落實(shí)“四個(gè)理解”，擺脫教學(xué)“偏”“急”“短”

江蘇省儀征市新集初級(jí)中學(xué) (211403) 李?lèi)?ài)民

一、問(wèn)題提出

提高課堂教學(xué)質(zhì)量和效益是老師們一直的追求，但在實(shí)際教學(xué)中，經(jīng)常出現(xiàn)跑“偏”的現(xiàn)象——注重結(jié)果，忽視過(guò)程；只考慮做得到，不考慮想得到；將信息技術(shù)淪為播放器等.第二個(gè)表現(xiàn)是過(guò)分心“急”，急于講解，急于應(yīng)用知識(shí)，急于告知學(xué)生答案等.殊不知，這樣跑偏和急功近利，只能收獲“短”期利益.因?yàn)橐还?jié)課教師將教學(xué)重心放在“用”，短時(shí)間集中練習(xí)同一個(gè)結(jié)論，因?yàn)椴皇芷渌R(shí)的干擾，無(wú)需經(jīng)過(guò)大腦的檢索，看似會(huì)應(yīng)用，實(shí)際上很大程度是機(jī)械模仿，加之沒(méi)有經(jīng)歷知識(shí)形成的過(guò)程，不能做到真正理解，更不能感悟其中隱含的數(shù)學(xué)思想，時(shí)間一長(zhǎng)，暫時(shí)提升的學(xué)業(yè)水平會(huì)迅速回落.

二、案例呈現(xiàn)

下面是筆者觀摩的一節(jié)“探索三角形相似的條件(1)”教研課的部分實(shí)錄，與各位同仁共同研討.

環(huán)節(jié)1：操作、計(jì)算、猜想

(1)如圖1，已知三條互相平行的直線l1、l2、l3，直線a、b分別與l1、l2、l3相交于點(diǎn)A、B、C和點(diǎn)D、E、F.測(cè)量圖中線段AB、BC、DE、EF的長(zhǎng)度，并計(jì)算AB與BC的比值和DE與EF的比值，你有什么發(fā)現(xiàn)？

圖1

(2)平移直線l3，再測(cè)量AB、BC、DE、EF的長(zhǎng)度，這些比值還相等嗎？

學(xué)生在導(dǎo)學(xué)案中測(cè)量4條線段的長(zhǎng)度，并計(jì)算AB與BC的比值和DE與EF的比值，因?yàn)橛?jì)算的比值接近，教師引導(dǎo)學(xué)生猜想線段AB、BC、DE、EF對(duì)應(yīng)成比例.

環(huán)節(jié)2：證明

教師直接告知學(xué)生猜想是正確的，并給出如下證明.

圖2

教師提問(wèn)：圖1中還有線段成比例嗎？

教師提問(wèn)：還有嗎？

環(huán)節(jié)3：歸納、強(qiáng)化

基本事實(shí)：兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.

教師提問(wèn)：這個(gè)“基本事實(shí)”中最重要的兩個(gè)字是什么？

學(xué)生齊答：對(duì)應(yīng).

教師講解：對(duì)，如果將上面的線段稱(chēng)為“上”，下面的線段稱(chēng)為“下”，最長(zhǎng)的線段稱(chēng)為“全”，“對(duì)應(yīng)”就是“上”比“下”等于“上”比“下”，“上”比“全”等于“上”比“全”……

環(huán)節(jié)4：應(yīng)用

教師出示6道題目，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用“基本事實(shí)”解決問(wèn)題，并反復(fù)強(qiáng)調(diào)應(yīng)用結(jié)論要注意“對(duì)應(yīng)”，以及如何找對(duì)應(yīng)線段.

環(huán)節(jié)5：例題

……

三、教師交流研討

觀摩課結(jié)束，組織了交流研討活動(dòng)，主要研討本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)，談一談?dòng)^課的感受和個(gè)人的想法.下面節(jié)選部分教師的發(fā)言.

教師1：本節(jié)課思路清晰，先通過(guò)操作得到猜想，再進(jìn)行邏輯證明，證明方法非常巧妙，對(duì)優(yōu)等生的培養(yǎng)有很大的好處.

教師2：以前這個(gè)部分的教材內(nèi)容是“平行線等分線段定理”，現(xiàn)在的教材改成了“基本事實(shí)”，既然是“基本事實(shí)”，就是大家公認(rèn)為正確的，無(wú)須證明，只要會(huì)用就行.

