薛定諤方程向后歐拉全離散兩網(wǎng)格混合有限元方法

田智鯤，王建云

（1.湖南工程學(xué)院計(jì)算科學(xué)與電子學(xué)院，湘潭 411104；2.湖南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，株洲 412007）

0 引言

薛定諤（Schr?dinger）方程由奧地利物理學(xué)家薛定諤于1926 年提出，是量子力學(xué)最基本的方程，揭示了原子世界中物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律，主要被用來描述微觀粒子運(yùn)動(dòng)規(guī)律.當(dāng)微觀粒子所處的力場(chǎng)確定后，粒子所處的狀態(tài)可由薛定諤方程來描述.薛定諤方程在原子、固體物理、非線性媒體中的激光束掃描、核物理、化學(xué)等領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用.在實(shí)際復(fù)雜的系統(tǒng)中，由于包含復(fù)數(shù)且為耦合的問題，其精確解往往不容易求得，因此人們?cè)絹碓街匾暻笃鋽?shù)值解，常用的數(shù)值方法主要有差分法、有限元法、混合元法、間斷有限元法、譜方法、兩網(wǎng)格方法等.

兩網(wǎng)格方法最初由許進(jìn)超教授提出，他在文獻(xiàn)［1-2］中，針對(duì)求解非對(duì)稱不定橢圓問題以及非線性橢圓問題，引入粗細(xì)兩個(gè)子空間進(jìn)行離散，構(gòu)造了一系列的兩網(wǎng)格有限元算法，在保持漸近最優(yōu)逼近的同時(shí)，能夠提高計(jì)算的效率.幾乎在同一時(shí)期，黃云清教授和陳艷萍教授在文獻(xiàn)［3］中，研究了非線性奇異兩點(diǎn)邊值問題的多層迭代校正算法，并獲得了收斂性誤差估計(jì)和逼近解的漸近展式.目前，兩網(wǎng)格方法已成功被應(yīng)用到求解拋物方程、反應(yīng)擴(kuò)散方程、滲流驅(qū)動(dòng)方程等，具體見參考文獻(xiàn)［4-9］.金繼承教授等在文獻(xiàn)［10］中首次將兩網(wǎng)格方法運(yùn)用到求解一類耦合的偏微分方程組，構(gòu)造了解耦的有限元兩網(wǎng)格算法.后來兩網(wǎng)格有限元方法被應(yīng)用到求解薛定諤方程，具體見參考文獻(xiàn)［11-13］.但是利用兩網(wǎng)格混合有限元方法求解薛定諤方程的研究不多，本文考慮一類線性薛定諤方程，在擬一致剖分的三角形網(wǎng)格上，構(gòu)造一種全離散的兩網(wǎng)格混合有限元算法，并通過數(shù)值算例來驗(yàn)證該算法的高效性.

1 全離散混合有限元格式

考慮如下依賴于時(shí)間的線性薛定諤方程的初邊值問題

其中Ω?R2為凸多邊形區(qū)域，J=(0,T]為時(shí)間區(qū)間，初始函數(shù)u0(x,y)右端項(xiàng)函數(shù)f(x,y,t)及未知函數(shù)u(x,y,t)都為復(fù)函數(shù)，勢(shì)能函數(shù)b(x,y)為已知的有界實(shí)函數(shù).

