基于S型效用函數(shù)的區(qū)間灰數(shù)多屬性群體決策方法

郝慧慧， 朱涵鈺

(華北水利水電大學(xué) 管理與經(jīng)濟學(xué)院，河南 鄭州 450046)

多屬性決策是指對多個有限決策方案進行排序擇優(yōu)，廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟管理的各個領(lǐng)域[1]。目前，關(guān)于屬性值為區(qū)間灰數(shù)的多屬性決策問題的研究取得了豐富進展。謝乃明等[2]通過分析灰數(shù)排序針對連續(xù)型灰數(shù)和區(qū)間型灰數(shù)給出了排序規(guī)則。王俊杰等[3]通過構(gòu)建兩個區(qū)間灰數(shù)的可能度函數(shù)，求得兩個區(qū)間灰數(shù)可能度大小的排序。劉中俠等[4]通過計算綜合關(guān)聯(lián)相對貼近度，給出了區(qū)間灰數(shù)備選方案的優(yōu)劣排序。崔杰等[5]針對屬性值為區(qū)間灰數(shù)的多指標(biāo)決策提出了灰色多階段決策方法。

在實際決策中，決策者對備選方案進行評價時往往受到自身心理的影響，產(chǎn)生非理性因素。當(dāng)決策者財富較多時，決策者相對保守，此時多為風(fēng)險規(guī)避者；當(dāng)決策者財富較少時，往往“破罐子破摔”，此時多為風(fēng)險偏好者[6]。針對這類問題，KAHNEMAN D等[7]將前景理論的冪函數(shù)形式引入效用函數(shù)中，并采用雙曲絕對風(fēng)險規(guī)避函數(shù)作為模型參數(shù)，得到S型效用函數(shù)的一般形式，用于分析多屬性決策問題。針對多屬性決策問題中考慮決策者心理行為的研究方面，王霞[8]提出了基于前景理論的動態(tài)多屬性決策問題。ZHAO M等[9]提出了個體一致性多階段決策分析方法。譚敏等[10]提出了基于矢量相似度的語言型多屬性決策方法。高建偉等[11]將S型效用函數(shù)用于分析屬性值為區(qū)間直覺模糊數(shù)的多屬性決策問題。

以上多屬性決策雖然考慮了決策過程中屬性值為區(qū)間灰數(shù)以及決策者心理行為的問題，但在實際決策過程中決策者受個人、社會等經(jīng)濟條件的限制，對于不同的風(fēng)險具有不同的偏好程度，應(yīng)充分利用決策人員的知識經(jīng)驗提供更加完備的信息，對備選方案進行擇優(yōu)選擇。因此，在群決策過程中充分考慮決策者的心理行為，屬性值為區(qū)間灰數(shù)的多屬性群決策是值得研究的內(nèi)容。多屬性群決策是指在多個屬性的情況下，依據(jù)多個決策者的態(tài)度，對備選方案進行排序選擇[12]。針對多屬性群體決策問題，羅黨等[13]通過考慮決策者心理行為，提出了一種灰色多屬性群決策方法。任嶸嶸等[14]和趙萌等[15]根據(jù)概率型語言集提出了概率模糊語言多屬性群體決策方法；采用愿景滿意度函數(shù)解決了屬性值為定性與定量相結(jié)合的多屬性群決策問題。王偉明等[16]根據(jù)決策者評價信息不一致的情況，提出了混合信息下的多屬性大規(guī)模群體決策方法。

鑒于此，本文對區(qū)間灰數(shù)多屬性群體決策問題進行研究，結(jié)合區(qū)間灰數(shù)均值白化思想，通過引入雙曲絕對風(fēng)險規(guī)避函數(shù)，構(gòu)造S型效用函數(shù)的一般形式，進而得到效用矩陣。針對群決策過程中決策者權(quán)重問題，根據(jù)極大熵準(zhǔn)則和群體意見一致性原則構(gòu)建權(quán)重優(yōu)化模型。最后，結(jié)合區(qū)間灰數(shù)白化函數(shù)、效用函數(shù)、權(quán)重優(yōu)化模型給出基于S型效用函數(shù)的區(qū)間灰數(shù)多屬性群體決策方法，并通過案例分析驗證模型的有效性。

