點簧簧片振動特性數(shù)值分析*

朱廣平 王 成 門 偉 趙宿辰

(哈爾濱工程大學水聲工程學院 哈爾濱 150001)

0 引言

笙是中國傳統(tǒng)民間樂器，在中國古代樂器家族中占有重要的一席之地。不僅如此，17世紀笙等簧管樂器傳入歐洲，為西方音樂家、樂器制造家改進簧管類樂器，尤其是對簧管樂器的關鍵部件--簧片的改進起到了積極的作用，從而為創(chuàng)制、改進風琴、口琴等新的簧管樂器做出了重要貢獻[1]。笙的音高除與管長有關外[2]，還主要與簧片尺寸、厚度以及點簧技術有關。中國古人早期制作簧片常采用蘆葦或竹片，由于此類材料耐用性差，后期主要采用銅等其他金屬材料制作簧片，如漢代馬王堆出土的多枚兩千多年前的金屬簧片至今保存完好[3]。古代金屬簧片的制作技藝之高，還體現(xiàn)在對簧片的點簧(又作典簧、點綠)技術上。點簧就是在簧片某些位置上或多或少的點蠟或錫，以便調(diào)整其音高。從曾侯乙墓出土的戰(zhàn)國初年的笙來看，古人通過實踐已經(jīng)掌握了嫻熟的點簧技術，雖然他們并未清楚其中的物理原理[1]。簧片的基頻，即第一階固有頻率，決定簧片振動發(fā)聲的音高，而各階共振頻率決定其音色。因此簧片的點簧工藝中，點簧的位置及質(zhì)量的大小等因素對簧片的固有頻率有重要影響，這也是中國傳統(tǒng)樂器制作家通過大量實踐沉淀得到的關鍵技藝[4]。然而遺憾的是，到目前為止，點簧過程是精通制笙匠人通過大量的實踐經(jīng)驗進行調(diào)整，極少專門的定量分析點簧簧片振動問題。因此，研究點簧簧片振動規(guī)律對科學認識及制作、復原笙等中國傳統(tǒng)簧管類樂器具有實際意義。

一般地，簧片近似瘦長的楔形，厚度遠小于其長度，其截面面積沿長度方向變小?；善恼駝涌山茷榉蔷鶆蚪孛娴膽冶哿赫駝訂栴}[5]。對于非均勻梁的振動問題一直以來都受到了廣泛關注[6-8]。當考慮到經(jīng)過點簧處理后，簧片的質(zhì)量存在突變，需要將點簧后的金屬簧片建模為具有質(zhì)量負載的非均勻梁振動模型。此模型類似在橋梁動力學中具有質(zhì)量負載的非均勻梁振動模型，對此閆維明等[9]基于Bernoulli-Euler 梁理論建立了帶任意附加質(zhì)量的變截面彈性支承梁動力特性的簡化計算模型，該模型能夠?qū)⒘旱淖兿禂?shù)微分方程轉(zhuǎn)化為線性代數(shù)方程組的形式，進而求得解析解。然而，從數(shù)學的角度看，非均勻截面梁的振動通常為復雜的變系數(shù)微分方程形式，其中僅有個別結構是可以獲得振動方程的解析解形式，而絕大部分情況均是無法獲得其精確的解析解，因此計算中常采用數(shù)值解法[10-11]。近年來工業(yè)中對功率超聲源簧片[12]的振動問題，采用有限元分析方法[13-14]進行數(shù)值分析，這對精確定量分析傳統(tǒng)簧管類樂器的點簧簧片的振動問題也具有借鑒意義。

本文針對非均勻截面的點簧金屬簧片振動問題開展研究，對其建立非均勻截面并具有質(zhì)量負載的振動模型。由于該模型的非均勻性，難以獲得解析解形式，為了精確定量分析，采用有限元方法對模型進行數(shù)值求解，通過算例定量分析點簧位置及質(zhì)量、邊界條件對簧片振動特性的影響，揭示點簧簧片振動規(guī)律，為制作、復原中國傳統(tǒng)簧管類樂器提供物理依據(jù)。

1 點簧金屬簧片的振動方程及邊界條件

1.1 振動方程

對實際模型進行抽象：(1)由于簧片形狀較為狹長，點簧區(qū)域尺度相較于簧片寬度相近而相較于簧片長度方向很小，因此點簧物質(zhì)可抽象為簧片上的集中質(zhì)量負載；(2)考慮到金屬簧片厚度相對于長度很薄，由振動理論可知，波長遠大于厚度，且截面面積沿長度方向變化，因此，采用集中質(zhì)量負載的變截面Bernoulli-Euler 梁模型描述點簧金屬簧片的振動。振動方程為

