桿系結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)模型的快速評(píng)估方法

魯煜天，邱國(guó)志

(上海交通大學(xué)土木工程系，上海 200240)

空間桿系結(jié)構(gòu)具有構(gòu)型簡(jiǎn)單、結(jié)構(gòu)整體受力性能好、自重輕等優(yōu)點(diǎn)[1]，在大跨度結(jié)構(gòu)中應(yīng)用廣泛。桿系結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)是在滿足設(shè)計(jì)規(guī)范或某些特殊要求的條件下，以盡量少的用鋼量或低的造價(jià)達(dá)到最佳性能[2]，通常從拓?fù)潢P(guān)系和截面尺寸兩方面進(jìn)行[3]。拓?fù)潢P(guān)系優(yōu)化是通過(guò)控制結(jié)構(gòu)參數(shù)[4-5]或采用連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化[6]生成一系列幾何構(gòu)造相異的模型并擇優(yōu)進(jìn)行下一步設(shè)計(jì)，截面尺寸優(yōu)化則是根據(jù)一定優(yōu)化算法為構(gòu)件尋找最佳截面尺寸[7]，最終桿系結(jié)構(gòu)模型的優(yōu)劣是根據(jù)截面尺寸優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)整體用鋼量評(píng)估的[8]。

面對(duì)拓?fù)潢P(guān)系優(yōu)化產(chǎn)生的龐大模型數(shù)量，截面尺寸優(yōu)化的迭代計(jì)算將耗費(fèi)大量時(shí)間[9]，影響結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)效率。基于此問(wèn)題，本文針對(duì)空間桿系結(jié)構(gòu)提出了一種用鋼量快速估算方法，該方法基于單一截面尺寸模型，只進(jìn)行一次有限元計(jì)算，根據(jù)桿件軸力大小和長(zhǎng)細(xì)比控制條件估算結(jié)構(gòu)用鋼量，再擇優(yōu)提取若干模型進(jìn)行桿件截面尺寸優(yōu)化，最終得出結(jié)構(gòu)的最優(yōu)設(shè)計(jì)方案。

本文以平板網(wǎng)架結(jié)構(gòu)為例對(duì)用鋼量快速估算方法進(jìn)行了測(cè)試，結(jié)果表明該方法可以在保證優(yōu)化效果的同時(shí)有效減少優(yōu)化過(guò)程中的計(jì)算量，擴(kuò)大優(yōu)化搜索空間，顯著提高優(yōu)化設(shè)計(jì)的效率。

1 空間桿系結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)過(guò)程

空間桿系結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)可以分為以下幾個(gè)步驟[10]：

1) 選擇結(jié)構(gòu)類型并確定結(jié)構(gòu)尺寸，構(gòu)建形狀輪廓。

2) 明確結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)，不同的結(jié)構(gòu)類型選取的結(jié)構(gòu)參數(shù)不同，比如平板網(wǎng)架有網(wǎng)格尺寸、網(wǎng)架厚度，柱面網(wǎng)殼有矢跨比，桁架結(jié)構(gòu)有桁架厚度、上下弦寬等。

3) 在合理范圍內(nèi)調(diào)整結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)的取值，從而改變拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，生成大量模型樣本。

4) 賦予桿件截面并進(jìn)行有限元計(jì)算，評(píng)估結(jié)構(gòu)力學(xué)性能并擇優(yōu)保留設(shè)計(jì)方案。

上述第4個(gè)步驟即結(jié)構(gòu)模型的擇優(yōu)需要對(duì)每個(gè)模型進(jìn)行分析評(píng)價(jià)，一項(xiàng)重要評(píng)價(jià)指標(biāo)即為結(jié)構(gòu)用鋼量。計(jì)算結(jié)構(gòu)用鋼量需要進(jìn)行桿件截面迭代優(yōu)化，主要流程為：

