數列中求解參數范圍問題的六種思考

江蘇省蘇州大學附屬中學 (215001) 陸菊芳

數列中求參數范圍問題是比較典型的一類問題，由于涉及的知識點多、題目設問的方式也多種多樣，故而也有多種解法.本文通過列舉幾個典型例子，并進行分析剖解，介紹幾個常用的求解方法，希望能對讀者朋友有所幫助.

一、分離變量

解決數列中的參數問題與函數中同類問題的解決是一樣的，采用參數分離法比較多見的，當然再具體解題時要把握好參數分離的機會，以運算簡便為佳.

例1 已知數列{an}是等比數列且首項a1>0，公比q>0，而bn=an+1-kan+2，數列{an}、{bn}的前n項和分別是Sn、Tn，如果Tn>kSn對一切自然數都成立，求實數k的取值范圍.

評注：在有些數列問題中，給出的已知條件含有特點，如果我們在審題階段能夠洞察到題目的這些特色，敏銳地抓住它并讓它發(fā)揮作用，就可以為成功解題立下重要功勞.本解法中通過整體消去Sn達到了分離變量目的.

二、分類討論

在求解過程中，如果一種情況不能表達問題的所有內容時，就必須進行適當的分類討論，注意分類要徹底、討論需詳盡、結果要綜合.

評注：這是一個與分段函數中“取小”或“取大”函數是相似的分段數列，解題時要抓住數列中整數的特點，運用特殊值分類驗算，通過建立相應的不等式求出參數范圍.

三、挖掘性質

數列是一種特殊的函數，數列中有一些性質是與函數相似的，比如數列中也有單調性的問題，它是解決相關參數問題的重要武器.

評注：數列中求數列的最大項、最小項問題，大多都是通過判斷數列的單調情況來解決，也就是通過求相鄰兩項的差來判斷，這一解題技巧應該熟練掌握.

四、抓住關鍵

題目中可能有很多條件，而往往破解問題的就是那個關鍵條件，如果在解題中能盯緊這個條件，就是找到了解題突破口.

評注：本題的前面部分是根據條件解決數列中一些元素的表達，而在求參數范圍時就是利用數列的最值，將恒不等式轉化為一個參數不等式求解問題，這是解題的關鍵.

五、緊盯目標

在數列問題中，運用數列的相關知識進行化簡、運算的比較多，有的可能還是比較復雜的，需要在解題中瞄準目標，有章有序地解決遇到的每一個問題.

解析：(1)由Sn + 1=tSn+a，當n=1時，S2=tS1+a，可得a2=at；當n≥2時，Sn=tSn-1+a，所以，Sn+1-Sn=t(Sn-Sn-1)，即an+1=tan，又a1=a≠0，所以數列{an}是以a為首項，t為公比的等比數列，則an=atn-1(n∈Z*).

評注：本題中參數k絞合在一個復雜的數列式子中，要求k的取值范圍，必須將此數列式子進行化簡，最后再分離出去，通過裂項相消達到了解題目的.

六、完善結論

有一些同學在解題時，由于讀題馬虎、思考問題不嚴謹，會造成多解或漏解的情況，數列中的問題也是一樣，抓住數列特點進行賦值驗算很有必要.

例6 在數列{an}中，已知a1=2，an+1=3an+2n-1.(1)求證：數列{an+n}為等比數列；(2)記bn=an+(1-λ)n，且數列{bn}的前n項和為Tn，若T3為數列{Tn}中的最小項，求λ的取值范圍.

解析：(1)設an+1+p(n+1)+q=3(an+pn+q)，即an+1=3an+2pn+2q-p，與an+1=3an+2n-1比較得2p=2且2q-p=-1，即p=1，q=0，所以有an+1+n+1=3(an+n)，即{an+n}是以3為公比，a1+1=3為首項的等比數列，則an+n=3n，即an=3n-n.

評注：本題很可能由于對題意理解不透造成漏解或錯解，而通過對某幾個特殊情況的驗算建立了不等式，這樣才能得到正確答案，避免了無謂的丟分.