基于里茲法的輸電鐵塔塔腳板內(nèi)力計(jì)算及其應(yīng)用

肖奉英，楊垂瑋，李響，張雷，黃模佳

(1.南昌大學(xué)工程力學(xué)系，江西 南昌 330031；2.中國(guó)能源建設(shè)集團(tuán)安徽省電力設(shè)計(jì)院有限公司，安徽 合肥 230601)

近年來(lái)，隨著電力需求的猛增，輸電線路向高電壓、大容量、多回路發(fā)展，鐵塔承受的荷載持續(xù)增加[1-2]，從而對(duì)塔腳板的承載力提出了更高的要求，直接導(dǎo)致了塔腳板的設(shè)計(jì)厚度越來(lái)越大。其中，較為常用的一種塔腳板為格構(gòu)式方型塔腳板，該塔腳板主要由靴板與底板焊接而成，當(dāng)塔腳板處于拉工況時(shí)，在拉力作用下，塔架上部結(jié)構(gòu)所承受的荷載通過(guò)塔腳板的地腳螺栓傳遞給基礎(chǔ)，在傳遞過(guò)程中，靴板與底板連接處的應(yīng)力最大，故研究靴板與底板連接處的內(nèi)力分布是設(shè)計(jì)塔腳板厚度的重要依據(jù)，塔腳板設(shè)計(jì)的安全性、可靠性和經(jīng)濟(jì)性[3]已經(jīng)引起了輸電線路工程設(shè)計(jì)人員的廣泛重視?，F(xiàn)行工程設(shè)計(jì)人員均是按照《架空輸電線路桿塔結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)技術(shù)規(guī)定》[4]給出的方法進(jìn)行塔腳板的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，由于現(xiàn)行規(guī)范[4]中給出的方法過(guò)于保守，從而導(dǎo)致塔腳板設(shè)計(jì)厚度過(guò)大的問(wèn)題遲遲無(wú)法解決。因此，輸電鐵塔(尤其是特高壓輸電鐵塔)塔腳板厚度的合理取值問(wèn)題是電力工程中亟需解決的一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題。

國(guó)內(nèi)學(xué)者對(duì)于輸電鐵塔塔腳板的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)做了大量的研究工作。張小兵等[5]基于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)及有限變形理論，將板轉(zhuǎn)換為殼元進(jìn)行模擬計(jì)算，為塔腳板轉(zhuǎn)換為殼元計(jì)算提供了理論依據(jù)。劉俊卿等[6]通過(guò)有限元模擬了塔腳板的應(yīng)力分布情況，并結(jié)合“塑性分析，彈性設(shè)計(jì)”的思想，提出了一種基于屈服線理論的四地腳螺栓塔腳板抗拉承載力計(jì)算公式。殷黎明等[7]在現(xiàn)行規(guī)范[4]的計(jì)算分析基礎(chǔ)上，以工程實(shí)際中的方形塔腳板為例，針對(duì)塔腳板不同支承形式的矩形區(qū)隔板進(jìn)行仿真計(jì)算，根據(jù)仿真計(jì)算結(jié)果對(duì)現(xiàn)行規(guī)范[4]中的方形塔腳板底板厚度計(jì)算公式進(jìn)行了修正。張麗娟等[8]利用ANSYS有限元軟件對(duì)處于拉工況的加勁四地腳螺栓塔腳板進(jìn)行了研究，并將有限元仿真計(jì)算結(jié)果與現(xiàn)行規(guī)范進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)現(xiàn)行規(guī)范的結(jié)果偏大，并根據(jù)有限元計(jì)算結(jié)果給出了塔腳板結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和材料選用的一些方法和建議供工程中參考使用?？梢钥闯觯瑖?guó)內(nèi)學(xué)者主要從數(shù)值仿真和試驗(yàn)研究?jī)蓚€(gè)方面，結(jié)合現(xiàn)行規(guī)范中給出的設(shè)計(jì)方法，提出塔腳板厚度的修正表達(dá)式，但相對(duì)來(lái)講，直接從板的理論上給出板的求解表達(dá)式，不僅相對(duì)簡(jiǎn)單可靠，而且可以更好地反映塔腳板內(nèi)力分布的具體情況。

