壓裂直井和水平井的探測區(qū)域計算公式

張洪軍 ，李新春 ，王瑞剛 ，王小軍 ，李二黨 ，韓章英

（1.中國石油長慶油田分公司第一采油廠，陜西 延安 716000；2.西安石油大學(xué)石油工程學(xué)院，陜西 西安 710065）

0 引言

改變井的流量，壓力不穩(wěn)定過程向地層內(nèi)部推移的距離，即探測半徑［1］。探測半徑常用于擬時間計算［2］、測試影響范圍研究、單井控制儲量計算［3］及不穩(wěn)定產(chǎn)能分析［4-5］等。關(guān)于探測半徑的研究主要集中在直井，而水平井較少，壓裂直井目前未見相關(guān)報道。

由于直井井筒具有很好的對稱性，探測半徑計算公式相對簡單，目前已經(jīng)得到較為完善的探測半徑方程［6-11］，然而關(guān)于水平井探測半徑的研究尚不充分。李傳亮等［12］利用壓力脈沖波的傳播理論，推導(dǎo)了平面單向流的探測距離計算公式，利用該公式可以計算水平井、排狀井網(wǎng)或河道條帶地層情況下存在平面單向流時的油井探測距離。朱黎鷂等［13］將水平井探測半徑的計算問題轉(zhuǎn)為虛擬直井探測半徑的計算問題，解決了水平井探測半徑的計算難題。陳志明等［14］建立了考慮滲透率動態(tài)效應(yīng)和應(yīng)力敏感的水平井滲流模型，并采用數(shù)值離散法得出了水平井的探測半徑。對水平井而言，儲層中的流體流動為三維流動，嚴格來講，探測半徑在3個方向上（垂向、徑向垂直水平井方向、徑向沿水平井方向）隨時間的變化規(guī)律是各不相同的。目前的研究成果均只給出了一個綜合的探測半徑，而它并不能準確反映水平井壓力波的傳播規(guī)律。

直井探測區(qū)域為一個標準的圓柱體，用探測半徑來描述壓力波及范圍是合理的。但水平井和壓裂直井相對復(fù)雜，二者的探測區(qū)域并非標準的圓柱體，因此用探測半徑來描述壓力波及范圍還不夠準確。

筆者給出了壓裂直井和水平井探測區(qū)域（包括探測區(qū)域外邊界和探測區(qū)域體積）的精確計算公式，研究了壓裂直井和水平井探測區(qū)域計算公式的漸近性，并明確了在何種情況下可以采用直井的探測半徑公式近似計算這2種井型的無因次探測體積；最后，利用榆林氣田一口產(chǎn)氣水平井——X井實例驗證了本文方法的準確性和可靠性。

1 壓裂直井探測區(qū)域計算公式

假設(shè)在均質(zhì)無限大地層中，一口壓裂直井在0時刻給以瞬時激動產(chǎn)量，且激動前地層中壓力均為原始地層壓力。儲層完全射開，儲層上下為不滲透邊界，同時假設(shè)地層及流體滿足：1）儲層各向同性、等厚；2）儲層中流體及巖石為微可壓縮；3）儲層中流體滿足達西流動；4）壓裂裂縫中流量沿裂縫方向均勻分布。

根據(jù)以上假設(shè)和無因次變量，建立均質(zhì)儲層達西流無因次點源模型［16］：

利用Laplace變換及逆變換對式（1）—（4）進行求解，可得實空間點源壓力解。在點源壓力解的基礎(chǔ)上，沿裂縫方向積分，可得實空間壓裂直井的無因次儲層壓力解：

通過求解壓裂直井的儲層壓力關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)為 0時可以獲得壓力波波峰的位置［6，12］。 求式（5）關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)，令該導(dǎo)數(shù)等于0，可得壓裂直井探測區(qū)域外邊界的曲面方程：

在給定tD和wfD時，可確定壓裂直井探測區(qū)域的外邊界。

在tD→∞時，將式（6）進行漸近展開，可得：

由式（7）可知，當(dāng)時間較大時，壓裂直井探測區(qū)域的外邊界趨于圓柱面，即。

若取wfD=0，利用積分方法，可得壓裂直井無因次探測體積的計算公式：

利用壓裂直井的無因次變量定義，將文獻［7］的直井探測半徑公式進行無因次化，可得：

進而可得對應(yīng)的無因次探測體積：

相對誤差為

圖1給出了wfD=0時壓裂直井探測區(qū)域外邊界曲面隨時間的變化規(guī)律（裂縫寬度對探測區(qū)域外邊界曲面的影響非常小，尤其是時間較大時，它幾乎沒有影響）。當(dāng)時間增大時，壓裂直井探測區(qū)域的外邊界逐漸趨于圓柱面。