式(1)中，E為楊氏模量，I(x)是沿著x軸變化的轉(zhuǎn)動慣量，δ(x)為狄拉克函數(shù)，m0δ(x-x0)表示在x0位置有一集中質(zhì)量，A(x)為梁在x位置的橫截面積，ρ為密度。

設方程解的形式為η(x，t)=u(x)T(t)，分離變量得

式(3)中，ω2為該方程的固有角頻率。

一般的典型簧片呈狹長的楔形。因此，設簧片寬度沿長度(x方向)的變化為

其中，b0是初始寬度，γ是斜邊的變化斜率?；善孛媸蔷匦?，所以式(3)中A(x)=h·b(x)，h為簧片的厚度。

u為垂直梁的中性面方向上的位移，y為梁厚度方向的坐標。非均勻截面上力矩和轉(zhuǎn)動慣量分別為

該方程為變系數(shù)微分方程，除I(x)、A(x)為幾種比較特殊的函數(shù)形式外，方程的解很難得到解析解形式。因此，下面采用有限元方法對上述振動方程描述的有質(zhì)量加載的變截面點簧金屬簧片的振動模型，通過算例求解并分析其固有頻率隨點簧位置、點簧質(zhì)量以及不同邊界條件下的變化規(guī)律。

1.2 邊界條件

簧片一般固定在簧管端口，理想情況下可認為簧片一端固定不動，另一端自由，其邊界條件為

然而，在實際中使用的材料并非能做到嚴格固定，因此不能當作固定不動邊界，而應近似認為是彈簧支撐邊界，其邊界條件為

其中，kp和kθ為剛度系數(shù)。

將簧片上的點簧質(zhì)量看作為質(zhì)量負載條件，其對簧片的力和力矩作用可描述為

其中，αdm為損耗系數(shù)，m0為點簧質(zhì)量。由于點簧質(zhì)量相對于整個狹長簧片只占很小一段，可以看作集中質(zhì)量負載，此時力矩可為0；當不考慮質(zhì)量負載與金屬簧片之間的能量損耗時，點簧質(zhì)量負載可簡化為F=-mω2u，M=0。

2 點簧簧片振動固有頻率計算

采用有限元方法建立非均勻截面點簧簧片振動模型并求解其固有頻率方程。將簧片離散化，在單元上位移可由形函數(shù)及節(jié)點位移近似u=NU，其中N為形函數(shù)向量，U為單元節(jié)點位移向量，速度為為單元節(jié)點速度向量。

采用拉格朗日方程進行單元分析，整合所有單元后建立點簧簧片的運動方程組，從而得到其固有方程進而計算固有頻率?；善^小較薄不計損耗，認為是無損耗的自由振動，拉格朗日方程為

其中，T為動能，Λ為勢能，˙u為速度。

梁單元的動能為

其中，A(x)=h·b(x)。

將各個單元的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣整合并帶入到拉格朗日方程中，并考慮到簧片上點簧的集中質(zhì)量負載，得到整個簧片的運動方程：

從而得到特征方程為

由于λ=ω2，進而可求解出各階固有角頻率ωi(i=1，2，3，···)。

3 算例分析

3.1 點簧對簧片振動基頻和諧頻的影響

古人常采用熟銅作為金屬簧片的材料，因此算例中取楊氏模量E= 1110Pa，密度ρ=8700 kg/m3。算例中取簧片長23.5 mm，寬度變化曲線為7.5-0.016x，x為長度坐標，厚0.7 mm，點簧質(zhì)量0.2 g，點簧位置在簧片的自由端。計算前6階固有頻率如表1所示，并與未點簧的簧片進行了對比。

表1 點簧與未點簧簧片固有頻率對比Table 1 The natural frequency of the reed has an added mass versus no added mass(單位：Hz)

由表1可知，點簧簧片的各階固有頻率均小于未點簧簧片，并且隨著階數(shù)的增加，頻率差從幾赫茲變化到上百赫茲，兩者之間的頻率差距越發(fā)顯著?？梢婞c簧后降低了簧片的基頻，尤其對簧片高階諧頻的影響更加顯著。由此可知，若與管腔聲耦合后，點簧工藝的差異、優(yōu)劣將對管樂器的音高、音色、音質(zhì)產(chǎn)生重要影響。