基于上述研究背景，本文將從理論上以無(wú)加勁的四地腳螺栓方型塔腳板為對(duì)象展開(kāi)研究計(jì)算，考慮角鋼所在的區(qū)隔塊上靴板與底板連接處的應(yīng)力最大，取塔腳板所含角鋼的四分之一作為研究對(duì)象，將其轉(zhuǎn)換為力學(xué)模型，假設(shè)靴板與底板連接處的兩端為固定端，其余兩端自由，螺栓處任意作用一個(gè)集中荷載，利用最小勢(shì)能原理的里茲法[9]對(duì)該力學(xué)模型開(kāi)展理論研究工作。首先通過(guò)里茲法建立符合塔腳板邊界條件的位移函數(shù)w，并對(duì)該函數(shù)進(jìn)行無(wú)量綱化，使其滿足任意尺寸的塔腳板，同時(shí)利用Maple編程軟件進(jìn)行計(jì)算，從而給出四地腳螺栓塔腳板在拉工況下單位長(zhǎng)度最大彎矩的理論表達(dá)式，并最終對(duì)該理論表達(dá)式進(jìn)行簡(jiǎn)化，從而達(dá)到工程中可以采用的形式，并給出相應(yīng)的厚度計(jì)算表達(dá)式為塔腳板厚度的合理設(shè)計(jì)提供參考依據(jù)。

1 無(wú)加勁方型塔腳板的現(xiàn)行規(guī)范

方型塔腳板主要分為無(wú)加勁塔腳板和有加勁塔腳板兩種。本文主要研究無(wú)加勁方型塔腳板(圖1)，塔腳板的厚度主要取決于板底的最大彎矩，我國(guó)現(xiàn)行規(guī)范中，對(duì)于受拉工況的無(wú)加勁方型塔腳板，板底單位長(zhǎng)度的彎矩計(jì)算方法如下：

圖1 無(wú)加勁方型塔腳板Fig.1 Square tower base without stiffener

(1)

式中:T為基礎(chǔ)作用的上拔力；F為單個(gè)地腳螺栓承受的上拔力；Y為地腳螺栓中心至主角鋼邊的距離；D為地腳螺栓中心對(duì)應(yīng)的Ⅱ-Ⅱ斷面的計(jì)算寬度。

根據(jù)塔腳板的彎矩表達(dá)式，現(xiàn)行規(guī)范的塔腳板厚度計(jì)算表達(dá)式如下：

(2)

式中：t為塔腳板厚度；f為鋼材的抗拉強(qiáng)度設(shè)計(jì)值。

式(1)表明，塔腳板現(xiàn)行規(guī)范中給出的塔腳板彎矩計(jì)算方法主要是基于以下假設(shè)得出的：受拉工況下，地腳螺栓均勻受力；假定角鋼主材作為塔腳板的有效支承邊，各區(qū)隔板均視為懸挑板。然而在實(shí)際工程中，塔腳板的應(yīng)力場(chǎng)和位移場(chǎng)極為復(fù)雜，僅僅按照彈性假定理論進(jìn)行簡(jiǎn)單的彎矩求解無(wú)法反映工程實(shí)際，且在前期已有的塔腳板有限元仿真計(jì)算基礎(chǔ)上，其計(jì)算結(jié)果表明塔腳板設(shè)計(jì)規(guī)范彎矩值是有限元計(jì)算結(jié)果的兩倍，用式(2)進(jìn)行計(jì)算可以得到，塔腳板實(shí)際的厚度設(shè)計(jì)值要比規(guī)范設(shè)計(jì)值小將近30%，因此本文在現(xiàn)行規(guī)范的基礎(chǔ)上提出新的假設(shè)，并基于里茲法給出塔腳板最大彎矩的合理表達(dá)式，并利用式(2)得到新的厚度設(shè)計(jì)表達(dá)式，使工程中能更加合理地設(shè)計(jì)塔腳板厚度。

2 塔腳板的彎矩解析解的推導(dǎo)

對(duì)于現(xiàn)行規(guī)范[4]中的給出的彎矩求解表達(dá)式，力學(xué)分析模型過(guò)于簡(jiǎn)單，無(wú)法貼近工程實(shí)際，工程中真實(shí)的塔腳板如圖2所示，塔腳板通過(guò)連接螺栓與上部結(jié)構(gòu)連接，當(dāng)塔腳板處于拉工況時(shí)，上部結(jié)構(gòu)受到的拉力通過(guò)連接螺栓傳遞給靴板，再通過(guò)靴板往下傳遞至與底板連接的地腳螺栓，地腳螺栓通過(guò)螺桿將荷載傳遞給基礎(chǔ)。整個(gè)傳遞過(guò)程中，主要是通過(guò)4個(gè)地腳螺栓傳遞拉荷載，故計(jì)算時(shí)，地腳螺栓的位置可等同于在板上作用一個(gè)集中荷載。