教師3：本節(jié)課的難點(diǎn)是成比例線段中對(duì)應(yīng)線段的確定，教者通過(guò)改變平行線的位置，抓住“對(duì)應(yīng)”二字，有利于學(xué)生正確應(yīng)用結(jié)論.

教師4：面積法證明“平行線分線段成比例”，雖然巧妙，估計(jì)學(xué)生想不到，也只能告知學(xué)生.

四、幾點(diǎn)想法

本節(jié)課主要是探索基本事實(shí)：“兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例”和應(yīng)用基本事實(shí)發(fā)現(xiàn)結(jié)論：“平行于三角形一邊的直線與其它兩邊相交，所截得的三角形與原三角形相似”，為推證相似三角形的判定定理奠定基礎(chǔ).教者引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷了“探索——猜想——證明”的活動(dòng)過(guò)程，歸納出基本事實(shí)，接著是結(jié)論的應(yīng)用，再到例題講解.整個(gè)教學(xué)流程科學(xué)合理，符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，能發(fā)展合情推理和演繹推理能力.

細(xì)品每個(gè)環(huán)節(jié)，還是落入了“偏”“急”“短”的陷阱.首先，操作探究不充分，教者在導(dǎo)學(xué)案中給了一個(gè)固定圖形，學(xué)生測(cè)量同一個(gè)圖形，不利于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，猜想結(jié)論；改變直線l3位置，讓學(xué)生再測(cè)量，也只提問(wèn)兩個(gè)學(xué)生，整個(gè)操作探究過(guò)程大概5分鐘，操作探究流于形式.其次，證明該“基本事實(shí)”采用直接告知，沒(méi)有任何問(wèn)題鋪墊，這個(gè)環(huán)節(jié)是教者在教材基礎(chǔ)上的“拓展”，但教者沒(méi)有考慮“拓展”的目的和怎樣讓“拓展”發(fā)揮最大效益.第三，應(yīng)用結(jié)論環(huán)節(jié)，教者設(shè)計(jì)了6道題目(囿于篇幅，沒(méi)有列出)，將大量時(shí)間花在如何應(yīng)用結(jié)論，如何找平行線與被截線，如何找對(duì)應(yīng)線段，可見(jiàn)教學(xué)重心在“用”而不在“探”.第四，例題教學(xué)慌慌張張.因?yàn)閷⑦^(guò)多的時(shí)間花在前面的6道題目上，所以例題教學(xué)時(shí)間不夠，最后只能拖堂，導(dǎo)致第二個(gè)結(jié)論探索也不充分.第五，過(guò)分依賴(lài)PPT，流水式的播放問(wèn)題，不給學(xué)生足夠的時(shí)間來(lái)思考、討論，甚至連與學(xué)生共同消化應(yīng)用知識(shí)的示范板書(shū)也被PPT代替了.

當(dāng)然，落入“陷阱”的老師不是一個(gè)，從教師研討發(fā)言可見(jiàn)一斑，也有少部分老師表現(xiàn)出擔(dān)心.

五、落實(shí)“四個(gè)理解”，擺脫教學(xué)“偏”“急”“短”

為了促進(jìn)數(shù)學(xué)教師的專(zhuān)業(yè)發(fā)展，章建躍博士提出“四個(gè)理解”，即理解數(shù)學(xué)，理解學(xué)生，理解教學(xué)，理解技術(shù).

1.什么是“四個(gè)理解”

理解數(shù)學(xué)即理解數(shù)學(xué)知識(shí)的意蘊(yùn)，包括知識(shí)的價(jià)值、知識(shí)的精神、知識(shí)的情感等；理解學(xué)生即了解學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)、認(rèn)知規(guī)律、思維特征、最近發(fā)展區(qū)等；理解教學(xué)即了解教學(xué)特點(diǎn)，掌握教學(xué)的基本原則和教學(xué)方法等；理解技術(shù)即將信息技術(shù)與課程內(nèi)容有機(jī)融合，促進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)的探索和發(fā)現(xiàn)等.其中，理解數(shù)學(xué)是“四個(gè)理解”的基礎(chǔ).