1 預(yù)備知識

1.1 區(qū)間灰數(shù)

定義2設(shè)區(qū)間灰數(shù)a(?)和b(?)，則有

1.2 S型效用函數(shù)

1.2.1 雙曲絕對風(fēng)險規(guī)避函數(shù)

雙曲絕對風(fēng)險規(guī)避函數(shù)主要用來刻畫決策者的心理特征，包括指數(shù)效用、對數(shù)效用、冪效用等多種類型，其效用框架具有一般形式[20]。具體形式如公式

(1)

所示[21-22]，其中φ>0,η>0,γ∈(-∞,0)∪(0,1)。

根據(jù)參數(shù)的取值不同，雙曲絕對風(fēng)險規(guī)避函數(shù)主要分為以下3種形式：

3)當(dāng)η=γ=0且φ=1時，雙曲絕對風(fēng)險規(guī)避效用函數(shù)為對數(shù)效用函數(shù)形式u(x)=lnx。

為了描述決策者的風(fēng)險規(guī)避程度，PRATT J[23]用公式RA=-u″(x)/u′(x)表示決策者的絕對風(fēng)險規(guī)避系數(shù)。在決策中，隨著RA不斷變化，決策者對于風(fēng)險的態(tài)度也隨之發(fā)生改變。當(dāng)RA增加時，決策者對于風(fēng)險的態(tài)度變?yōu)閲?yán)謹(jǐn)，決策者對于風(fēng)險的規(guī)避程度不斷增加，此時決策者會選擇相對保守的方案。因此，在多屬性群決策分析過程中應(yīng)利用絕對風(fēng)險規(guī)避系數(shù)提供參考。

1.2.2 S型效用函數(shù)

S型效用函數(shù)是指在不同的財富水平上，函數(shù)曲線展現(xiàn)不同的形式。如在某一財富水平之上，效用函數(shù)表現(xiàn)為凹函數(shù)；在某一財富水平之下，效用函數(shù)表現(xiàn)為凸函數(shù)，圖像如圖1所示。在行為金融學(xué)中用S型效用函數(shù)去刻畫決策者的主觀風(fēng)險態(tài)度[24]，認(rèn)為決策者在財富較多時為風(fēng)險規(guī)避者，在財富較少時為風(fēng)險偏好者。在參考點b以上的部分獲利區(qū)間下凹，此時決策者擁有較多財富選擇風(fēng)險規(guī)避，即不愿冒險。在參考點b以下的部分損失區(qū)間下凸，此時決策者面臨較多損失，愿意承擔(dān)更多風(fēng)險挽回?fù)p失。

圖1 S型效用函數(shù)Fig.1 S-type utility function

前景理論[11]中的價值函數(shù)為典型的S型效用函數(shù)，定義為

(2)

其中，v(x)為價值函數(shù)；b為參考點，當(dāng)x高于b時，視為相對收益；當(dāng)x低于b時，視為相對損失；0<α,β<1為風(fēng)險態(tài)度系數(shù)；θ為損失規(guī)避系數(shù)，隨著θ的增加，決策者對損失的敏感程度增加。前景理論中的價值函數(shù)主要有以下4條基本性質(zhì)：①v(x)為嚴(yán)格遞增函數(shù)；②當(dāng)xb時，滿足v(x-b)<-v(b-x)；④對于所有x>b，函數(shù)滿足v′(x-b)

作為前景理論的基本假設(shè)之一，前景價值函數(shù)中的S型效用函數(shù)為冪效用函數(shù)形式，可視為S型效用函數(shù)的一個特例。由于雙曲絕對風(fēng)險規(guī)避函數(shù)可以通過選取不同參數(shù)值來包含多種效用函數(shù)形式，故將其引入S型效用函數(shù)中，結(jié)合式(1)，得到S型效用函數(shù)的一般情形為

(3)

其中Δx=x-b，當(dāng)x>b時，Δx>0表示相對收益；當(dāng)x1為損失規(guī)避系數(shù)，φ1,φ2,η1,η2>0,γ1,γ2∈(-∞,0)∪(0,1)。顯然，式(3)滿足前景價值函數(shù)的4條基本性質(zhì)。