圖2 鐵塔角鋼塔腳板Fig.2 Tower angle steel tower foot plate

一般角鋼所在的區(qū)隔板彎矩最大，故取該區(qū)隔塊作為研究對(duì)象，假設(shè)該區(qū)隔板是一塊兩相鄰邊固定、兩相鄰邊自由的板，靴板與底板連接的部分即為固定端，邊長(zhǎng)為a，對(duì)于拉工況作用下的塔腳板，主要是螺栓起作用，因此在螺栓的位置用載荷P取代螺栓，簡(jiǎn)化模型如圖3所示。

圖3 塔腳板簡(jiǎn)化計(jì)算模型Fig.3 Simplified calculation model of tower foot

基于上述假設(shè)，將塔腳板問(wèn)題轉(zhuǎn)換為矩形薄板求解問(wèn)題，采用里茲法求解矩形薄板的彎曲問(wèn)題，首先假設(shè)板受到的荷載為q(x,y)，則矩形薄板的彎曲方程可表示為：

D?2?2w(x,y)=q(x,y)

(3)

其中：

(4)

式中：ν為泊松比；D為撓曲剛度；E為彈性模量；t為板的厚度。

對(duì)于兩端固定、兩端自由的塔腳板，其固定端的位移和轉(zhuǎn)角為零，邊界條件為：

(5)

(6)

采用一種利用邊界條件求出位移函數(shù)的方法，即里茲法。里茲法是基于最小勢(shì)能原理得到位移w的一種近似方法，可以將位移函數(shù)w表示為：

w=a1φ1(x,y)+a2φ2(x,y)+…+anφn(x,y)

(7)

位移函數(shù)中φ1(x,y)，φ2(x,y)，…，φn(x,y)均為已知函數(shù)，滿足板的位移邊界條件，a1,a2,…，an都是待定常數(shù)。利用式(5)～式(7)建立含10個(gè)系數(shù)的位移方程可得：

w=x2y2(a1+a2x+a3y+a4x2+a5xy+a6y2+a7x3+a8x2y+a9xy2+a10y3)

(8)

這里采用了10個(gè)函數(shù)去計(jì)算近似位移，其中：

φ1(x,y)=x2y2，φ2(x,y)=x3y2，…，φ10(x,y)=y5

(9)

上式中任一函數(shù)均滿足塔腳板的邊界條件，為了使該方程適用于任何尺寸的方型塔腳板，所以要對(duì)x、y進(jìn)行無(wú)量綱化，同時(shí)，將位移方程用含矩陣變量的方式表示出來(lái)：

w=ahTb

(10)

式中：

(11)

當(dāng)塔腳板受到外力作用時(shí)，板對(duì)于整個(gè)系統(tǒng)的形變勢(shì)能為：

U=U1-V

(12)

受拉時(shí)，主要靠螺栓錨桿處受力，將螺栓錨桿處假設(shè)成一個(gè)加載點(diǎn)(x1,y1)，且受到的集中荷載為P，則：

U1=?udxdy，V=Pw(x1,y1)

(13)

其中：

(14)

式中：U1表示板的變形能；V為集中荷載P作用的外力勢(shì)能；U為系統(tǒng)的總勢(shì)能。

根據(jù)最小勢(shì)能原理，板的真實(shí)位移w應(yīng)使U取極值，w應(yīng)使得U的一階變分等于零，則有：

δU=0

(15)

利用式(15)對(duì)ai依次進(jìn)行求導(dǎo)，引出A、H矩陣，這里引出A、H矩陣，主要是為了求出h矩陣，進(jìn)而得到h的轉(zhuǎn)置矩陣，具體計(jì)算步驟如下：

(16)

(17)

且A、H矩陣滿足：

h=A-1H

(18)

式(10)只有b矩陣?yán)锩婧兞?，求彎矩M1只對(duì)b矩陣求導(dǎo)：

(19)

薄板的內(nèi)力可以用撓度函數(shù)表示為：

桐廬縣2018年“7.27”廊橋橋頂垮塌突發(fā)事件氣象服務(wù)與應(yīng)急處置淺析 陳斌 詹平華 江濤 張燕艷 江敏超(4∶17)

(20)

(21)

3 彎矩解析解的數(shù)值驗(yàn)證

為了驗(yàn)證式(21)的可靠性，利用ABAQUS軟件進(jìn)行有限元仿真模擬計(jì)算。由于塔腳板的厚度與邊寬的比值小于1/8，所以塔腳板屬于薄板，主要采用STRI65即六節(jié)點(diǎn)三角形薄殼網(wǎng)格單元計(jì)算，同時(shí)也用C3D20R即二十節(jié)點(diǎn)二次六面體網(wǎng)格單元進(jìn)行輔助驗(yàn)證。本次共建了8個(gè)有限元模型，模型可分為兩大類:第1類是塔腳板簡(jiǎn)化模型，該模型僅為塔腳板的1/4，即假設(shè)是兩端固定、兩端自由的板；第2類是塔腳板原模型，該模型與工程中的塔腳板一致。有限元模型網(wǎng)格劃分如圖4所示。

