通過復變函數(shù)中的幾個例子看AR技術(shù)在數(shù)學教學上的應(yīng)用

涂昆 蘇怡穎 曹汐

摘要：在科學技術(shù)不斷發(fā)展的今天，各種各樣的教學輔助用具走入了課堂，增強現(xiàn)實（augmented reality，AR）技術(shù)同樣能應(yīng)用于教學。該文主要以較為抽象的復變函數(shù)為例，利用Mathematica軟件來實現(xiàn)復變函數(shù)的可視化，加深學生對知識的理解，增強教師課堂教學的效果。在未來研究中，AR技術(shù)應(yīng)更加深入教學，形成良好的課堂交互環(huán)境，引領(lǐng)課堂教學的新方向。

關(guān)鍵詞：增強現(xiàn)實? 復變函數(shù)可視化? 傳統(tǒng)教學? 數(shù)學教育? Mathematica

中圖分類號：O174.5? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號：1674-098X（2021）02（a）-0222-04

The application of AR technology in mathetical teaching via several examples of complex function

TU Kun*? SU Yiying? CAO Xi

（College of Mathematical Science， Yangzhou University，Yangzhou， Jiangsu Province， 225002 China）

Abstract： In today's continuous development of science and technology， a variety of teaching aids into the classroom， AR （augmented reality） technology can also be applied to teaching. This paper mainly uses the more abstract complex function as an example， uses Mathematica software to realize the visualization of the complex function， deepens the students' understanding of knowledge， and enhances the effect of teachers' classroom teaching. In the future research， AR technology should be more in-depth teaching， form a good classroom interaction environment， leading the new direction of classroom teaching.

Key Words： Augmented reality; Visualization of the complex function; Traditional teaching; Mathematical education; Mathematica

1? 傳統(tǒng)教學方式及其局限

在現(xiàn)有認知里，傳統(tǒng)的課堂教學主要是老師借助黑板、多媒體等教學工具對學生進行一對多的教學，雖然這是普遍的一種教學方式，但隨著時代的發(fā)展，這存在一定局限。從學生層面來看，傳統(tǒng)的教學不利于學生的沉浸感，對于一些晦澀難懂的知識沒有直觀的體驗。比如，涉及到三維立體方面的學習，需要學生們擁有良好的空間感以及想象能力，現(xiàn)有的教學工具或許并不能很好地展現(xiàn)一個三維立體圖形，這樣對于學生們來說，對知識的理解就較為生澀;再比如一些復雜的函數(shù)，圖像的難以精確繪制也會使學生對于一些數(shù)學問題的理解出現(xiàn)偏差。

AR技術(shù)是當下發(fā)展的熱門，是一種將虛擬信息與真實世界融合的技術(shù)，將計算機生成的圖像、音樂、視頻、文字、三維模型等虛擬信息模擬仿真后，應(yīng)用到真實的世界中去，這兩種信息相輔相成，以此來實現(xiàn)對現(xiàn)實的“增強”[1]。如果可以把AR技術(shù)很好地融入教學中，那將會極大提高教學質(zhì)量以及學生對于學習的興趣。

2? 增強現(xiàn)實的特性與教育潛力

在科學技術(shù)不斷發(fā)展的今天，傳統(tǒng)的教育方式已無法滿足日漸提高的教育要求，黑板、投影儀等平面設(shè)備限制了教學場景的多樣性，而AR技術(shù)將平面延伸，模擬難以講解的教學場景，展現(xiàn)現(xiàn)實生活里難以觀察到的自然現(xiàn)象或事物變化的過程。AR可以被定義為一個滿足三個基本特征的系統(tǒng)：真實世界和虛擬世界的融合、實時交互以及真實物體和虛擬物體在3D空間中的精確注冊[2]。

在教育領(lǐng)域中，盡管基于AR技術(shù)的虛擬學習環(huán)境仍然是一個處于初步發(fā)展的新生事物，但它的部分特征與某些教育理論上的觀點較為一致。行為主義理論認為，學習是刺激和反應(yīng)之間的聯(lián)結(jié)，而行為是學習者對環(huán)境刺激所做出的反應(yīng)。關(guān)于學校教育實踐方面，行為主義學習理論要求為學生創(chuàng)設(shè)一種最佳的學習環(huán)境，在AR技術(shù)的作用下，學習者與環(huán)境交流互動，可以得到即時的反饋結(jié)果，并由此決定下一步操作，從而建立起知識與反應(yīng)之間的聯(lián)結(jié)。另外，心理學家讓·皮亞杰的建構(gòu)主義學習理論中，把幫助學生構(gòu)建有意義的情境創(chuàng)設(shè)問題看作是教學設(shè)計的重要內(nèi)容之一，而AR虛擬學習環(huán)境包含了豐富的表現(xiàn)場所與建構(gòu)工具包，可以幫助學生更好地獲取知識[3]。

AR技術(shù)在教學的應(yīng)用上有許多引人注目的優(yōu)點，比如：

（1）將抽象的學習內(nèi)容可視化、形象化。

（2）支持泛在環(huán)境下的情境式學習。

（3）提升學習者的直覺性和專注度。

（4）使用自然方式交互學習對象。

（5）將正式學習和非正式學習充分結(jié)合[2]。

3? 在復變函數(shù)教學中的應(yīng)用

3.1 初等函數(shù)的可視化

初等復變函數(shù)是實變量初等函數(shù)在復數(shù)域上的推廣，由于初等復變函數(shù)涉及四維空間，難以想象出具體的函數(shù)圖像，所以借助可視化來使其圖像具體化，更便于之后進一步的學習。在此，我們利用Mathematica軟件實現(xiàn)圖像可視化[5]，具體的例子如下。

