福建省漳州市第一外國語學(xué)校(漳州八中) (363000) 馮精華
2019年教育部已明確提出立足全面發(fā)展育人目標(biāo),構(gòu)建高考考查內(nèi)容體系.新時期數(shù)學(xué)高考內(nèi)容改革的重要特征是由能力立意轉(zhuǎn)變到素養(yǎng)導(dǎo)向,其題型變化主要體現(xiàn)在試卷中增加了多選題和結(jié)構(gòu)不良問題.區(qū)分度更好的多選題,為不同層次學(xué)生都提供了更為廣闊的發(fā)揮空間.而結(jié)構(gòu)不良問題是指那些初始狀態(tài)、目標(biāo)狀態(tài)、解決方法至少有一項不清晰的問題.這類問題的五個主要特征是:問題條件部分缺失或冗余;問題目標(biāo)界定不明確;具有多種解決方法、途徑;具有多種評價解決方法的標(biāo)準(zhǔn);所涉及的概念、規(guī)則和原理不明確等.
學(xué)生解答多選題時,通常無法再使用“排除法”、“特殊法”等等這些單選題常用的解題技巧.還有,學(xué)生早已習(xí)慣了解答結(jié)構(gòu)良好問題,對于題目條件和結(jié)論不確定性的結(jié)構(gòu)不良問題常常表現(xiàn)出不適應(yīng),無法清楚找出解決問題的切入點.本文基于結(jié)構(gòu)不良問題的上述五個特征,對數(shù)列結(jié)構(gòu)不良的多選題進(jìn)行分類命制與探析,請同仁們斧正.
對于條件部分缺失的問題,需要學(xué)生結(jié)合題意選擇或創(chuàng)設(shè)問題的條件,從而達(dá)到問題的目標(biāo)狀態(tài),因此其答案通常具備多樣性和規(guī)律性.而條件冗余的問題通常表現(xiàn)為初始信息過多,需要根據(jù)目標(biāo)狀態(tài)利用相關(guān)信息,對條件判斷與篩選,進(jìn)行合理搭配,進(jìn)而解決問題.
例1 已知等比數(shù)列{an}的公比為q,前4項和為a1+14,若要使a2,a3+1,a4成等差數(shù)列,則需添加的條件可能是( ).
例2 已知數(shù)列{an}滿足an+1=3an+4,為求出數(shù)列{an}的通項公式an,下列條件多余的是( ).
A.a1=1 B.an+1+2=3(an+2)
C.an+1+3an-1=4anD.an+1-an=2×3n
剖析:由已知得數(shù)列{an}僅滿足一個遞推關(guān)系,還需加一個條件來確定該數(shù)列,若a1=1,則可求出數(shù)列{an}的通項公式an,因而A選項不多余;由an+1=3an+4可得an+1+2=3(an+2),說明B選項多余;由an+1=3an+4,可得an=3an-1+4,兩式相減得an+1-an=3an-3an-1,即an+1+3an-1=4an,說明C選項多余;令bn=an+1-an,則bn=3bn-1(n≥2),故{bn}是以b1=a2-a1=6為首項,3為公比的等比數(shù)列,所以bn=6×3n-1=2×3n,說明D選項多余.故選B、C、D.
對這類問題的命制,需要教師具備較強(qiáng)的發(fā)散性思維,從思維的不同方向、不同角度去推理,從問題的側(cè)面或反面去命制問題,體現(xiàn)思維的廣闊性和問題的多樣性.
對于目標(biāo)界定不明確的問題,需要學(xué)生從題目中分析諸多現(xiàn)象,提煉有用的數(shù)學(xué)信息,設(shè)計問題的目標(biāo),并將所學(xué)的數(shù)學(xué)知識和技能遷移其中,以便解答.
例3 為貫徹生態(tài)文明思想,我市準(zhǔn)備用幾年的時間把正在使用的1萬輛燃油公交車更換為電力型和混合動力型機(jī)動車,并先在年初投入128輛電力型公交車和400輛混合動力型公交車.并計劃以后每年電力型公交車點的投入是上一年的1.5倍,而混合動力車的投入每年比上一年多投a輛.若我市準(zhǔn)備在7年內(nèi)讓燃油車全部“下崗”,則a的可能取值是( ).