3.2 點簧位置及質(zhì)量的影響

簧片的基頻(第1階固有頻率)決定簧片振動發(fā)聲的音高，而各階共振頻率影響其音色。而點簧的位置及質(zhì)量的大小等因素對簧片的固有頻率有重要的決定性作用，影響整個樂器品質(zhì)的優(yōu)劣。下面通過算例來定量分析點簧位置及質(zhì)量對簧片的振動特性的影響。

算例中簧片的幾何形狀與尺寸同3.1 節(jié)中的模型，通過改變點簧位置及質(zhì)量大小計算各階固有頻率，改變點簧位置從簧片的固定端(0 mm)到自由端(23.5 mm)，其步長1 mm；改變點簧質(zhì)量，范圍從0.05～0.3 g，步長0.01 g。計算結果如圖1～圖5所示。

圖1為在不同點簧質(zhì)量及位置下計算得到的第1 階固有頻率。偽彩圖中的色彩對應計算得到的頻率值。由圖1可知，高頻區(qū)在左下角而低頻區(qū)在右上角，其含義為點簧質(zhì)量越輕或位置越靠近固定端，簧片的振動基頻越高。相反的，點簧質(zhì)量越重或位置越靠近自由端則簧片的振動基頻越低。

圖2為不同點簧質(zhì)量時的第1 階固有頻率隨點簧位置變化的計算結果，其更清晰地反映出圖1中的變化規(guī)律。比較圖2中各曲線可知，當點簧質(zhì)量較大時可調(diào)整基頻的范圍較大。因此，在需要較大調(diào)整簧片基頻的場合，建議采用密度較大的材料作為點簧材料，通過選擇合適的點簧位置，從而方便達到調(diào)音目的。

圖1 不同點簧質(zhì)量和位置下的第1 階頻率Fig.1 The first frequency under different mass and position case

圖2 不同點簧質(zhì)量的第1 階頻率隨點簧位置變化Fig.2 The first frequency of the different mass at varies with the position

為了認識不同位置處點簧質(zhì)量對基頻的影響，計算不同位置處點簧第1 階頻率隨點簧質(zhì)量變化，結果如圖3所示。圖中位置1、位置2 和位置3 分別對應自由端、距自由端1/4和1/2處。由圖3可知，在同一位置處頻率隨點簧質(zhì)量近似為線性關系，并且點簧位置越靠近自由端其斜率越大。因此在靠近自由端對簧片進行點簧不但可調(diào)頻率范圍大，而且可以通過點簧質(zhì)量與頻率簡單的線性關系進行調(diào)整，使得調(diào)整頻率更加方便。

圖3 不同位置處點簧第1 階頻率隨點簧質(zhì)量變化Fig.3 The first frequency of the different position at varies with the mass

下面分析點簧對高階諧頻的影響，它對樂器的音色有重要影響。計算中的簧片模型與上例同，計算得到第2 階和第3 階的固有頻率隨點簧位置和質(zhì)量的變化結果。圖4、圖5與圖1中的基頻相比，高階諧頻的變化具備兩個顯著特點：一是諧頻隨點簧位置和質(zhì)量的變化呈現(xiàn)類周期性的變化規(guī)律；二是簧片在高階振動時會出現(xiàn)節(jié)點，即在該點處振動位移為零靜止不動，當點簧到該位置時對該階諧頻無影響。由此可見，當點簧調(diào)整基頻頻率時，也需兼顧其高階諧頻的變化，否則可能會導致整個樂器音色的變化。因此，在點簧過程中對點簧質(zhì)量和位置可進行優(yōu)化或采用多處點簧得方法，從而使樂器簧片達到最佳的聲音效果。

圖4 不同點簧質(zhì)量和位置下的第2 階頻率Fig.4 The second frequency under different mass and position case

圖5 不同點簧質(zhì)量和位置下的第3 階頻率Fig.5 The third frequency under different mass and position

進一步計算了不同點簧質(zhì)量和位置下的第4階到第9階的頻率結果，如圖6所示。其特點與第2、第3 階頻率相似，諧頻隨點簧位置和質(zhì)量的變化呈現(xiàn)類周期性的變化規(guī)律，并且隨著階數(shù)的增加振動節(jié)點增多。

圖6 不同點簧質(zhì)量和位置下的第4 階到第9 階頻率Fig.6 The 4th to 9th frequency under different mass and position case

由振動理論可知，對于某階振動模式若增加等效質(zhì)量，將導致其等效機械品質(zhì)因數(shù)變大，其振幅值變大。然而，由于點簧物質(zhì)質(zhì)量相比于簧片很小，當點簧位置處于簧片某階模式的節(jié)點位置時，將不會改變該階模式的等效質(zhì)量，因此不會改變其幅值。因此，當點簧調(diào)整簧片的頻率時，只需合理選擇點簧位置，例如將點簧位置選擇在某階模式的節(jié)點附近，即可不會增強該階頻率的振動強度，起到間接的抑制作用。