圖1 wfD=0時壓裂直井探測區(qū)域外邊界曲面隨時間的變化

分別采用文獻［7］的直井探測半徑公式和本文方法計算壓裂直井的無因次探測體積，相對誤差結(jié)果見表1。由表1可知：隨著無因次時間的增大，采用文獻［7］的方法和本文方法計算的壓裂直井無因次探測體積逐漸接近；特別是當(dāng)無因次時間分別大于1.674和8.348時，二者的相對誤差分別小于5%和1%左右。

表1 壓裂直井無因次探測體積的相對誤差結(jié)果

2 水平井探測區(qū)域計算公式

假設(shè)在均質(zhì)無限大地層中，一口水平井在0時刻給以瞬時激動產(chǎn)量，且激動前地層中壓力均為原始地層壓力。儲層上下為不滲透邊界，同時假設(shè)地層及流體滿足：1）儲層各向異性（Kr≠Kz），等厚；2）儲層中流體及巖石為微可壓縮；3）儲層中流體滿足達西流動；4）水平井中流量沿水平井方向均勻分布。

根據(jù)以上假設(shè)和無因次變量，建立均質(zhì)儲層達西流無因次點源模型［18-19］：

利用Laplace，F(xiàn)ourier有限余弦變換及逆變換對式（12）—（15）進行求解，可得實空間點源壓力解［20］。在點源壓力解的基礎(chǔ)上，沿水平井方向積分，可得實空間水平井的無因次儲層壓力解：

求式（16）關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)，令該導(dǎo)數(shù)等于0，可得水平井探測區(qū)域外邊界的曲面方程：

在給定tD，LD，zwD時，可確定水平井探測區(qū)域的外邊界。

在tD→∞時，將式（17）進行漸近展開，可得：

由式（18）可知，當(dāng)時間較大時，水平井探測區(qū)域的外邊界趨于圓柱面，即。

利用積分方法，可得水平井無因次探測體積的計算公式：

當(dāng) tD≥40/（πLD）2時，l3近似為 0，式（19）可變?yōu)?/p>

式（20）與壓裂直井的無因次探測體積公式形式上完全一致。因此，當(dāng) tD≥40/（πLD）2時，水平井的壓力傳播規(guī)律與壓裂直井完全類似，可以使用壓裂直井的無因次探測體積公式來計算水平井的無因次探測體積。而由表1可知，當(dāng)無因次時間分別大于1.674和8.348時，可以采用直井的探測半徑公式計算壓裂直井的無因次探測體積，相對誤差分別小于5%和1%左右。因此， 當(dāng)無因次時間分別大于時，可以采用直井的探測半徑公式近似計算水平井的無因次探測體積，此時相對誤差分別小于5%和1%左右。

利用水平井的無因次變量定義，將文獻［7］的直井探測半徑公式、文獻［12］及文獻［13］的水平井探測半徑公式統(tǒng)一進行無因次化，可得：

則無因次探測體積為

相對誤差為

圖2給出了4種組合參數(shù)對應(yīng)的水平井探測區(qū)域外邊界曲面（其中，綠色代表井筒里，紅色代表井筒外圍地層）。結(jié)果表明：儲層厚度越大，水平井探測區(qū)域外邊界曲面觸及儲層頂?shù)走吔绲臅r間越長；垂向滲透率與徑向滲透率比值越大，水平井探測區(qū)域外邊界曲面能夠越快地觸及頂?shù)走吔?；水平井垂向相對位置處于儲層偏下（偏上）時，水平井探測區(qū)域外邊界曲面在未觸及儲層頂?shù)走吔鐣r關(guān)于xoy，yoz，zox平面對稱，而在觸及儲層頂?shù)走吔绾髢H關(guān)于yoz，zox平面對稱。

圖2 水平井探測區(qū)域外邊界曲面

分別采用文獻［7］的直井探測半徑公式、文獻［12］及文獻［13］的水平井探測半徑公式來計算水平井的無因次探測體積，相對誤差對比結(jié)果如圖3所示?？梢钥闯?，三者之間沒有絕對的優(yōu)劣之分?？傮w上來講，文獻［12］的方法不適合無因次時間較大的情況，文獻［13］的方法不適合無因次時間較小的情況 （無因次時間必須滿足才能使用），文獻［7］的方法比較折中。在無因次時間較小的時候，3種方法的計算精度均較差；隨著無因次時間的增大，文獻［7］和文獻［13］的方法計算精度均有提高。

