基于常微分方程的高壓油管壓力控制的問(wèn)題研究

張娜 郝子碩 方秀男

DOI：10.16660/j.cnki.1674-098X.2011-5640-9248

摘? 要：燃油機(jī)是目前世界上應(yīng)用領(lǐng)域極為廣泛的一種熱力機(jī)械。為了控制燃油機(jī)高壓油管中的壓力對(duì)燃油機(jī)的供油和噴油規(guī)律進(jìn)行研究。為保持管內(nèi)油壓160MPa不變，首先運(yùn)用SPSS軟件對(duì)收集到的壓力和彈性模量的數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸分析，建立燃油壓力、密度和彈性模量的微分方程模型，進(jìn)而求出160MPa時(shí)燃油的密度然后建立供油量的初等模型，使之與噴油量相同，進(jìn)而解出供油單向閥開(kāi)啟時(shí)長(zhǎng)為0.7ms。為將高壓油管內(nèi)的壓力盡量穩(wěn)定在100MPa左右，用SPSS對(duì)針閥運(yùn)動(dòng)的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析來(lái)一個(gè)周期內(nèi)噴油嘴工作的時(shí)間。然后運(yùn)用瞬時(shí)燃油速率公式求出工作時(shí)間的噴油量，進(jìn)而建立瞬時(shí)供油的微分方程模型，求出噴油泵凸輪的角速度為400rad/s。

關(guān)鍵詞：初等模型? 供油和噴油? SPSS? 微分方程模型

中圖分類(lèi)號(hào)：TK423? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號(hào)：1674-098X（2021）01（c）-0075-03

Research on Pressure Control of High Pressure Tubing based on Ordinary Differential Equation

ZHANG Na? HAO Zishuo? FANG Xiunan

（College of Science， Jiamusi University， Jiamusi， Heilongjiang Province，154007 China）

Abstract： Fuel oil engine is a kind of thermal machinery widely used in the world. In order to control the pressure in the high pressure tubing of the fuel oil machine， the oil supply and injection law of the fuel oil machine were studied. To keep tube oil pressure 160 MPa， first using the SPSS software to stress and elastic modulus of collected data regression analysis， establish a fuel pressure， density and elastic modulus of the differential equation model， and the density of 160 MPa fuel elementary model， and then set up the flow of oil to make it same as the fuel injection quantity， and then work out the oil supply one-way valve open time of 0.7 ms In order to keep the pressure in the high-pressure tubing as stable as possible at about 100MPa， SPSS was used to analyze the movement data of the needle valve to calculate the working time of the nozzle within one cycle. Then， the instantaneous fuel rate formula was used to calculate the amount of fuel injection at working time， and then the differential equation model of instantaneous oil supply was established， and then the angular velocity of the CAM for injection pump was calculated as 400rad/s.

Key Words： Elementary model; Fuel supply and fuel injection; SPSS; Differential equation model

1? 問(wèn)題重述

1.1 背景分析

燃油機(jī)是目前世界上應(yīng)用領(lǐng)域極為廣泛的一種熱力機(jī)械，具有熱效率高轉(zhuǎn)速和功率范圍廣泛等特點(diǎn)，隨著內(nèi)燃機(jī)向高速、輕型、大功率方向發(fā)展，供油系統(tǒng)壓力提高，其真正利用率和零部件的工作可靠性越來(lái)越引起人們的關(guān)注。燃油進(jìn)入和噴出高壓油管是許多燃油發(fā)動(dòng)機(jī)工作的基礎(chǔ)、某高壓燃油系統(tǒng)的工作原理，燃油經(jīng)過(guò)高壓油泵從A處進(jìn)入高壓油管，再由噴口B噴出。燃油進(jìn)入和噴出的間歇性工作過(guò)程會(huì)導(dǎo)致高壓油管內(nèi)壓力的變化，影響所噴出的燃油量。

