環(huán)Fpm[u,v]/〈u3=u,v3=v,uv=vu〉上的常循環(huán)碼

孔 波， 徐明潔

(1.河南財政金融學院 統(tǒng)計與數(shù)學學院，河南 鄭州 450046； 2.河南財政金融學院 計算機與信息技術(shù)學院，河南 鄭州 450046)

0 引言

1 基礎(chǔ)知識

環(huán)R上的理想I如果只有一個生成元， 則稱之為主理想。 如果環(huán)R的所有理想都是主理想, 則稱R為主理想環(huán)。如果R有唯一的極大理想稱R為局部環(huán)。 如果R的所有理想按包含關(guān)系形成一條鏈, 則稱之為鏈環(huán)。

令R=Fpm[u,v]/〈u3=u,v3=v,uv=vu〉,易知該環(huán)是Frobenius環(huán)，不是局部環(huán)。

R上長為n的線性碼C是Rn的一個R子模。

令

由中國剩余定理可知R=e1R⊕e2R⊕…⊕e9R=e1Fpm⊕e2Fpm⊕…⊕e9Fpm。

設(shè)C為R上的長為n的線性碼,則C可以唯一地表示為C=e1C1⊕e2C2⊕…⊕e9C9，其中Ci為Fpm上的線形碼，i=1,2,…,9。

設(shè)σλ表示R上的一個λ-常循環(huán)移位, 即?(c0,c1,…,cn-1)∈Rn, 都有σλ(c0,c1,…,cn-1)=(λcn-1,c0,c1,…,cn-2)。

設(shè)C為R上的長為n的線性碼, 若?(c0,c1,…,cn-1)∈C, 均有σλ(c0,c1,…,cn-1)=(λcn-1,c0,c1,…,cn-2)∈C, 則稱C為環(huán)R上長為n的λ-常循環(huán)碼。

?a=(a0,a1,…,an-1)∈Rn，a的Hamming重量定義

wtH(a)=|{i|ai≠0,i=0,1,…,n-1}|，

碼C的Hamming距離定義為

dH(C)=min{dH(a,b),a,b∈C,a≠b},

這里dH(a,b)=wtH(a-b)是元素a,b之間的Hamming距離。

2 Gray映射

dL(a,b)=wL(a-b)，

則線性碼C的李距離定義為

dL(C)=min{dL(a,b),a,b∈C,a≠b}。

由Gray映射定義，易得下面的定理。

(r1,r2,…,r9)+(r′1,r′2,…,r′9)=φ(a)+φ(b),

所以φ線性的。 由φ是雙射可知|C|=|φ(C)|，由定理1，可得dH=dL。

定理4設(shè)C為R上的長為n的線性碼,若C是自正交的, 則φ(C)也是自正交的。

3 環(huán)R上的常循環(huán)碼

引理2如果C=e1C1⊕e2C2⊕…⊕e9C9為R上的線性碼, 則C為R上的e1r1+e2r2+…+e9r9-常循環(huán)碼當且僅當Ci為Fpm上的ri-常循環(huán)碼，這里為e1r1+e2r2+…+e9r9上的可逆元。

C為R上的e1r1+e2r2+…+e9r9-常循環(huán)碼當且僅當

當且僅當σri(ai)∈Ci，即Ci為Fpm上的ri-常循環(huán)碼，i=1,2,…,9。

定理5若C=e1C1⊕e2C2⊕…⊕e9C9為R上長為n的e1r1+e2r2+…+e9r9-常循環(huán)碼，則存在g(x)∈R[x]且g(x)|xn-(e1r1+e2r2+…+e9r9), 使得C=〈g(x)〉。

證明若C=e1C1⊕e2C2⊕…⊕e9C9為R上長為n的循環(huán)碼，設(shè)Ci的生成多項式為gi，i=1,2,…,9，則

C=〈e1g1(x),e2g2(x),…,e9g9(x)〉。

由ei(e1g1(x)+e2g2(x)+…+e9g9(x))=eigi(x)，可得C?C′。所以C=C′，且C可以由一個多項式生成。

由gi為Ci的生成多項式gi可知gi(x)|xn-ri。設(shè)fi(x)∈Fpm且滿足gi(x)fi(x)=xn-ri，則

所以g(x)=e1r1+e2r2+…+e9r9, 定理5得證。

4 結(jié)論

本文根據(jù)Gray映射建立Fpm[u,v]/〈u3=u,v3=v,uv=vu〉上的常循環(huán)碼與Fpm上線性碼之間的對應(yīng)關(guān)系,證明了環(huán)Fpm[u,v]/〈u3=u,v3=v,uv=vu〉上的常循環(huán)碼是主理想生成的。