3.3 不同邊界條件下點簧簧片振動特性

古樂器在固定簧片時，采用插入凹槽并用細繩固定的方法，在實際中具有一定的柔性，并非能達到理想固定情況，因此實際中的邊界條件應是具有一定剛度系數(shù)的彈性的邊界條件。由振動理論可知，邊界條件的改變對點簧簧片的振動特性也有顯著的影響，因此有必要了解其對簧片振動特性的作用，從而為實際的簧片調(diào)音提供理論依據(jù)。

下面算例模型與3.1 節(jié)相同，但邊界條件變?yōu)閺椥赃吔鐥l件，并與剛性邊界條件的計算結果進行了對比，計算結果如圖7所示，其中k1、k2是式(8)中的剛度系數(shù)kp和kθ。由圖7可知，與固定邊界這種理想情況相比，彈性邊界時簧片固有頻率降低，并且隨著彈性系數(shù)減小固有頻率將變得更低?？梢姡潭ɑ善牟牧吓c方式會影響點簧簧片的固有頻率，固定材料和方式柔性越大越降低其固有頻率。此外，對已固定好的簧片進行點簧工藝時，應當根據(jù)簧片的固定方式及松緊程度，點簧位置應盡量向固定端靠近，才能達到預期頻率調(diào)整的目的，例如在本算例中要將簧片調(diào)整到236.9 Hz 振動頻率，理想邊界條件時點簧在簧片14.9 mm，而彈性邊界時為13.1 mm和6.2 mm。

圖7 不同邊界條件下點簧簧片的基頻Fig.7 The fundamental frequency of metallic reed with mass under different boundary conditions

3.4 不同斜率簧片振動特性及點簧的影響

簧片近似為瘦長楔形，不同斜率的簧片點簧后的影響也不相同。在這里通過算例進一步了解不同斜率簧片對點簧后固有振動的特點。算例模型同3.1 節(jié)，改變式(4)中的斜率γ，計算得到不同斜率下的點簧簧片的基頻，如圖8所示。由圖8可知，斜率變大，即簧片削尖后固有頻率有所提高，但是固有頻率隨點簧位置變化的曲線趨勢基本相同，由此可見，即便是在不同斜率簧片上點簧，通過改變點簧位置調(diào)整頻率的規(guī)律是基本一致的，也就是說雖然形狀斜率不同但是調(diào)整點簧位置改變頻率的規(guī)律基本不變，即3.2節(jié)中的規(guī)律仍然是適用的。

圖8 不同斜率下的點簧簧片的基頻Fig.8 The fundamental frequency of metallic reed with mass at different slopes

4 結論

針對非均勻截面的點簧金屬簧片的振動問題，建立了非均勻截面并具有質(zhì)量負載的振動模型，采用有限元方法對模型固有頻率進行求解，通過算例定量分析了點簧質(zhì)量、位置及邊界條件對點換簧片振動的影響?？偨Y算例結果，得到如下結論：

(1)若需要調(diào)整的頻率較大時，可采用密度較大的材料作為點簧材料，并且點簧位置應向簧片自由端靠近。

(2)點簧位置不變時，頻率隨點簧質(zhì)量近似為線性關系。因此可以通過點簧質(zhì)量與頻率簡單的線性關系進行調(diào)整，使得調(diào)整頻率更加方便。

(3)當點簧調(diào)整基頻頻率時，需兼顧其高階諧頻的變化，因此點簧過程中對點簧質(zhì)量和位置進行優(yōu)化或采用多處點簧方法，從而使樂器簧片達到最佳的聲音效果。此外，將點簧位置選擇在某階模式的節(jié)點附近，可不會增強該階頻率的振動強度，起到間接的抑制作用。

(4)依據(jù)簧片的固定方式及松緊程度，調(diào)整點簧位置時應盡量向固定端靠近，才能達到預期頻率調(diào)整的目的。

本文只分析了點簧簧片的固有振動特性，然而管樂器腔體中的空氣振動對簧片具有耦合作用，后續(xù)將進一步分析受管腔的耦合作用下點簧簧片的振動特性。此外，由于簧片各高次振動模態(tài)的振動幅度大小直接影響簧片振動樂器的“音色”與“和聲的純潔性”，因此如何控制簧片各高次振動模態(tài)的振動幅度也是后續(xù)研究的一個重要方向。