3 實例計算

以榆林氣田一口產(chǎn)氣水平井——X井為例。其儲層及流體物性參數(shù)為：儲層厚度15 m，孔隙度4.6%，氣體黏度 0.022 mPa·s，巖石壓縮系數(shù) 1.535×10-4MPa-1，氣體壓縮系數(shù)3.24×10-2MPa-1，地層溫度45.5℃，初始壓力24.5 MPa，天然氣相對密度0.6，關(guān)井測試前平均產(chǎn)氣量40.27×104m3/d。該井的試井解釋參數(shù)為：井筒儲集系數(shù)0.191 6 m3/MPa，表皮因子0.13，水平段長度651.6 m，水平井垂向相對位置7.5 m，徑向滲透率2.76×10-3μm2，無因次滲透率 0.12。

圖4a為試井壓力恢復(fù)雙對數(shù)曲線。由圖4a可知，水平井理論計算曲線與實測曲線一致，證明了式（16）的準確性，進一步驗證了本文方法的可靠性。

圖4b為采用部分學(xué)者［7，12-13］的探測半徑公式和本文方法計算的X井的無因次探測體積隨無因次時間變化的雙對數(shù)曲線。V0D和V1D均與tD呈斜率為1.0的直線，V2D在tD較小時無法計算。而VLD隨tD的變化規(guī)律大致可以分為3個階段：1）壓力未觸及儲層頂?shù)走吔鐣r（早期徑向流），VLD與tD近似呈斜率為1.0的直線；2）壓力觸及儲層頂?shù)走吔纾葱纬蓮较蛄鲿r（中期線性流），受儲層頂?shù)走吔绲挠绊懀琕LD的增大速率有所降低，VLD與tD近似呈斜率為0.5的直線；3）壓力形成徑向流時（晚期徑向流），VLD與tD又近似呈斜率為1.0的直線。

圖4 X井的試井壓力恢復(fù)及無因次探測體積變化雙對數(shù)曲線

本文方法不受時間限制，可以計算水平井任意時刻的無因次探測體積，3個階段無因次探測體積的變化特征與水平井試井壓力恢復(fù)雙對數(shù)曲線特征（早期徑向流、中期線性流及晚期徑向流）非常吻合。

4 結(jié)論

1）本文給出了壓裂直井和水平井的探測區(qū)域外邊界隨時間變化的曲面方程。在時間較小時，2種井型探測區(qū)域形狀較為復(fù)雜，但隨著時間的增大，2種井型的探測區(qū)域外邊界逐漸趨于圓柱面。

2）壓裂直井裂縫寬度對探測區(qū)域的影響非常小，可忽略不計。當(dāng)無因次時間分別大于1.674和8.348時，可以采用文獻［7］的直井探測半徑公式近似計算壓裂直井的無因次探測體積，此時相對誤差分別小于5%和1%左右。

3）當(dāng)無因次時間大于 40/（πLD）2時，水平井的壓力傳播規(guī)律與壓裂直井完全類似。當(dāng)無因次時間分別大于和時，可以使用直井探測半徑公式近似計算水平井的無因次探測體積，此時相對誤差分別小于5%和1%左右。

4）本文方法可用于壓裂直井和水平井探測區(qū)域的精確計算以及氣藏瞬態(tài)流期間的擬時間計算等，具有一定的理論和實用價值。

5 符號注釋

Km為儲層滲透率，10-3μm2；h 為儲層厚度，m；q 為產(chǎn)量，m3/d；μ 為流體黏度，mPa·s；pi為初始壓力，MPa；p 為地層壓力，MPa；pf為壓裂直井儲層壓力，MPa；t為時間，h；φ 為儲層孔隙度；Ct為綜合壓縮系數(shù)，MPa-1；xf為壓裂裂縫半長，m；x為x軸方向距離，m；y為y軸方向距離，m；r為徑向距離，m；wf為壓裂直井裂縫寬度，m；xw為x軸方向點源位置，m；yw為 y軸方向點源位置，m；δ（x）為狄拉克 δ函數(shù)；VFD，VLD分別為采用本文方法計算的壓裂直井、水平井的無因次探測體積；xFD為yD=0時x軸正方向上探測區(qū)域外邊界位置；yFD為xD=0時y軸正方向上探測區(qū)域外邊界位置；riD，ViD分別為采用相關(guān)文獻計算的無因次的探測半徑、探測體積；Ei為相對誤差；Kr，Kz為分別為儲層徑向、垂向滲透率，10-3μm2；pL為水平井儲層壓力，MPa；L 為水平段半長，m；z為z軸方向距離，m；zw為水平井垂向相對位置，m；KD為無因次滲透率；ε為數(shù)學(xué)上極小的正數(shù)，無物理意義；xLD為zD=yD=0時x軸正方向上探測區(qū)域外邊界位置；z0D，z1D分別為xD=yD=0時z軸上探測區(qū)域外邊界下、上位置；p′LD為無因次水平井儲層壓力導(dǎo)數(shù)；下標 D 表示無因次，i表示分別采用文獻［7］、［12］及［13］的計算公式（i=0，1，2）。