1.3 決策者權(quán)重的確定

(4)

(5)

由決策者群體一致性原理和極大熵準(zhǔn)則得優(yōu)化模型M[25]，

(6)

定理1由二次線性規(guī)劃問題求解可知上述模型存在最優(yōu)解。

證明略。

2 決策方法

2.1 問題描述

2.2 決策步驟

針對屬性值為區(qū)間灰數(shù)的多屬性群決策問題，基于S型效用函數(shù)，提出了區(qū)間灰數(shù)多屬性群體決策方法，步驟如下：

步驟1確定實數(shù)矩陣(Sij)m×n。根據(jù)實際問題確定各備選方案的屬性值，得到區(qū)間灰數(shù)矩陣(Aij)m×n，采用均值白化消除量綱，得到的是實數(shù)矩陣(Sij)m×n。

步驟2確定效用矩陣(Uij)m×n?；谟邢蘩硇约僭O(shè)，采用式(3)計算各屬性的效用值，得到效用矩陣(Uij)m×n。

3 實例分析

3.1 建設(shè)項目的風(fēng)險評估

受社會、經(jīng)濟、自然等多種因素的影響，風(fēng)險因素貫穿于建筑項目建設(shè)的整個過程中，因此在項目進行周期內(nèi)進行風(fēng)險評估能夠確保項目目標(biāo)得到實現(xiàn)。為應(yīng)對小型項目的風(fēng)險評估,選取3名專家對4個小尺度對象進行評估。這些小尺度的對象具有不同的設(shè)計、建造、施工技術(shù)、面積、樓層數(shù)，分布在維爾紐斯的不同地區(qū)。利用2.2節(jié)計算步驟對文獻[26]建立基于S型效用函數(shù)的區(qū)間灰數(shù)多屬性群體決策方法用以評估建設(shè)項目的風(fēng)險大小。

步驟1計算小型項目的規(guī)范化數(shù)據(jù)得到實數(shù)矩陣(Sij)m×n。

步驟2利用式(3)，選取參數(shù)φ1=φ2=5,η1=η2=2,γ1=γ2=0.3,θ=1.5,b為各屬性的均值，得到效用矩陣

步驟3考慮決策者意見，利用極大熵原理和群體一致性準(zhǔn)則求得決策者的權(quán)重向量集。這里取μ=0.5，表示決策者對于兩個目標(biāo)函數(shù)的偏好一致，得到模型M

min 0.5[2.081 963(ω1-0.33)2+1.390 418(ω2-0.33)2+

1.321 498(ω3-0.33)2]+

0.5(ω1lnω1+ω2lnω2+ω3lnω3)

使用運籌學(xué)軟件lingo11.0求得群體決策的權(quán)重向量為W*=(0.332 9,0.333 5,0.333 6)。

步驟4計算各備選項目的綜合效用值為u1=0.220,u2=0.102,u3=0.205,u4=0.112。得到4個項目的排序結(jié)果為project1>project3>project4>project2。運用本文的方法得到的結(jié)果與文獻[22]相同，說明本文方法的有效性。

3.2 同已有方法比較分析

利用TOPSIS方法[26]，COPRAS-G方法[26]，VIKOR方法[27]，MOORA方法[28]對建設(shè)項目的風(fēng)險評估進行計算排序，通過求解得到排序結(jié)果如表1所示。

表1 多方法比較結(jié)果Tab.1 Multiple method comparison results

本文提出的基于S型效用函數(shù)的區(qū)間灰數(shù)多屬性群體決策方法在分析建設(shè)項目的風(fēng)險評估實例中，結(jié)果與多種方法一致，證明了本文方法的有效性。