問(wèn)題1：通過(guò)對(duì)問(wèn)題的總結(jié)，得出以下兩個(gè)方面：

（1）高壓油泵和噴油管的進(jìn)出速率已知，在其兩孔的燃油進(jìn)出穩(wěn)定的情況下保證其高壓油管內(nèi)的壓力穩(wěn)定在100MPa左右，來(lái)設(shè)置單向閥每次開(kāi)啟的時(shí)長(zhǎng);

（2）同樣也是在保持兩孔進(jìn)出穩(wěn)定的情況下，將高壓油管的壓力從100MPa增加到150MPa，在這個(gè)過(guò)程中分別用了2s、5s和10s來(lái)調(diào)整，最后將壓力穩(wěn)定在150MPa，調(diào)整單向閥開(kāi)啟的時(shí)長(zhǎng)。

問(wèn)題2：在問(wèn)題1中給出的噴油器工作次數(shù)、高壓油管尺寸和初始?jí)毫ο拢_定凸輪的角速度，使得高壓油管內(nèi)的壓力盡量穩(wěn)定在100MPa左右。

2? 問(wèn)題分析

2.1 問(wèn)題一分析

要求適當(dāng)?shù)卦O(shè)置高壓油管中單向閥開(kāi)啟的時(shí)長(zhǎng)，將高壓油管管內(nèi)的壓力盡可能穩(wěn)定在100MPa左右，以及分別經(jīng)過(guò)2s、5s和10s的調(diào)整過(guò)程將高壓油管內(nèi)的壓力從100MPa增加到150MPa并穩(wěn)定在150MPa。在高壓油管內(nèi)100MPa的情況下，建立單位時(shí)間內(nèi)供油量和單位時(shí)間內(nèi)的噴油量相等的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而求出開(kāi)啟時(shí)長(zhǎng)。

2.2 問(wèn)題二分析

要求確定凸輪的角速度，將高壓油管內(nèi)的壓力盡量穩(wěn)定在100MPa左右。首先要明確了解高壓油管的供油過(guò)程和噴油過(guò)程的原理，其次運(yùn)用spss軟件加以處理，建立凸輪邊緣曲線和角度的圖象以及針閥升程與時(shí)間關(guān)系的圖象，單位時(shí)間內(nèi)供油量和噴油量相同可以保證高壓油管內(nèi)壓力不改變。因此我們通過(guò)建立供油和噴油的微分方程模型，并讓供油和噴油在單位時(shí)間內(nèi)相同，以此求出凸輪的角速度。

3? 模型的假設(shè)

（1）燃油經(jīng)孔口沒(méi)有能量損失，孔口的阻力系數(shù)為零。

（2）不會(huì)因?yàn)槿加偷挠土慷垢邏河凸艿钠趶?qiáng)度發(fā)生改變。

（3）忽略燃油的靜壓力可能會(huì)引起的高壓油管管體的膨脹或收縮。

（4）假設(shè)外界大氣壓對(duì)高壓油管沒(méi)有影響。

（5）假設(shè)外界溫度變化忽略不計(jì)，對(duì)高壓油管和油體沒(méi)有影響。

4? 模型的建立與求解

4.1 問(wèn)題一

為了得出單向閥開(kāi)啟的時(shí)長(zhǎng)需要建立燃油進(jìn)入高壓油管的流量Q1、噴油量Q2之間的初等方程模型來(lái)求解單向閥開(kāi)啟的時(shí)長(zhǎng)。

其中ρ為高壓側(cè)燃油的密度，因此我們需要求出160MPa時(shí)的燃油密度.根據(jù)注釋1燃油的壓力變化量與密度變化量成正比，比例系數(shù)為。分式中為燃油密度，E為彈性模量。建立的數(shù)學(xué)模型如下：

由可分離變量的微分方程知識(shí)可知，該公式可進(jìn)一步變形得到：

P和E的數(shù)據(jù)在附件2中，通過(guò)建立一元線性回歸方程來(lái)建立兩個(gè)變量之間的關(guān)系，數(shù)學(xué)模型如下：

由表格中的數(shù)據(jù)可知，R2=0.971，r趨近于1，表明模型的擬合程度很好。

本文通過(guò)運(yùn)用SPSS和excel軟件能夠求出方程的系數(shù)和圖像，通過(guò)表格可知b=8.862、a=1379.2、 R2=0.971。于是方程為：