圖4 塔腳板網(wǎng)格劃分模型Fig.4 Tower foot plate meshing model

塔腳板和靴板在裝配過(guò)程中用合并實(shí)例命令將兩個(gè)部件變?yōu)橐粋€(gè)整體，角鋼與靴板設(shè)定為綁定連接，螺栓處的表現(xiàn)形式為在塔腳板上約束4個(gè)點(diǎn)即為螺栓的位置，采用的約束方式是完全固定。第1類模型采用STRI65和C3D20R兩種網(wǎng)格單元進(jìn)行計(jì)算，上拔力T直接加在螺栓的位置；第2類模型只采用STRI65網(wǎng)格單元進(jìn)行計(jì)算，上拔力T施加在角鋼主材上。假定材料是理想彈性材料，鋼的彈性模量取E=206 kN·mm-2，泊松比取ν=0.3。

計(jì)算過(guò)程中，通過(guò)改變螺栓的布置位置，力的大小以及板厚等變量，對(duì)有限元模型進(jìn)行計(jì)算，從而驗(yàn)證理論值是否接近有限元值，并找出規(guī)范值與有限元值之間的差距。通過(guò)對(duì)8個(gè)有限元模型進(jìn)行計(jì)算，可以得出一系列的有限元計(jì)算結(jié)果，其中塔腳板的Mises應(yīng)力云圖分布如圖5～圖7所示。

圖5 簡(jiǎn)化殼元四地腳螺栓塔腳板Fig.5 Simplified shell element four anchor bolt tower foot plate

圖6 簡(jiǎn)化20節(jié)點(diǎn)單元四地腳螺栓塔腳板Fig.6 Simplified 20-node element four anchor bolt tower foot plate

圖7 殼元四地腳螺栓塔腳板Fig.7 Shell element four anchor bolt tower foot plate

由圖5、圖6可以得到，用STRI65單元和C3D20R單元計(jì)算出來(lái)的塔腳板應(yīng)力值和應(yīng)力分布很接近，證明塔腳板除了可以用殼元計(jì)算之外，還可以采用三維實(shí)體C3D20R單元計(jì)算，尤其是需要設(shè)置螺栓與塔腳板的連接時(shí)，采用三維實(shí)體能更好地設(shè)置接觸關(guān)系。由圖5、圖7可以得到，簡(jiǎn)化的塔腳板和原模型塔腳板的應(yīng)力分布和位移趨勢(shì)一樣，說(shuō)明將塔腳板簡(jiǎn)化成兩端固定、兩端自由的板和螺栓處視為作用一個(gè)集中力P符合實(shí)際情況。

由表1可以看出，用里茲法計(jì)算出來(lái)的數(shù)值接近有限元值，進(jìn)一步印證了式(21)的可靠性。對(duì)于四地腳螺栓塔腳板來(lái)說(shuō)，通過(guò)與規(guī)范值的比對(duì)，能量法計(jì)算的理論值和有限元值比規(guī)范值都要小，規(guī)范值大約是有限元值的兩倍，而設(shè)計(jì)的理論值不僅比規(guī)范值小很多，與有限元值也比較接近，因而也相對(duì)安全可靠；由模型3～模型5的計(jì)算結(jié)果可得，彎矩值與上拔力T成正比，對(duì)于4地腳螺栓塔腳板來(lái)說(shuō)，通過(guò)提取支反力RF3所得到的P可知，4個(gè)地腳螺栓承受的拉力實(shí)際上不對(duì)稱，而最大的應(yīng)力則發(fā)生在區(qū)隔板面積最大的那一塊；由模型5、7、8的有限元值可以得出，在塔腳板厚度、上拔力一樣的情況下，螺栓布置越靠近板端，彎矩值就越大，越靠近角鋼，彎矩值就越小，可見(jiàn)力的傳遞距離變小時(shí)，彎矩也會(huì)減小；對(duì)于模型3、6的有限元計(jì)算結(jié)果，在厚度不一樣其他條件一樣的情況下，應(yīng)力值不一樣，板越薄，應(yīng)力值越大，但彎矩值比較接近。