1) 賦予模型所有桿件相同的截面尺寸并施加荷載，進(jìn)行有限元分析得出桿件內(nèi)力，得到第1次有限元計(jì)算結(jié)果。

2) 根據(jù)有限元計(jì)算得出的桿件內(nèi)力進(jìn)行校核，自動(dòng)調(diào)整桿件截面。

3) 由于桿件截面調(diào)整，結(jié)構(gòu)整體剛度將發(fā)生變化，再次進(jìn)行有限元計(jì)算得出桿件內(nèi)力。

4) 重復(fù)以上內(nèi)力校核并調(diào)整桿件截面的過(guò)程，直到結(jié)構(gòu)所有桿件滿足應(yīng)力比要求。

桿件截面優(yōu)化過(guò)程中，反復(fù)進(jìn)行有限元計(jì)算所帶來(lái)的計(jì)算量是影響結(jié)構(gòu)優(yōu)化效率的主要原因，可以推斷當(dāng)模型結(jié)構(gòu)復(fù)雜且桿件數(shù)量龐大時(shí)，截面優(yōu)化的迭代過(guò)程將會(huì)消耗大量計(jì)算時(shí)間。

2 模型快速評(píng)估方法

針對(duì)桿件截面優(yōu)化的迭代過(guò)程會(huì)嚴(yán)重影響結(jié)構(gòu)優(yōu)化的效率的問(wèn)題，本文提出了桿系結(jié)構(gòu)模型快速評(píng)估方法，賦予所有桿件相同截面，只進(jìn)行一次有限元計(jì)算，根據(jù)桿件內(nèi)力估算結(jié)構(gòu)總用鋼量。提取用鋼量較低的模型，通過(guò)桿件截面優(yōu)化迭代得到精確用鋼量，可以顯著提高計(jì)算效率，并且保證結(jié)構(gòu)優(yōu)化的效果。

由于桿件的截面大小通常由軸力或長(zhǎng)細(xì)比決定，因此對(duì)于軸力較大的桿件只需要得出桿件截面積和軸力之間的關(guān)系，便可計(jì)算得到桿件質(zhì)量。雖然優(yōu)化過(guò)程中桿件截面的變化會(huì)引起內(nèi)力重分布，但是在荷載一定時(shí)桿件軸力和其在結(jié)構(gòu)中的空間位置以及約束條件有關(guān)，賦予所有桿件相同截面得出的計(jì)算結(jié)果依然具有參考價(jià)值。而軸力較小的桿件，則需要控制其長(zhǎng)細(xì)比在一定合理范圍內(nèi)。

假設(shè)桿件截面利用率達(dá)到理想狀態(tài)，可用構(gòu)件強(qiáng)度設(shè)計(jì)值把桿件的軸力和截面積聯(lián)系起來(lái)。由于壓桿存在穩(wěn)定性問(wèn)題，拉桿和壓桿分別考慮，計(jì)算公式推導(dǎo)如下。

所有桿件截面取同一規(guī)格，截面積A為定值，第1次有限元計(jì)算結(jié)果的桿件軸力記為N，長(zhǎng)度記為L(zhǎng)。單根桿件質(zhì)量用字母w表示。

對(duì)于拉桿：

(1)

式中：f為抗拉強(qiáng)度設(shè)計(jì)值，本文中模型材料為Q235鋼，f取值為205 MPa；ρ為鋼材密度，取7 850 kg·m-3。

因此拉桿單根桿件質(zhì)量與長(zhǎng)度L和軸力N的乘積成正比。

(2)

(3)

上式表明，以長(zhǎng)細(xì)比作為控制條件時(shí)，單根桿件的質(zhì)量約與其長(zhǎng)度的三次方成正比。

因此單根桿件質(zhì)量最終的估算公式如下：對(duì)于拉桿，取式(1)和式(3)的較大值，對(duì)于壓桿，取式(2)和式(3)的較大值。

3 模型快速評(píng)估方法測(cè)試

3.1 分析模型

對(duì)上述模型評(píng)估方法進(jìn)行測(cè)試，采用的分析模型為雙層四角錐平板網(wǎng)架結(jié)構(gòu)，模型長(zhǎng)60 m，寬60 m，沿長(zhǎng)寬各等分15個(gè)網(wǎng)格，共1 800根桿件。為使測(cè)試結(jié)果更具可靠性，本次分析的模型分為兩組，每組100個(gè)，兩組模型剖面圖如圖1所示。

