基于ACT-R理論的“雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”教學(xué)設(shè)計(jì)

江蘇省太倉(cāng)高級(jí)中學(xué) (215400) 陸 庭

近年來(lái)，問(wèn)題解決中的遷移成為認(rèn)知心理學(xué)的關(guān)注熱點(diǎn).問(wèn)題解決中的類比策略表現(xiàn)了學(xué)習(xí)遷移在問(wèn)題解決中的作用.樣例(指蘊(yùn)含了一般概念、原理或方法的例子)在問(wèn)題解決和遷移中起著至關(guān)重要的作用，因此，樣例學(xué)習(xí)研究的價(jià)值和重要性就不言而喻了.如何設(shè)計(jì)樣例結(jié)構(gòu)或創(chuàng)設(shè)樣例學(xué)習(xí)系統(tǒng)減少負(fù)面影響，更好地發(fā)揮樣例的作用是值得我們研究的課題.本文以《雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程》一課為例，闡述基于ACT-R理論的教學(xué)設(shè)計(jì)對(duì)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)帶來(lái)的改變與影響.

1. ACT-R理論的要義

ACT-R理論(理性思維適應(yīng)性控制理論，Adaptive Control of Thought-Rational)是一個(gè)人類認(rèn)知理論，在1976年由美國(guó)人工智能專家和心理學(xué)家安德森等人首次提出及建立理論模型.該理論試圖理解人類如何獲得和組織知識(shí)以及如何產(chǎn)生智力活動(dòng)，其研究進(jìn)展基于神經(jīng)生物學(xué)研究成果并從中得以驗(yàn)證.安德森團(tuán)隊(duì)多年來(lái)致力于有關(guān)學(xué)習(xí)、記憶與大腦神經(jīng)的研究，在長(zhǎng)時(shí)間的探索中孕育出了ACT-R理論體系.ACT-R理論被稱為是“學(xué)習(xí)與認(rèn)知的簡(jiǎn)單理論”，其基本觀點(diǎn)是：復(fù)雜認(rèn)知是由相對(duì)簡(jiǎn)單的知識(shí)單元所組成的，而這些知識(shí)單元是通過(guò)相對(duì)簡(jiǎn)單的原理獲得的.該理論在有關(guān)教育、學(xué)習(xí)的領(lǐng)域得到廣泛的關(guān)注與應(yīng)用.其中，學(xué)習(xí)遷移為該理論與實(shí)際應(yīng)用主要的契合點(diǎn).遷移是一種長(zhǎng)期受到人們關(guān)注的心理現(xiàn)象，它的基本含義是在先前的學(xué)習(xí)(或訓(xùn)練)中獲得的知識(shí)和技能，對(duì)學(xué)習(xí)新知識(shí)、新技能或解決新問(wèn)題所產(chǎn)生的影響.

2. ACT-R理論指導(dǎo)下的教學(xué)設(shè)計(jì)

2.1 整體架構(gòu)，把握方向

著名數(shù)學(xué)家波利亞認(rèn)為：“學(xué)習(xí)任何東西最好的途徑是自己去發(fā)現(xiàn).”雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程與橢圓很類似，學(xué)生已經(jīng)有了一些學(xué)習(xí)橢圓的經(jīng)驗(yàn)，所以將橢圓的知識(shí)設(shè)為樣例，讓學(xué)生將研究橢圓的知識(shí)與方法遷移到雙曲線的學(xué)習(xí)中來(lái)，是符合ACT-R理論.本節(jié)課筆者采用了“自主探究”式的教學(xué)方式，重點(diǎn)突出以下兩點(diǎn)：一是以類比思維作為教學(xué)的主線；二是以自主探究作為學(xué)生的學(xué)習(xí)方式.

ACT-R理論提出認(rèn)知層級(jí)的分解，將一個(gè)寬泛的最終認(rèn)知分解為一個(gè)個(gè)小的子認(rèn)知來(lái)完成，通過(guò)學(xué)生已有的現(xiàn)狀知識(shí)進(jìn)行認(rèn)知的合理分層，設(shè)計(jì)出一個(gè)層次鮮明、易于接受的教學(xué)過(guò)程(圖1).教師通過(guò)給學(xué)生制定的學(xué)習(xí)指南，讓學(xué)生了解本節(jié)課的教學(xué)流程，引導(dǎo)學(xué)生有目的的自學(xué)，讓學(xué)生明確課上要展示的成果，極大的激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性及創(chuàng)造性，培養(yǎng)他們積極的學(xué)習(xí)態(tài)度和濃厚的學(xué)習(xí)興趣.

