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    質(zhì)點的運動軌跡是圓的漸開線嗎*

    2021-07-26 04:52:20姜付錦
    物理通報 2021年8期
    關(guān)鍵詞:漸開線將式質(zhì)點

    姜付錦 李 弼

    (武漢市黃陂一中 湖北 武漢 430300)

    張 靜

    (江蘇省淮陰中學(xué) 江蘇 淮安 223002)

    《物理教學(xué)》在2017年第6期發(fā)表了一篇關(guān)于一道浙江大學(xué)自主招生題的分析[1],原文中雖然給出了質(zhì)點的最終速度大小和方向,但沒有給出推導(dǎo)過程,原文還認(rèn)為質(zhì)點運動軌跡是圓的漸開線,但是筆者以為這個分析有待商榷.本文嘗試從動力學(xué)角度出發(fā),得到質(zhì)點動力學(xué)微分方程組,并給出質(zhì)點運動規(guī)律的數(shù)值模擬解.

    1 題目

    【題目】如圖1所示,在傾角為θ的粗糙斜面上存在垂直斜面向上的勻強磁場B,在斜面上由靜止釋放一個帶正電質(zhì)點.設(shè)質(zhì)點的質(zhì)量為m,帶電荷量為+q,斜面的動摩擦因數(shù)為μ,重力加速度為g,若斜面足夠大,試分析質(zhì)點最終的運動狀態(tài)和運動軌跡是怎樣的?

    圖1 質(zhì)點初始位置圖

    2 最大速度的分析

    如圖2所示,以質(zhì)點釋放位置為坐標(biāo)原點,水平向右為x軸,沿斜面向上為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系xOy.

    圖2 質(zhì)點受力分析圖

    (1)

    由于帶電質(zhì)點的速率為

    (2)

    軌跡的曲率半徑為

    (3)

    把式(2)、(3)代入式(1)得

    不同程序中當(dāng)事人所提供的現(xiàn)有技術(shù)證據(jù)不盡相同,導(dǎo)致裁決者認(rèn)識到的專利申請實際上的技術(shù)貢獻以及對技術(shù)細節(jié)的理解也不盡相同,對技術(shù)方案的最終解釋也會產(chǎn)生不可預(yù)知的影響。

    (4)

    整理后得

    (5)

    隨著時間推移,式(5)會趨近于零,角α趨于常量,質(zhì)點達到勻速直線運動狀態(tài),則有

    Bqv=mgsinθsinα

    (6)

    (mgsinθ)2=(Bqv)2+(μmgcosθ)2

    (7)

    聯(lián)立式(6)、(7)可求得

    (8)

    (9)

    帶電質(zhì)點在切向由牛頓運動第二定律得

    (10)

    將式(10)兩邊同乘以dα則有

    (11)

    將式(5)代入式(11)得

    (12)

    將式(12)整理后得

    (13)

    進一步研究發(fā)現(xiàn),式(13)沒有解析解.

    3 動力學(xué)微分方程組

    由圖2中質(zhì)點受力分析圖,可以寫出質(zhì)點動力學(xué)微分方程組如下

    (14)

    (15)

    x(0)=0,y(0)=0,x′(0)=y′(0)=0

    (16)

    進一步研究發(fā)現(xiàn),式(14)、(15)、(16)沒有解析解.

    4 數(shù)值模擬

    由式(8)得

    (17)

    由式(9)得

    (18)

    代值求得

    α=arccos(μcotθ)≈1.513 rad

    (19)

    圖3是質(zhì)點運動軌跡圖,可以看出質(zhì)點振動的幅度越來越小,最終趨近于直線運動,不是圓的漸開線運動;圖4是質(zhì)點速率與夾角α關(guān)系圖,可以發(fā)現(xiàn)質(zhì)點最終速率趨近于一個定值,速度的方向趨近于不變.

    圖3 質(zhì)點運動軌跡圖

    圖4 質(zhì)點速率與夾角α關(guān)系圖

    圖5是質(zhì)點兩個分速度與時間關(guān)系圖,可以看出它們的振幅越來越小,最終都趨近于勻速直線運動,圖6是質(zhì)點速率與時間關(guān)系圖,可以看出質(zhì)點最終速率趨近于某一定值.

    圖5 質(zhì)點兩個分速度與時間關(guān)系圖 圖6 質(zhì)點速率與時間關(guān)系圖

    5 結(jié)論

    通過以上分析不難發(fā)現(xiàn),帶電質(zhì)點運動軌跡最終趨近于勻速直線運動,質(zhì)點在x軸和y軸方向上的分速度最終都趨近于定值,都是趨近于勻速直線運動,而不是圓的漸開線運動.進一步研究還發(fā)現(xiàn):若μ=0時,帶電質(zhì)點的運動軌跡是一條擺線[2,3],感興趣的教師可以自行推證,這里不再贅述.

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