2.落實(shí)“四個(gè)理解”是擺脫教學(xué)“偏”“急”“短”的必然要求

數(shù)學(xué)教學(xué)出現(xiàn)“偏”“急”“短”的原因有四方面：一是教學(xué)立意不高，只關(guān)注知識(shí)傳授，沒(méi)有挖掘知識(shí)蘊(yùn)含的價(jià)值觀資源，理解數(shù)學(xué)不夠；二是不了解學(xué)生認(rèn)知規(guī)律和思維特征，理解學(xué)生不夠；三是違背教學(xué)基本原則，缺乏教學(xué)方法，理解教學(xué)不夠；四是濫用信息技術(shù)，將信息技術(shù)淪為播放器，理解技術(shù)不夠.針對(duì)上述問(wèn)題和原因，數(shù)學(xué)教學(xué)必須重視并落實(shí)“四個(gè)理解”，即理解數(shù)學(xué)，理解學(xué)生，理解教學(xué)，理解技術(shù).

3.落實(shí)“四個(gè)理解”的教學(xué)策略

(1)加強(qiáng)《課標(biāo)》研讀，體會(huì)教材編寫(xiě)意圖

《課標(biāo)》是國(guó)家根據(jù)課程計(jì)劃以綱要的形式編定的有關(guān)學(xué)科的內(nèi)容及其實(shí)施、評(píng)價(jià)的指導(dǎo)性文件.它是教材編寫(xiě)、教學(xué)、評(píng)價(jià)和考試命題的依據(jù)，是國(guó)家管理和評(píng)價(jià)課程的基礎(chǔ).對(duì)教師工作有直接的指導(dǎo)意義.教材是眾多教育專(zhuān)家依據(jù)《課標(biāo)》，歷經(jīng)反復(fù)打磨，精心推敲編寫(xiě)而成，其中凝聚著教育智慧和心血.所以，設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容之前一定要認(rèn)真研讀，仔細(xì)體會(huì)，特別在“創(chuàng)造”時(shí)，必須要想清楚理由.本課例教者對(duì)教材做了“創(chuàng)造”，增加了“證明”環(huán)節(jié)，聽(tīng)課的教師對(duì)此意見(jiàn)不一.我們不妨從《課標(biāo)》和教材兩個(gè)角度來(lái)探尋.

《課標(biāo)(2011年版)》列出9個(gè)基本事實(shí)，作為義務(wù)教育階段圖形性質(zhì)證明的出發(fā)點(diǎn).將這9個(gè)命題命名為“基本事實(shí)”，而不是“公理”，其主要原因是其中大多數(shù)是歐氏公理體系中的定理，另外它們也不具有公理體系的所應(yīng)有的獨(dú)立性、相容性、完備性.[1]所以，該“基本事實(shí)”不是不能證明，而是要不要證明？

《課標(biāo)(2011年版)》對(duì)該“基本事實(shí)”的要求是“掌握”，“掌握”是描述結(jié)果目標(biāo)的行為動(dòng)詞，意思是在理解的基礎(chǔ)上，把對(duì)象用于新的情境.這其中包括兩個(gè)要求，一是能描述對(duì)象的特征和由來(lái)，能闡述此對(duì)象與相關(guān)對(duì)象的區(qū)別和聯(lián)系；二是能應(yīng)用.兩者都要兼顧，不能偏廢.教材處理方式是設(shè)計(jì)“嘗試和交流”活動(dòng)，也就是課例中的環(huán)節(jié)1，目的是讓學(xué)生經(jīng)歷多次測(cè)量、計(jì)算、探究、猜想，歸納概括出“基本事實(shí)”.利用練習(xí)本中的平行線探究，體現(xiàn)數(shù)學(xué)與生活有密切聯(lián)系，讓學(xué)生在生活中學(xué)會(huì)觀察、學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題；測(cè)量是認(rèn)識(shí)圖形的一種方式，對(duì)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行計(jì)算、估測(cè)，能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感；由圖形到數(shù)量關(guān)系，能培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想.

