例談基本不等式在解三角形中的運用

浙江省金華市第一中學(xué) (321000) 豐曉彤

我們知道，余弦定理是解三角形中的重要理論工具，如果再與基本不等式配合就可以解決很多三角形中的求最值和范圍等問題，本文通過對幾個典型題例的分析求解，為讀者朋友展示解題技巧和相關(guān)要點，僅供參考.

一、解決三角形邊的問題

在解三角形中，用正弦定理和余弦定理都是求邊的工具，而在求與邊有關(guān)的范圍和最值問題中，必須整體思考，通過余弦定理整體列式，然后再由基本不等式解決問題.

(1)求角B的大??；(2)若a+c=1，求b的取值范圍.

評注：在三角形中求角，必須注意三角形內(nèi)角和定理的運用，由此確定角的范圍，從而確定某些三角函數(shù)值的符號，在求邊的范圍時，必須注意兩邊之和大于第三邊定理的運用，忘了這個限制很有可能出錯.

評注：在已知一條邊長后，再求三角形的周長，只需整體解決另外兩邊的和就行了，這點思考很重要，然后再用余弦定理就容易達(dá)到解題目的了.

二、解決三角形角的問題

一般都是對題設(shè)條件式進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)換，然后進(jìn)行代數(shù)變形和放縮化簡，最后轉(zhuǎn)化成一個關(guān)于某一個角的三角函數(shù)式的值或者取值范圍，再根據(jù)三角形中內(nèi)角的范圍確定此角的取值范圍.

例3 在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a，b，c成等差數(shù)列，求角B的最大值.

評注：題設(shè)中給出的關(guān)于三角形邊的條件比較多，運用余弦定理解決邊的問題是首選，注意此時選定的角要有針對性，大多是解決問題的對象，也可以是受條件的引導(dǎo).

在總額預(yù)付制下醫(yī)?？刭M管理的檢查主要分為三步實施。第一步，對醫(yī)?？傤~的完成狀況進(jìn)行檢查；第二步，按照DRG病種進(jìn)行分析，找到對醫(yī)保費用變化影響最大的重點病種，例如超過分?jǐn)倷?quán)重20%的病種；第三步，由于醫(yī)療費用是由患者人數(shù)和患者均次費用兩個指標(biāo)共同決定的，因此可將醫(yī)療費用的變化分解為 “由于收治患者人數(shù)變化造成的費用變化”和“由于患者均次費用變化造成的費用變化”兩類（見表2）。通過對重點病種醫(yī)保費用的分解，找出引起醫(yī)保總額超標(biāo)的主要原因。

評注：本題是用不等關(guān)系解決相等問題，抓住所給條件式的特點，利用余弦定理進(jìn)行有針對性的變形轉(zhuǎn)化，最后達(dá)到消元、化簡的目的，為后面運用基本不等式解題掃清了障礙.

三、解決三角形的面積問題

在解三角形的問題中，如果已知一個角，欲求此三角形的面積，我們應(yīng)該盡量運用關(guān)于此角的三角形面積公式解題，這樣就將面積轉(zhuǎn)化為兩邊積的問題了，后面再運用已知條件，聯(lián)合基本不等式就能解決三角形面積的范圍問題了.

評注：本題是一個難度不大的題目，通過運用余弦定理得到了角B的值，然后再抓住已知等式運用基本不等式得到了ac的取值范圍，這兩步是成功解題的關(guān)鍵.抓住條件、瞄準(zhǔn)目標(biāo)、整體變形是有效的解題方法.

評注：在第(1)問中求出了sinA的值，那么在求此三角形的面積時必須抓住此條件建立面積的關(guān)系式，后面根據(jù)已知條件得到b+c=16后，再運用基本不等式解決面積的最大值就是自然而然的問題了.

四、解決有關(guān)三角函數(shù)式的范圍問題

這里首先考慮的是將欲求的三角函數(shù)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于某一個角的函數(shù)關(guān)系式，然后就是根據(jù)已知條件解決這個角的范圍問題，兩個都解決了后面三角函數(shù)的范圍就迎刃而解了.

例7 已知△ABC的三邊a,b,c成等差數(shù)列，求sinB+cosB取值范圍.

評注：本題抓住已知條件，并運用余弦定理構(gòu)造了一個三角函數(shù)的不等式，解決了關(guān)鍵的需求角的范圍問題，為求函數(shù)式的范圍奠定了堅實的基礎(chǔ).

評注：首先運用余弦定理將用角表示的三角函數(shù)式轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系是解題的關(guān)鍵舉措，而在解決最值問題時及時運用基本不等式也是解題的重要點睛之處.