R2接近于1，因此壓力和彈性模量的相關(guān)關(guān)系很強(qiáng)，通過(guò)excel作圖也可以直觀看到兩者之間相關(guān)性很強(qiáng)。因此帶入到密度與壓力的公式中可得：

代入數(shù)據(jù)，當(dāng)壓力為100MPa時(shí)，燃油密度為 可得：

建立初等數(shù)學(xué)模型來(lái)求解：

求得噴油嘴每秒噴油量440mm3，因此供油口每秒供油也是440mm3。

設(shè)單向閥開(kāi)啟時(shí)間為t，每秒工作n次，可列出如下方程式[3]。

代入所需的數(shù)據(jù)，可以求出單向閥應(yīng)該開(kāi)啟的時(shí)長(zhǎng)0.7ms。

4.2 問(wèn)題二

由題意知，凸輪通過(guò)推動(dòng)柱塞壓縮腔內(nèi)燃油，確定凸輪的角速度，使得高壓油管內(nèi)的壓力盡量穩(wěn)定在100MPa左右，因此我們需要建立供油和噴油之間的數(shù)學(xué)模型來(lái)找到所需的目標(biāo)值。根據(jù)附件1中的數(shù)據(jù)我們可以建立極角和極徑之間的關(guān)系。

由于凸輪是一個(gè)具有曲線輪廓的構(gòu)件，可推出凸輪推動(dòng)柱塞的過(guò)程符合三角函數(shù)運(yùn)動(dòng)規(guī)律[2]。

推程時(shí)的運(yùn)動(dòng)方程為：

回程時(shí)的運(yùn)動(dòng)方程為：

本文通過(guò)SPSS軟件可以建立時(shí)間和針閥之間的關(guān)系，可求噴油嘴的噴油過(guò)程

幾何供油規(guī)律方程式：

噴油規(guī)律方程式：

設(shè)t2～t3為供油時(shí)間，t0～t1為噴油時(shí)間，于是在工作時(shí)間內(nèi)供油量和噴油量為：

單位時(shí)間內(nèi)供油量和噴油量相同，并且設(shè)單位時(shí)間內(nèi)柱油塞工作次。

由物理知識(shí)得：

綜合以上各方程式建立供油和噴油的數(shù)學(xué)模型，并帶入相關(guān)數(shù)據(jù)，求出凸輪的角速度為400rad/s。

5? 結(jié)論

5.1 模型的優(yōu)缺點(diǎn)

常微分方程是可以解決連續(xù)型的問(wèn)題，前提條件是要求高壓油泵的流體速度和密度都是連續(xù)可導(dǎo)的。在解決流體力學(xué)中的問(wèn)題時(shí)需要建立一系列的假設(shè)條件，但在實(shí)際解決的過(guò)程中是很難實(shí)現(xiàn)的，所以應(yīng)當(dāng)考慮更優(yōu)化的模型，而本文所采用的常微分模型無(wú)論是從選擇的深度還是廣度都是不夠的，只進(jìn)行了簡(jiǎn)單粗略的模型建立與求解，還有很多的不足，有待改良。

5.2 模型的優(yōu)點(diǎn)

（1）模型的建立思路明確簡(jiǎn)潔，適用于高溫燃油發(fā)動(dòng)機(jī)在實(shí)際生活中的理論研究，控制壓力和提高工作效率。（2）常微分方程數(shù)學(xué)模型可以根據(jù)函數(shù)和變量間的變化率直接得出函數(shù)。

5.3 模型的缺點(diǎn)

（1）此模型在實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中所涉及的假設(shè)條件可能無(wú)法全部實(shí)現(xiàn);（2）理論得出的數(shù)值和實(shí)際上的計(jì)算結(jié)果往往會(huì)有差別，受密度和壓力等的環(huán)境影響，理想條件也可能會(huì)出現(xiàn)誤偏差，實(shí)際操作時(shí)也可能會(huì)出現(xiàn)設(shè)備的損壞，會(huì)帶來(lái)誤差。

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