綜合以上認(rèn)識(shí)，筆者認(rèn)為教材對(duì)該“基本事實(shí)”沒(méi)有證明，一方面源于對(duì)所有“基本事實(shí)”一以貫之的考慮，另一方面較難實(shí)現(xiàn)教學(xué)自然.教者對(duì)教材內(nèi)容的“創(chuàng)新”是可以的，但“創(chuàng)新”之前首先要思考“創(chuàng)新”的目的是什么？如果僅僅是告訴學(xué)生該結(jié)論是正確的，那毫無(wú)價(jià)值；如果是借機(jī)讓學(xué)生經(jīng)歷完整的推理過(guò)程(合情推理和演繹推理)，培養(yǎng)理性精神，積累科學(xué)探究的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)會(huì)思考，那就是好的“創(chuàng)新”.

(2)加強(qiáng)“先行組織者”的使用，過(guò)程和結(jié)論并重

“重結(jié)果輕過(guò)程”是當(dāng)前教學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)的問(wèn)題.忽視過(guò)程的結(jié)果，學(xué)生不能真正理解，不能與現(xiàn)有的知識(shí)構(gòu)成聯(lián)系，導(dǎo)致知識(shí)零散，學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)缺乏整體性.忽略過(guò)程的教學(xué)，表面上節(jié)約了時(shí)間，學(xué)生有大量的時(shí)間進(jìn)行結(jié)論應(yīng)用.實(shí)際上，當(dāng)面對(duì)不同情境，因?yàn)閷W(xué)生對(duì)結(jié)果一知半解，往往不能透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，應(yīng)用性大打折扣.數(shù)學(xué)結(jié)論發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，可以加強(qiáng)“先行組織者”的使用，挖掘其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想.因?yàn)樗枷胧庆`魂，是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的源泉，有了數(shù)學(xué)思想方法的支撐，才能靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.數(shù)學(xué)教學(xué)要成為提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)的舞臺(tái)，成為培養(yǎng)理性思維的主陣地，必須要遵循過(guò)程和結(jié)論并重的原則.

本課例中教者對(duì)“基本事實(shí)”的證明真可謂是“空降”，筆者思考能不能基于學(xué)生已有的認(rèn)知，設(shè)定一定的問(wèn)題，讓面積法“證明”自然落地.

①我們學(xué)過(guò)哪些與平行線有關(guān)的概念、結(jié)論？(師生可以共同回憶，構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu))(先行組織者)借助平行線間距離相等，可以構(gòu)造面積相等的三角形(如圖3).

圖3

②如圖4，作直線BC、EF，使它們相交于點(diǎn)A，你還能找到哪些面積相等的三角形？

圖4

③通過(guò)三角形面積關(guān)系，你能發(fā)現(xiàn)線段AB、BC、AE、EF之間的關(guān)系嗎？

④如圖5，過(guò)點(diǎn)A作一條直線與直線BE平行，平移直線EF與所畫(huà)直線交于點(diǎn)D，線段AB、BC、DE、EF之間的關(guān)系還成立嗎？

圖5

⑤如圖5，你能用面積法直接證明線段AB、BC、DE、EF對(duì)應(yīng)成比例嗎？

⑥圖5中，還有線段對(duì)應(yīng)成比例嗎？

問(wèn)題①回顧“平行線”相關(guān)知識(shí)，一方面，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，將新知納入知識(shí)體系，培養(yǎng)系統(tǒng)思維；另一方面，“平行線間距離相等”能構(gòu)建面積相等的三角形，為證明該“基本事實(shí)”發(fā)揮“先行組織者”的作用.接著將圖形變換，目的是給學(xué)生證明“基本事實(shí)”搭建“腳手架”，培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀和空間觀念，感悟特殊到一般、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.最后再用面積法直接證明，強(qiáng)化面積法的通性，培養(yǎng)嚴(yán)密邏輯思維.

(3)加強(qiáng)習(xí)題選擇和編制

學(xué)習(xí)概念、定理、結(jié)論之后，一般要設(shè)計(jì)幾道習(xí)題，目的是使學(xué)生加深對(duì)新概念、新定理的理解，訓(xùn)練、培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的基本技能和能力，及時(shí)發(fā)現(xiàn)和彌補(bǔ)教學(xué)中的遺漏和不足，培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和品質(zhì)[2].習(xí)題的選擇要遵循精準(zhǔn)、典型、適度、適切等原則，還要按一定層次編排，由淺入深，循序漸進(jìn).好的習(xí)題具備一定邏輯性，蘊(yùn)含數(shù)學(xué)思想，貫穿知識(shí)間的聯(lián)系，承上啟下.課本中的例題一般都是精選，習(xí)題編制，不妨從課本例題著眼，適當(dāng)拓展延伸.本課例中，教者在歸納出“基本事實(shí)”之后，設(shè)計(jì)了6道問(wèn)題，前3道題是由平行線找比例線段，后3道是求線段長(zhǎng)，6道問(wèn)題中涉及兩條平行線、三條平行線、平行四邊形、八字形，從整個(gè)習(xí)題選擇和編排來(lái)看，教者考慮了習(xí)題的多樣性、層次性，但缺乏整體性、典型性和適度性，另外，因?yàn)榇颂幓ㄙM(fèi)時(shí)間過(guò)多，導(dǎo)致例題教學(xué)匆忙，沒(méi)有能完整完成教學(xué)任務(wù).