(a) 第1組模型剖面示意圖

(b) 第2組模型剖面示意圖圖1 平板網(wǎng)架模型剖面圖Fig.1 Profile of flat grid models

第1組模型特點(diǎn)是各處厚度隨機(jī)，模型為上弦節(jié)點(diǎn)處于同一平面，下弦所有節(jié)點(diǎn)到上弦平面垂直距離介于1.5～4.5 m之間隨機(jī)分布；由于周邊簡(jiǎn)支平板網(wǎng)架中心區(qū)域彎矩較大，第2組模型采用中間厚邊緣薄的拋物面設(shè)計(jì)，模型構(gòu)建方法為上弦節(jié)點(diǎn)處于同一平面不變，下弦節(jié)點(diǎn)中心到上弦垂直距離在1.5～4.5 m之間隨機(jī)產(chǎn)生并記為h，邊緣節(jié)點(diǎn)到上弦垂直距離介于1.5 m至h之間隨機(jī)產(chǎn)生，其他下弦節(jié)點(diǎn)位于由中心下弦節(jié)點(diǎn)和四周邊緣下弦節(jié)點(diǎn)組合構(gòu)成的拋物面上。

網(wǎng)架結(jié)構(gòu)采用上弦節(jié)點(diǎn)周邊支承，結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)荷載為[12]：恒載0.3 kN·m-2，活載0.5 kN·m-2，不考慮風(fēng)雪等荷載影響。對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行線性內(nèi)力分析，賦予所有桿件相同截面進(jìn)行第1次有限元計(jì)算并記錄結(jié)果(每根桿件的編號(hào)、長(zhǎng)度、截面積、軸力)，再對(duì)所有模型進(jìn)行桿件截面優(yōu)化，記錄優(yōu)化后的計(jì)算結(jié)果(每根桿件的編號(hào)、長(zhǎng)度、截面積、軸力)。最終每個(gè)模型對(duì)應(yīng)一個(gè)數(shù)據(jù)文件，記錄其第1次有限元計(jì)算結(jié)果和截面優(yōu)化后的結(jié)果。

3.2 迭代計(jì)算和快速估算結(jié)果對(duì)比

迭代計(jì)算結(jié)果是桿件截面優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)用鋼量，截面優(yōu)化主要根據(jù)桿件應(yīng)力比的大小采用離散變量?jī)?yōu)化設(shè)計(jì)的方法從標(biāo)準(zhǔn)型鋼庫(kù)內(nèi)選擇合適的尺寸[13]，最終得到結(jié)構(gòu)整體用鋼量。快速估算結(jié)果由前文所述模型快速評(píng)估方法計(jì)算得到。用鋼量估算流程如圖2所示。

圖2 用鋼量估算流程圖Fig.2 Flow chart of steel consumption estimation

兩組平板網(wǎng)架模型，共200個(gè)數(shù)據(jù)文件，與200個(gè)模型一一對(duì)應(yīng)，記錄了模型在等截面下第1次有限元計(jì)算得到的所有桿件的編號(hào)、長(zhǎng)度、截面積、軸力以及經(jīng)過(guò)桿件截面迭代優(yōu)化后的所有桿件的編號(hào)、長(zhǎng)度、截面積、軸力。

對(duì)于第1次有限元計(jì)算得到的結(jié)果，借助如圖2所示的程序流程圖，使用上述快速評(píng)估方法估算結(jié)構(gòu)用鋼量。而對(duì)于桿件截面迭代優(yōu)化后的結(jié)果，通過(guò)桿件截面和長(zhǎng)度直接計(jì)算所有構(gòu)件的質(zhì)量，即可得出結(jié)構(gòu)用鋼量的精確值。

根據(jù)上述流程計(jì)算得到所有模型估算用鋼量，與模型精確用鋼量進(jìn)行對(duì)比分析。將第1組100個(gè)模型按精確用鋼量排序得到最節(jié)省用鋼量的前10個(gè)模型，再對(duì)該100個(gè)模型按估算用鋼量排序，從該排序列表中找出上述按精確用鋼量排序得到的最優(yōu)前十模型所在位置，結(jié)果如表1所示。