記Wm,p為區(qū)域Ω上的標(biāo)準(zhǔn)Sobolev 空間，其范數(shù)定義為，并且當(dāng)p=2 時(shí)，相應(yīng)的范數(shù)簡(jiǎn)記為||?||=||?||0,2.對(duì)于任意兩個(gè)復(fù)函數(shù)φ(x,y),ψ(x,y)∈L2(Ω)，定義其內(nèi)積為(φ,ψ)=，其中為復(fù)函數(shù)ψ(x,y)的共軛，對(duì)應(yīng)的L2范數(shù)為

設(shè)空間V=H(div;Ω)={v∈(L2(Ω))2,??v∈L2(Ω)}，W=L2(Ω).記Γh為區(qū)域Ω上的擬一致三角形網(wǎng)格剖分，其中網(wǎng)格步長(zhǎng)0

令變量q=?u，則問題（1）的變分形式可以定義為：求(u,q)∈W×V滿足

時(shí)間方向利用向后歐拉方法，則問題（2）的全離散混合有限元解∈Wh×Vh可以定義為滿足如下格式

2 兩網(wǎng)格混合有限元算法

設(shè)Wh×Vh和WH×VH?Wh×Vh為空間網(wǎng)格步長(zhǎng)分別為h和H(0>h，因此該算法比直接在細(xì)網(wǎng)格上求解原問題要節(jié)省大量的計(jì)算時(shí)間.

第一步：在粗網(wǎng)格ΓH上，求解()∈WH×VH滿足原實(shí)部和虛部耦合的方程組

第二步：在細(xì)網(wǎng)格Γh上，求解()∈Wh×Vh滿足下列實(shí)部和虛部已經(jīng)解耦的方程組

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

考慮如下二維依賴于時(shí)間的線性薛定諤方程

其中Ω=[-1,1]×[-1,1]，J=(0,1]，右端函數(shù)f(x,y,t)選擇滿足如下精確解

u(x,y,t)=(1 +i)etsin(πx)sin(πy).

設(shè)ΓH和Γh為區(qū)域Ω的擬一致三角形網(wǎng)格剖分，其中空間網(wǎng)格步長(zhǎng)分別為H和h=H2，利用RT0混合有限元進(jìn)行數(shù)值求解，()為細(xì)網(wǎng)格Γh上計(jì)算得到的混合有限元解，為粗網(wǎng)格ΓH和細(xì)網(wǎng)格Γh上得到的兩網(wǎng)格混合有限元解.取時(shí)間步長(zhǎng)τ=10-3，分別取網(wǎng)格步長(zhǎng)h=1/4、1/16、1/64，計(jì)算精確解與混合有限元解的誤差和，精確解與兩網(wǎng)格混合有限元解的誤差，誤差結(jié)果及計(jì)算機(jī)CPU 運(yùn)行時(shí)間如表1～表8 所示.

表1 混合有限元解在t=0.1的誤差及時(shí)間

表2 兩網(wǎng)格混合有限元解在t=0.1的誤差及時(shí)間

表3 混合有限元解在t=0.2的誤差及時(shí)間

表4 兩網(wǎng)格混合有限元解在t=0.2的誤差及時(shí)間

表5 混合有限元解在t=0.5的誤差及時(shí)間

表6 兩網(wǎng)格混合有限元解在t=0.5的誤差及時(shí)間

表7 混合有限元解在t=1.0的誤差及時(shí)間

表8 兩網(wǎng)格混合有限元解在t=1.0的誤差及時(shí)間

從表1～表8 的數(shù)值結(jié)果可以看出，兩網(wǎng)格混合有限元解的誤差與標(biāo)準(zhǔn)混合有限元解的誤差非常接近，通過對(duì)比兩種方法的計(jì)算機(jī)CPU 運(yùn)行時(shí)間，可以看出兩網(wǎng)格算法的計(jì)算效率更高，并且隨著空間網(wǎng)格的加密，計(jì)算規(guī)模將不斷增大，兩網(wǎng)格算法的優(yōu)勢(shì)將更加明顯.

4 結(jié)語

本文研究了兩網(wǎng)格方法在求解線性薛定諤方程中的應(yīng)用，先得到一種向后歐拉全離散混合有限元格式，然后構(gòu)造了一種兩網(wǎng)格算法，并說明了兩網(wǎng)格算法在求解線性薛定諤方程中的思想，最后利用RT0 混合有限元進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算，實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了該算法的高效性.