圖1

2.2 樣例選擇，明確目標(biāo)

ACT-R理論認(rèn)為知識(shí)技能的獲得通常要經(jīng)歷三個(gè)階段：認(rèn)知階段、聯(lián)合階段和自動(dòng)化階段，完成這三個(gè)階段有兩條途徑：一是用某種一般的解題策略來(lái)解決這個(gè)具體問(wèn)題而形成的新的知識(shí)；二是通過(guò)類比將另一個(gè)問(wèn)題的策略應(yīng)用于這個(gè)問(wèn)題而獲得新的知識(shí).在第二種途徑中，樣例發(fā)揮著重要的作用.當(dāng)已有的知識(shí)不能解決當(dāng)前問(wèn)題時(shí)，大腦會(huì)先搜尋之前解決的類似問(wèn)題的樣例，以此作為類比源，形成能解決當(dāng)前問(wèn)題的新的技能.教師給出歷史上數(shù)學(xué)家推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的一般方法(樣例)，讓同學(xué)們欣賞并借鑒一種方法來(lái)推導(dǎo)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

樣例一：和差術(shù)

“和差術(shù)”最早可以追溯到古代兩河流域的古巴比倫時(shí)期(公元前2000～1600年)，是在古巴比倫的泥板上被發(fā)現(xiàn)用來(lái)解決二元一次方程的一個(gè)很巧妙的技巧.法國(guó)數(shù)學(xué)家洛必塔在18世紀(jì)首次利用“和差術(shù)”推導(dǎo)出了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

樣例二：“平方差”法

19世紀(jì)英國(guó)數(shù)學(xué)家賴特(愛(ài)德華·梅特蘭·賴特爵士)率先使用此法推導(dǎo)出了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，隨后，同世紀(jì)的愛(ài)爾蘭數(shù)學(xué)家哈密爾頓及美國(guó)數(shù)學(xué)家溫特沃斯也都采用了同樣的方法.

樣例三：“分子有理化”法

“分子有理化”法是現(xiàn)行的俄羅斯數(shù)學(xué)教材中使用的方法.

正所謂“學(xué)史使人明智”.數(shù)學(xué)是人類最古老的科學(xué)知識(shí)之一，它的發(fā)展經(jīng)歷了很多的坎坷，讓學(xué)生欣賞歷史上橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程，能讓學(xué)生更好的理解推導(dǎo)中所使用的方法及出現(xiàn)的問(wèn)題，進(jìn)而遷移到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程中來(lái).

2.3知識(shí)遷移，推陳出新

ACT-R理論實(shí)際上是“做中學(xué)”與“例中學(xué)”的理論，它以學(xué)習(xí)遷移為該理論與應(yīng)用的主要契合點(diǎn).通過(guò)將先前學(xué)習(xí)中獲得的知識(shí)和技能遷移到新的知識(shí)，以獲得學(xué)習(xí)的新的體驗(yàn)、新的技能或解決問(wèn)題的新的方法.學(xué)生課前仿照橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程，推導(dǎo)了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并在課上分組展示.

同理可以證明d1

讓學(xué)生類比數(shù)學(xué)家的方法來(lái)推導(dǎo)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，使知識(shí)獲得遷移，能更大的激發(fā)起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，培養(yǎng)學(xué)生正確的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣及數(shù)學(xué)思維方式，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)修養(yǎng).并且在推導(dǎo)的過(guò)程中潛移默化的將類比的思想滲透到學(xué)生的思維中去，讓學(xué)生感受到類比的強(qiáng)大力量，體會(huì)到類比帶來(lái)的成功的喜悅.

3. ACT-R理論對(duì)課堂教學(xué)的反思與總結(jié)

3.1通過(guò)類比學(xué)習(xí)，明確知識(shí)目標(biāo)

ACT-R理論中，知識(shí)的獲得主要依靠類比，類比發(fā)生的一個(gè)重要前提就是要有一個(gè)解決某個(gè)目標(biāo)的情境，即學(xué)生要有一個(gè)解決問(wèn)題的意愿.然而《雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程》一課中存在大量的運(yùn)算，推導(dǎo)過(guò)程較為繁瑣，學(xué)生不愿去計(jì)算，由學(xué)生自行推導(dǎo)雙曲線方程或者師生共同協(xié)作完成雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，學(xué)生經(jīng)歷了推導(dǎo)的過(guò)程，但是推導(dǎo)過(guò)程里面到底會(huì)有哪些問(wèn)題，會(huì)出現(xiàn)哪些困難，為什么要這樣推導(dǎo)學(xué)生根本不太明白，也不愿意去弄明白，學(xué)生必然會(huì)覺(jué)得枯燥乏味.因此教師在樣例的選擇上應(yīng)挑選貼近學(xué)生認(rèn)知實(shí)際的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及與學(xué)生感興趣的歷史上成功推到橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法，強(qiáng)化學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、探究問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