3.3 河南省受災(zāi)影響程度分析

干旱在全球范圍內(nèi)頻繁發(fā)生，造成了嚴(yán)重的經(jīng)濟、社會危機，也是中國重大自然災(zāi)害之一[29-31]。河南省作為我國的糧食大省，人口稠密，同時受濕潤、半濕潤氣候的影響，形成干旱災(zāi)害，對社會、經(jīng)濟生活產(chǎn)生嚴(yán)重影響。隨著社會、經(jīng)濟的發(fā)展，人口的遷移，旱災(zāi)發(fā)生的頻度和成災(zāi)面積呈現(xiàn)增加的態(tài)勢，對糧食安全產(chǎn)生了重大影響。如何采用科學(xué)的方法對歷史數(shù)據(jù)進行分析，辨析旱災(zāi)的影響程度，以期在旱災(zāi)發(fā)生時能夠采取有效措施降低經(jīng)濟損失，是干旱風(fēng)險防御研究的主要問題，更是自然災(zāi)害防治的方向所在。

本文通過選取3次有代表性的旱年作為專家系統(tǒng)進行分析，選取依據(jù)是干旱持續(xù)時間長，受災(zāi)范圍廣，影響程度大。專家1為1959—1961年連續(xù)大旱；專家2為1965—1966年連續(xù)大旱；專家3為1985—1988年連續(xù)大旱分析河南省10個地市的災(zāi)害影響程度，選擇屬性值為受災(zāi)面積和成災(zāi)面積，數(shù)據(jù)來源于文獻[32]。

步驟1計算河南省受災(zāi)影響程度的規(guī)范化數(shù)據(jù)得到實數(shù)矩陣(Sij)m×n。

步驟2利用式(3)，選取參數(shù)φ1=φ2=5,η1=η2=2,γ1=γ2=0.3,θ=1.5,b為各屬性的均值，得到效用矩陣

步驟3考慮決策者意見，利用極大熵原理和群體一致性準(zhǔn)則求得決策者的權(quán)重向量集。這里取μ=0.5，表示決策者對于兩個目標(biāo)函數(shù)的偏好一致，得到模型M

min 0.5[3.296(ω1-0.33)2+2.684(ω2-0.33)2+3.22(ω3-0.33)2]+

0.5(ω1lnω1+ω2lnω2+ω3lnω3)，

步驟4計算各地市的綜合效用值如表2所示。

表2 河南省各地市綜合效用值Tab.2 Comprehensive utility value of each city in Henan Province

由表2可知，河南省10地市的綜合效用值從大到小依次為：周口、駐馬店、南陽、安陽、許昌、洛陽、信陽、新鄉(xiāng)、開封、商丘。該效用值表明，在干旱發(fā)生的時候，周口、駐馬店、南陽最易受到干旱災(zāi)害的影響，出現(xiàn)大面積的干旱情況。并且由成災(zāi)面積可知，周口、駐馬店、安陽占河南省總成災(zāi)面積的40.02%。由此可知，3地市在干旱發(fā)生時最易形成農(nóng)業(yè)旱災(zāi)，造成農(nóng)業(yè)經(jīng)濟損失。因此對于周口、駐馬店、安陽3地市針對灌溉農(nóng)業(yè)應(yīng)增加引渠灌溉能力，增建機井?dāng)?shù)目，擴大水渠灌溉面積。同時加強培養(yǎng)農(nóng)戶的干旱災(zāi)害意識，做好災(zāi)前防控工作。結(jié)合數(shù)據(jù)以及實際可知，河南省各地易發(fā)生干旱，嚴(yán)重地區(qū)會形成旱災(zāi)，政府部門應(yīng)做好水利基建工作，增加資源投入，對干旱進行預(yù)報預(yù)警，以減輕旱災(zāi)損失。

4 結(jié)論

本文針對屬性值為區(qū)間灰數(shù)的多屬性群體決策問題，基于S型效用函數(shù)，提出了區(qū)間灰數(shù)多屬性群體決策方法。該方法充分利用S型效用函數(shù)中決策者在不同財富水平下屬性偏好不同，確定效用函數(shù)，并得到各備選方案的綜合效用值，對效用值進行排序選擇最優(yōu)方案。最后，應(yīng)用該方法分析小型工程項目的風(fēng)險評估和河南省各地市的受災(zāi)影響情況，結(jié)果表明本方法的可行性。并通過與TOPSIS方法，COPRAS-G方法，VIKOR方法，MOORA方法進行比較，進一步說明本方法的可行性。在實際決策過程中針對區(qū)間灰數(shù)多屬性群體決策問題更易操作，為解決群體決策問題提出了新的解決思路。