3.1.1 復變指數(shù)函數(shù)

形如的函數(shù)稱為復變指數(shù)函數(shù)。

復變指數(shù)函數(shù)的圖像如圖1所示。

代碼如下：

3.1.2 復變對數(shù)函數(shù)

形如 的函數(shù)稱為復變對數(shù)函數(shù)。

復變對數(shù)函數(shù)的圖像如圖2所示。

代碼如下：

3.1.3 復變?nèi)呛瘮?shù)

下面就以最簡單的正弦函數(shù)為例：

復變正弦函數(shù)的圖像如圖3所示。

代碼如下：

3.2 多連通區(qū)域的積分

復平面上的一個區(qū)域D，在其中任意作一條簡單的連續(xù)閉曲線，如果曲線的內(nèi)部都含于D，則是單連通區(qū)域。而多連通區(qū)域就是指非單連通區(qū)域，多連通區(qū)域D上的解析函數(shù)的變上限積分不僅依賴于z，還依賴于積分路徑和函數(shù)關(guān)于洞是否恰當。

例題：

在圓環(huán)，（其中，），在D內(nèi)解析，現(xiàn)在D內(nèi)取兩點為、，連接兩點的曲線為C1、C2，求在這兩條路徑上的積分是否相同？

解：

設(shè)輔角為，則另一個輔角為

假設(shè)，其中r為z的模，為輔角，則

則

同理，

由此可見，當 不等于 時，函數(shù) 在兩條路徑上的積分不相等。

即，該函數(shù)此時具有多值性。

上述解法為常規(guī)計算方法，從理論上推導出了多連通區(qū)域上的函數(shù)積分具有多值性，而借助Mathematica軟件則可直接繪出圖像，更直觀更容易地看出其具有多值性。

如圖4可見：

由此可見，當不等于時，函數(shù)在兩條路徑上的積分不相等。

即，該函數(shù)此時具有多值性。

上述解法為常規(guī)計算方法，從理論上推導出了多連通區(qū)域上的函數(shù)積分具有多值性，而借助Mathematica軟件則可直接繪出圖像，更直觀更容易地看出其具有多值性。

如圖4可見：

代碼如下：

4? AR技術(shù)的局限性

4.1 技術(shù)不完善

雖然AR技術(shù)已經(jīng)有了一定的發(fā)展基礎(chǔ)，但目前仍主要應(yīng)用于工業(yè)市場，由于技術(shù)瓶頸未能得到突破，導致此技術(shù)還不能完全走入大眾消費市場。具體的技術(shù)瓶頸如終端計算能力、物體的深度信息及低分辨率的顯示技術(shù)等等，這些都還有待解決和突破。

4.2 對移動終端過于依賴

移動終端的性能對于AR技術(shù)是否能夠在移動互聯(lián)網(wǎng)上實現(xiàn)廣泛的應(yīng)用至關(guān)重要[6]。如果移動終端的性能不足以滿足AR技術(shù)的應(yīng)用要求，那將會對AR技術(shù)的推廣起到一定的限制作用[7]。

4.3 教師實際需求與AR技術(shù)專業(yè)產(chǎn)品的脫節(jié)

一方面由于技術(shù)限制，許多教師難以結(jié)合自身教學內(nèi)容進行自主AR技術(shù)的開發(fā)，需要更多易理解、易操作、易實現(xiàn)的AR產(chǎn)品研發(fā)出來方便教師使用。另一方面，在短期內(nèi)，專業(yè)技術(shù)公司所提供的教學產(chǎn)品與教師的實際教學也需要不斷磨合，現(xiàn)有的AR產(chǎn)品往往也不適用，不能很好地對應(yīng)教學內(nèi)容。

5? 結(jié)語

雖然AR技術(shù)應(yīng)用于教學仍然處于初步階段，但隨著目前大數(shù)據(jù)時代的發(fā)展以及人們對于這項技術(shù)的需求，我們有理由相信在未來的某一天，通過不斷發(fā)揮AR技術(shù)的優(yōu)勢，AR技術(shù)于教學的應(yīng)用會被推廣并且為大眾所接受，為教育行業(yè)帶來一場深遠的革命。

參考文獻

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[2] 蔡蘇，王沛文，楊陽，等.增強現(xiàn)實（AR）技術(shù)的教育應(yīng)用綜述[J].遠程教育雜志，2016，34（5）：27-40.

[3] 蔡蘇，宋倩，唐瑤.增強現(xiàn)實學習環(huán)境的架構(gòu)與實踐[J].中國電化教育，2011（8）：114-119，133.

[4] 王澤龍，謝美華.可視化在《復變函數(shù)》教學中的運用[J].高等數(shù)學研究，2016，19（4）：56-57，60.

[5] 劉志宏，李迎春，謝海，等.Mathematica軟件在《復變函數(shù)與積分變換》教學中的應(yīng)用[J].當代教育實踐與教學研究，2020（9）：15-16，62.

[6] 莫莉敏.AR技術(shù)在職業(yè)教育中的應(yīng)用前景初探[J].電腦知識與技術(shù)，2017，13（29）：213-215.

[7] 王東爍.基于移動端AR虛擬場景體驗的優(yōu)化策略研究[D].北京：北京郵電大學，2019.