ACT-R理論中，類比發(fā)生的另一個(gè)重要前提就是有一個(gè)解決類似目標(biāo)的范例.這就要求橢圓樣例的本身要能真正具有示范的功能，能促進(jìn)知識(shí)的遷移，即在問(wèn)題內(nèi)容、思路探索、解決方法以及運(yùn)算步驟四個(gè)方面上具有典型性，能夠準(zhǔn)確地作為學(xué)生解決相似問(wèn)題時(shí)的類比范例.事實(shí)證明，學(xué)生通過(guò)類比橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程，能夠自主探究雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程，整個(gè)課堂學(xué)生的主體性地位體現(xiàn)無(wú)疑.教師根據(jù)ACT-R理論在課堂教學(xué)中創(chuàng)設(shè)了有利于張揚(yáng)學(xué)生個(gè)性的“場(chǎng)所”，課堂已然不是傳統(tǒng)的課堂，已經(jīng)成為學(xué)生表演的舞臺(tái)，讓學(xué)生在愉悅的氣氛中激揚(yáng)生命，展現(xiàn)個(gè)性.

3.2 通過(guò)分層學(xué)習(xí)，促進(jìn)知識(shí)遷移

ACT-R理論指導(dǎo)的教學(xué)設(shè)計(jì)需要經(jīng)歷三個(gè)階段八個(gè)環(huán)節(jié)，分別為：第一階段陳述性階段，讓學(xué)生通過(guò)樣例抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，對(duì)目標(biāo)知識(shí)進(jìn)行層級(jí)分解，初步感知數(shù)學(xué)知識(shí)，包含引入樣例、明確目標(biāo)、層級(jí)分解、形成新知四個(gè)環(huán)節(jié)；第二階段程序性階段，讓學(xué)生通過(guò)對(duì)原有數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行加工，形成新的技能，通過(guò)練習(xí)與強(qiáng)化，鞏固新知，包含形成初步技能與合成復(fù)雜技能兩個(gè)環(huán)節(jié)；第三階段自動(dòng)化階段，將知識(shí)技能融入特定問(wèn)題情境中，讓學(xué)生知道在什么情境中可以使用這些技能，包含匹配問(wèn)題情境和自動(dòng)解決問(wèn)題兩個(gè)環(huán)節(jié).因此，將整個(gè)教學(xué)過(guò)程分層分解到課前、課中、課后的各個(gè)環(huán)節(jié)中，組織課堂活動(dòng)逐步推進(jìn)，不僅降低了學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，符合學(xué)生認(rèn)知的發(fā)展過(guò)程，而且提高了學(xué)生自主學(xué)習(xí)的時(shí)間，將學(xué)生已有的知識(shí)與新的知識(shí)建立聯(lián)系，使學(xué)生獲得新知的同時(shí)還體驗(yàn)了整個(gè)數(shù)學(xué)的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)了知識(shí)的遷移.

希爾伯特曾將教學(xué)描述為“在課堂中圍繞內(nèi)容并促進(jìn)學(xué)習(xí)目標(biāo)達(dá)成的師生、生生活動(dòng)”.課堂中的合作展示，不僅僅讓學(xué)生展示雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程，更讓學(xué)生來(lái)說(shuō)清楚“背后的故事”，加深學(xué)生對(duì)類比過(guò)程的理解與認(rèn)知.學(xué)生的小組合作，絕不是要消除學(xué)生的差異，而是讓他們能夠在小組中找到適合自己的角色，調(diào)動(dòng)他們?cè)械闹R(shí)經(jīng)驗(yàn)，運(yùn)用各自獨(dú)特的思維方式，取長(zhǎng)補(bǔ)短，相得益彰，發(fā)揮集體的智慧能更好的打開(kāi)思路去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題，讓學(xué)生的主體性、能動(dòng)性、獨(dú)立性得到不斷的發(fā)展和提升，促使他們更好的發(fā)展.

3.3 通過(guò)對(duì)比學(xué)習(xí)，加深知識(shí)理解

按照ACT-R理論，理解可以導(dǎo)致更多的靈活性，也容易將知識(shí)、方法與技能遷移到新的情境中去.在學(xué)生解決新的問(wèn)題時(shí)，更多的傾向于知識(shí)的遷移，讓新的方法的獲取變得更為的簡(jiǎn)單.在知識(shí)的遷移過(guò)程中，可以將學(xué)生的注意力引向與知識(shí)相關(guān)的部分，有效防止了“錯(cuò)誤學(xué)習(xí)”，縮短學(xué)生的認(rèn)知過(guò)程，減輕認(rèn)知負(fù)擔(dān)，提高認(rèn)知效率，形成新的理解.因此加深知識(shí)的理解在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中變得尤為重要，它必將極大的調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性，有助于培養(yǎng)學(xué)生良好的思維能力和提高解決問(wèn)題的能力.