筆者思考本節(jié)課的習(xí)題能不能如此設(shè)計(jì)：

例1 如圖6，l1∥l2∥l3，直線a、b與直線l1、l2、l3分別相交于點(diǎn)A、B、C和點(diǎn)D、E、F.設(shè)AB=3，BC=5，DE=4，求EF的長(zhǎng).

圖6

變式1若AB=3，BC=5，DF=4，求EF的長(zhǎng).

圖7

例2 如圖8，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，且DE∥BC.試說(shuō)明△ADE與△ABC相似.

圖8

思考題：在例2中，如果我們?cè)凇鰽BC外作一個(gè)三角形與△ADE全等，那么所作的三角形與△ABC有何關(guān)系？結(jié)合三角形全等的條件猜想三角形相似的條件，并嘗試證明.

例1原題是對(duì)“基本事實(shí)”的直接應(yīng)用，變式1在原題基礎(chǔ)上融入了方程思想，前兩個(gè)問(wèn)題是求截線上的線段長(zhǎng)，變式2是求被截線上的線段長(zhǎng)，需要構(gòu)造平行線，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化思想.例2是課本上的例題，主要是引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)結(jié)論：“平行于三角形一邊的直線與其它兩邊相交，所截得的三角形與原三角形相似”.如果直接講解，較為抽象，學(xué)生很難想到構(gòu)造平行線，設(shè)計(jì)例1中的變式2，從求具體線段長(zhǎng)入手，降低思維難度，同時(shí)讓學(xué)生感受特殊到一般的研究策略.例2還有一個(gè)作用是為推證相似三角形的判定定理奠定基礎(chǔ)，這一點(diǎn)被很多老師忽視，相似三角形判定定理的證明都是添加平行線，構(gòu)造全等，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成例2，所以設(shè)計(jì)思考題一方面讓學(xué)生感受知識(shí)之間的聯(lián)系，又為學(xué)生提供了自主學(xué)習(xí)的素材，讓學(xué)生學(xué)會(huì)思考、學(xué)會(huì)學(xué)習(xí).

(4)加強(qiáng)信息技術(shù)與教學(xué)內(nèi)容的有效融合

在國(guó)家中長(zhǎng)期教育改革和發(fā)展規(guī)劃和發(fā)展規(guī)劃綱要(2010-2020年)中，對(duì)“教育信息化”已作了全面部署，要求以教育信息化促進(jìn)教育內(nèi)容、教學(xué)手段和方法的現(xiàn)代化.課標(biāo)也明確提出了數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)用信息技術(shù)的要求.實(shí)際教學(xué)中，因?yàn)榻處煂?duì)信息技術(shù)的定位不準(zhǔn)確，信息技術(shù)往往淪為加大教學(xué)容量，快速展現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容的工具.數(shù)學(xué)是抽象的，思維是復(fù)雜的，信息技術(shù)與教學(xué)內(nèi)容整合，目的是呈現(xiàn)教學(xué)中難以呈現(xiàn)的教學(xué)內(nèi)容，化抽象為直觀，引導(dǎo)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)結(jié)論.例如本課例讓學(xué)生通過(guò)測(cè)量、計(jì)算發(fā)現(xiàn)結(jié)論，為了讓學(xué)生有更深刻的認(rèn)識(shí)，學(xué)生操作結(jié)束，教者可以用幾何畫(huà)板演示，不斷改變平行線的位置，利用計(jì)算工具，計(jì)算對(duì)應(yīng)線段的比，觀察比值之間的關(guān)系，這樣更有利于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，概括問(wèn)題的本質(zhì).