得到彎矩大小之后，塔腳板也應(yīng)滿足強(qiáng)度條件，強(qiáng)度校核由以下表達(dá)式確定

(22)

式中:W為塔腳板的單位抗彎模量；M1為靴板與塔腳板連接處的最大單位長(zhǎng)度彎矩；f為鋼材的抗拉強(qiáng)度設(shè)計(jì)值，同樣的，如果已知力的大小，可通過(guò)式(22)反推塔腳板的厚度。

4 試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比

為了進(jìn)一步有效驗(yàn)證本文提出的彎矩表達(dá)式的可靠性，借助于我們課題組曾經(jīng)做過(guò)的塔腳板節(jié)點(diǎn)承載力真型試驗(yàn)結(jié)果，從試驗(yàn)研究的角度進(jìn)行驗(yàn)證。

圖8所示為四地腳螺栓塔腳板應(yīng)變花的粘貼位置標(biāo)示圖，圖9所示為塔腳板節(jié)點(diǎn)承載力真型試驗(yàn)加載圖，整個(gè)試驗(yàn)過(guò)程中，塔腳板應(yīng)變片布置位置是根據(jù)前期有限元仿真計(jì)算得出的應(yīng)變較大處[10-12]，在塔腳板上共布置13個(gè)應(yīng)變花，每個(gè)應(yīng)變花有3個(gè)應(yīng)變，共39個(gè)測(cè)點(diǎn)，加載工況為拉工況。

試驗(yàn)的應(yīng)變花位置主要是布置在靴板與塔腳板的連接處附近的位置，該試驗(yàn)所得到的數(shù)據(jù)正好是我們所需要的數(shù)值。該塔腳板的主區(qū)隔尺寸為400 mm×400 mm，螺栓布置在距離靴板200 mm的位置，每一個(gè)螺栓承受的上拔力為100 kN。經(jīng)分析，試驗(yàn)所得的單位長(zhǎng)度彎矩值為25.357 kN，用式(21)計(jì)算得出的單位長(zhǎng)度彎矩值為26.300 kN，用式(1)計(jì)算得出的規(guī)范值為50.0 kN。由此可見(jiàn)，試驗(yàn)所得的數(shù)值與解析解比較接近，進(jìn)一步驗(yàn)證了本文假設(shè)的力學(xué)模型與真實(shí)的塔腳板模型相吻合。其次，規(guī)范值是試驗(yàn)值的兩倍，可見(jiàn)按照現(xiàn)行規(guī)范給出的方法進(jìn)行塔腳板的厚度設(shè)計(jì)顯然過(guò)于保守，不經(jīng)濟(jì)。

(a) 塔腳板試驗(yàn)?zāi)Ｐ?/p>

5 結(jié)論

1) 在理論研究方面，基于里茲法，給出了四地腳螺栓塔腳板在拉工況作用下塔腳板的最大單位長(zhǎng)度彎矩的解析解；在數(shù)值研究方面，利用有限元軟件ABAQUS建立了8個(gè)塔腳板求解，將有限元結(jié)果與本文提出的塔腳板彎矩求解結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，二者結(jié)果吻合較好；在試驗(yàn)研究方面，借助于塔腳板承載力真型試驗(yàn)的結(jié)果，進(jìn)一步驗(yàn)證了本文給出的彎矩表達(dá)式的可靠性。

2) 基于里茲法推導(dǎo)出來(lái)的彎矩表達(dá)式表明，單位長(zhǎng)度彎矩的大小與塔腳板的厚度無(wú)關(guān)，但是塔腳板的極限承載力與板厚息息相關(guān)；因此，為了滿足承載力的要求，建議在實(shí)際工程中，在滿足構(gòu)造條件的前提下，塔腳板盡量做小一點(diǎn)且厚一點(diǎn)。

3) 有限元對(duì)比分析結(jié)果表明，按照現(xiàn)行行業(yè)規(guī)范的方法求解出的彎矩值將近是有限元值的兩倍；相比之下，通過(guò)里茲法計(jì)算出來(lái)的表達(dá)式得到的彎矩值要小很多，很大程度上可以降低塔腳板的厚度設(shè)計(jì)值，節(jié)省材料30%左右，還可以保證材料性能的充分發(fā)揮。

4)對(duì)于復(fù)雜的方程，可以采用最小二乘法、多項(xiàng)式擬合等擬合方法將復(fù)雜的方程簡(jiǎn)化成簡(jiǎn)單的方程，從而使計(jì)算變得簡(jiǎn)單方便，便于指導(dǎo)實(shí)際工程應(yīng)用，為今后類似問(wèn)題的求解提供借鑒。