表1 第1組模型用鋼量排序結(jié)果Tab.1 Steel consumption ranking of the first group models

對(duì)第2組模型的用鋼量計(jì)算結(jié)果進(jìn)行相同的排序操作得到的結(jié)果如表2所示。

表2 第2組模型用鋼量排序結(jié)果Tab.2 Steel consumption ranking of the second group models

以上結(jié)果顯示兩組模型進(jìn)行桿件截面迭代優(yōu)化，按精確用鋼量排序得到的最節(jié)省用鋼量的前10個(gè)模型，都分布在按估算用鋼量結(jié)果排序的前20以內(nèi)，可見(jiàn)估算用鋼量結(jié)果具有很大的參考價(jià)值。

為使估算用鋼量和精確用鋼量對(duì)比更加直觀，將結(jié)構(gòu)精確用鋼量和估算用鋼量分別歸一化(采用相對(duì)用鋼量，令用鋼量最大值為1，相對(duì)用鋼量為當(dāng)前模型用鋼量與最大用鋼量的比值)，兩者對(duì)比如圖3所示。

模型編號(hào)(a) 第1組模型用鋼量

由圖3可以看出精確用鋼量和估算用鋼量相對(duì)值變化規(guī)律吻合較好，即各個(gè)模型之間估算的結(jié)果基本符合精確用鋼量的相對(duì)值，估算用鋼量的結(jié)果可能在數(shù)值上與精確用鋼量有一定的偏差，但是不妨礙可以通過(guò)估算用鋼量衡量結(jié)構(gòu)性能的差異，估算用鋼量節(jié)省的模型精確用鋼量也相對(duì)節(jié)省。

3.3 快速估算優(yōu)化效率提高

假設(shè)一個(gè)模型要得到精確用鋼量需要進(jìn)行10次截面迭代優(yōu)化，那么從100個(gè)模型中選擇1個(gè)最優(yōu)結(jié)果就需要1 000次有限元計(jì)算。而采用本文提出的估算方法，同樣是100個(gè)模型，只需要利用第1次有限元計(jì)算結(jié)果進(jìn)行模型優(yōu)劣評(píng)估并擇優(yōu)，比如只選用前20%，再對(duì)該20個(gè)模型進(jìn)行桿件截面迭代優(yōu)化得到精確用鋼量，共需要100+20×10=300次有限元計(jì)算，而最終得到的結(jié)果與前述1 000次計(jì)算結(jié)果是相同的。從圖3可以直觀看出，優(yōu)化后用鋼量相對(duì)值和估算用鋼量相對(duì)值具有一定重合度，驗(yàn)證了本文所提的估算方法能較為準(zhǔn)確地評(píng)估結(jié)構(gòu)模型的優(yōu)劣程度，因此在空間桿系結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)中，我們只需要進(jìn)行少量的有限元計(jì)算，便能通過(guò)對(duì)比選出性能更優(yōu)的模型，減少了有限元計(jì)算的次數(shù)，提高了結(jié)構(gòu)優(yōu)化的效率。

4 結(jié)論

空間桿系結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)可以通過(guò)調(diào)整幾個(gè)關(guān)鍵結(jié)構(gòu)參數(shù)并組合產(chǎn)生幾百上千個(gè)模型對(duì)象，而優(yōu)化設(shè)計(jì)要解決的關(guān)鍵問(wèn)題是確定合理的參數(shù)取值范圍以及高效地從大量樣本中快速篩選出表現(xiàn)更優(yōu)的模型。

1)本文提出了一種快速估算用鋼量并用以評(píng)估結(jié)構(gòu)性能的方法：賦予構(gòu)件統(tǒng)一截面進(jìn)行一次有限元計(jì)算得到軸力的大小，根據(jù)軸力和長(zhǎng)細(xì)比估算結(jié)構(gòu)用鋼量。結(jié)果表明該方法估算得到的用鋼量與迭代計(jì)算得到的精確用鋼量吻合較好。

2)對(duì)于桿系結(jié)構(gòu)而言，快速估算用鋼量的方法可以大幅減少計(jì)算量，因此在耗費(fèi)相同計(jì)算量的前提下，使用快速估算用鋼量的方法可以擴(kuò)大約3倍的優(yōu)化搜索空間。

3)通過(guò)桿件軸力和長(zhǎng)細(xì)比估算結(jié)構(gòu)用鋼量只適用于空間桿系結(jié)構(gòu)，存在一定局限性，對(duì)于包含梁、索、膜單元的空間結(jié)構(gòu)，可以本文的方法作為參考，分析其他影響因素，選用適合的材料用量估算方法。