穩(wěn)定徑向切寬和極限穩(wěn)定軸向切深之間呈現(xiàn)較顯著的負(fù)相關(guān)聯(lián)系，這與實際工程選擇切削工藝參數(shù)時ap與ae出現(xiàn)相互制約的情況是一致的；另一方面，對于某一固定軸向切深ap而言，可有多種主軸轉(zhuǎn)速 Ω與徑向切寬ae與之匹配，從而實現(xiàn)無顫振銑削；此外，過程阻尼對低轉(zhuǎn)速區(qū)域的銑削穩(wěn)定性有提升作用，可為低速重載切削提供一定理論與數(shù)據(jù)支撐。

3.2 實驗驗證

為驗證上述變工況3維銑削穩(wěn)定性預(yù)報結(jié)果，再次利用圖4所示實驗平臺，針對鋁合金AL7075-T6分別實施定工況（fixi）和變工況（vari）銑削實驗。期間，借助Kistler測力儀對銑削力信號進行采集，并以其時頻特征與加工表面質(zhì)量為依據(jù)對極限穩(wěn)定銑削參數(shù)進行判定。

3.2.1 定工況銑削實驗（fixi）

利用ae=20.0 mm的參考平面截取圖7所示變工況銑削穩(wěn)定性3維葉瓣曲面，可得如圖8（a）所示定工況銑削穩(wěn)定性葉瓣曲線（實線）。由圖8（a）可以看出，銑削過程阻尼及刀尖點非對稱動力學(xué)行為對極限穩(wěn)定軸向切深ap，尤其在主軸低轉(zhuǎn)速區(qū)，有較顯著的影響。為此，在不同轉(zhuǎn)速 Ω（fixi）（i=1，2， ···, 5）下開展0～8 mm變切深銑削實驗，以驗證上述預(yù)報結(jié)果。以Ω（fix1）=2 600 r/min為例，該轉(zhuǎn)速下極限軸向切深預(yù)報值ap_lim_pre=5.4 mm；圖8（b）、（c）分別為該轉(zhuǎn)速下定工況銑削實驗所測切削力時頻數(shù)據(jù)與零件加工表面質(zhì)量觀測。

根據(jù)圖8（b）時域數(shù)據(jù)可知，隨著軸向切深逐漸增大，銑削力幅值亦逐漸增大，并在時域30 s附近出現(xiàn)突變，而該銑削力頻域內(nèi)亦出現(xiàn)了1階模態(tài)附近的顫振頻率成分；由圖8（c）可以觀測到，當(dāng)ap增大至5.3 mm時工件表面開始出現(xiàn)振紋，此時切深即為轉(zhuǎn)速 Ω（fix1）=2 600 r/min實測極限軸向切深ap_lim_exp。

圖8 定工況銑削實驗（fix1）Fig.8 Milling experimentation on fixed cutting condition(fix1)

類似地，可完成其他轉(zhuǎn)速對應(yīng)定工況銑削實驗，最終可得如表3所示極限軸向切深測試數(shù)據(jù)與預(yù)報結(jié)果對比。其中，最大相對誤差為4.0%，表明所提方法能較準(zhǔn)確預(yù)報定工況銑削穩(wěn)定性。

表3 定工況極限穩(wěn)定銑削參數(shù)預(yù)報值與實測值Tab. 3 Predicted and experimental limit stable milling parameters on fixed cutting conditions

3.2.2 變工況銑削實驗（vari）

若以任一主軸轉(zhuǎn)速（Ω ）為參考平面截取圖7所示3維葉瓣曲面，可得如圖9（a）所示變工況極限穩(wěn)定銑削參數(shù)關(guān)系曲線。為驗證該預(yù)報結(jié)果，在對應(yīng)轉(zhuǎn)速下開展變工況銑削實驗。

以 Ω（var2）=2 800 r/min為例，該轉(zhuǎn)速下極限軸向切深ap_lim_pre與徑向切寬ae_lim_pre預(yù)報值分別為6.4與17.7 mm；圖9（b）、（c）則分別為該轉(zhuǎn)速下變工況銑削實驗所測銑削力時頻特征與零件加工表面質(zhì)量觀測，綜合二者分析可知，該轉(zhuǎn)速下極限穩(wěn)定銑削參數(shù)實測值分別為ap_lim_exp=6.8 mm、ae_lim_exp=17.2 mm。表4為不同轉(zhuǎn)速下實驗與預(yù)報對比結(jié)果，其中最大相對誤差為5.9%，結(jié)果表明該方法在各種工況下均有較好的準(zhǔn)確性。

圖9 變工況銑削實驗（var2）Fig.9 Milling experimentation on varying cutting condition (var2)

表4 變工況極限穩(wěn)定銑削參數(shù)預(yù)報值與實測值Tab. 4 Predicted and experimental limit stable milling parameters on varying cutting conditions

4 結(jié) 論

1）在綜合考慮銑削過程阻尼、刀尖點非對稱動力學(xué)行為及時變切寬的基礎(chǔ)上，借助時域全離散法針對變工況提出了3維銑削穩(wěn)定性預(yù)報方法體系，為實現(xiàn)面向變工況開展銑削工藝參數(shù)優(yōu)化提供了理論依據(jù)與數(shù)據(jù)支撐。

2）利用所提方法，針對某立式加工中心進行了變工況3維銑削穩(wěn)定性預(yù)報。預(yù)報結(jié)果表明：過程阻尼及刀尖點非對稱動力學(xué)行為對低轉(zhuǎn)速區(qū)銑削穩(wěn)定性有較顯著的提升作用；而在高轉(zhuǎn)速區(qū)，極限穩(wěn)定軸向切深與徑向切寬之間存在較明顯的負(fù)相關(guān)聯(lián)系。

3）通過開展定工況及變工況銑削實驗，對所提方法進行了驗證。數(shù)據(jù)對比分析顯示，極限穩(wěn)定銑削參數(shù)（軸向切深、徑向切寬）的預(yù)報值與實驗值吻合程度較高，最大相對誤差為5.9%，由此說明所提預(yù)報方法具有較高的準(zhǔn)確性。