A.145 B.146 C.147 D.148
剖析:本題中的“7年內(nèi)”是一個不明確的目標(biāo),可能是第5年,第6年等等.通過分析,學(xué)生需要提煉出這樣的信息:當(dāng)a取最小整數(shù)時,該市的燃油車公交車經(jīng)過7年剛好完成了全部更換.其解答如下:
正由于目標(biāo)的不確定,學(xué)生容易感到“前途迷?!?,信心不足,也就更需要強(qiáng)大的心理素質(zhì)和良好的數(shù)學(xué)品質(zhì).因此,命題者要注意問題難度的設(shè)置,建議剛開始時從真實的生活情境出發(fā),著眼于中低難度的問題,等時機(jī)成熟,再適當(dāng)增加難度.
具有多種解決方法、途徑的結(jié)構(gòu)不良問題,通常與所學(xué)知識無過多關(guān)系,總是沒有固有、統(tǒng)一的解決辦法,更能考驗學(xué)生的主動思維.
例4 設(shè)公差為d的等差數(shù)列{an},其前n項和為Sn,則下列方法中能推導(dǎo)出等差數(shù)列前n項和公式的是( ).
剖析:選A、B、C,解析略.本題既根植于課本,又高于課本;既與課程標(biāo)準(zhǔn)和教材內(nèi)容緊密聯(lián)系,以教材中的基本問題為依托,又將教學(xué)內(nèi)容轉(zhuǎn)化為符合學(xué)科邏輯的結(jié)構(gòu)不良問題.
學(xué)生在解題過程中,往往會難以找到連接問題初始狀態(tài)和目標(biāo)狀態(tài)的有效方法,從而沒能關(guān)聯(lián)到有用條件.這就需要學(xué)生合理猜想、大膽的推測,發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造一個“新”的問題解決方案,這種創(chuàng)造性的學(xué)習(xí)調(diào)動了學(xué)生的主動思維,促進(jìn)了學(xué)生問題解決能力的發(fā)展.
此類問題的解決方案通常沒有統(tǒng)一的答案,解決方法顯得靈活且無序,需要命題者應(yīng)用多種評價標(biāo)準(zhǔn)加以保障.有效且合理的評價能促進(jìn)學(xué)生突破思維障礙、超越問題本身,還能引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度思考,培養(yǎng)高階思維.
例5 觀察下列數(shù)表
1
以下解釋正確的是( ).
A.第n(n≥3)行共有n個數(shù),各數(shù)排列成公差為1的等差數(shù)列;
B.第n(n≥2)行第1個數(shù)等于第n-1行最后一個數(shù)加1;
D.98在第14行第8列.
剖析:選A、B、C.此類問題較多體現(xiàn)在解答題,而以多選題的題型出現(xiàn)的較少.但由于多選題“全部選對的得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分”這一評價方式,該類問題也能具備良好的區(qū)分度.
命制此類問題時,教師首先要根據(jù)考查意圖,在選題時貼近學(xué)生的知識水平、生活經(jīng)驗,使學(xué)生能充分地理解題意,再考慮剔除偏離目標(biāo)的細(xì)枝末節(jié),保留關(guān)鍵性事實,對試題進(jìn)行適當(dāng)?shù)奶幚?
這類結(jié)構(gòu)不良問題通常是不以考察某一具體知識為主要目的,而是以思維訓(xùn)練的形式呈現(xiàn),以考查學(xué)生思維的靈活性與開闊性,主要表現(xiàn)在所指向的概念、規(guī)則等不明確,無法利用固定的辦法和途徑去解決,需要學(xué)生嘗試或創(chuàng)造各種方法以達(dá)到目標(biāo).
例6 十三世紀(jì)意大利著名數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契在研究兔子繁殖問題時,發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù):1,1,2,3,5,… 該列數(shù)從第三項起,每個數(shù)等于它前面兩個數(shù)的和,后來人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列{an}稱為“斐波那契數(shù)列”,記Sn為數(shù)列{an}的前n項和,則下列結(jié)論正確的是( ).
A.a10=65 B.an+1=an+2-an
C.a1+a3+a5+…+a2019=a2020
上述問題由于現(xiàn)實情境,沒有直接表述出固定的定理、規(guī)則或常識,只是隱含了關(guān)鍵的解決信息,這需要學(xué)生嘗試或創(chuàng)造各種方法來解決問題.
結(jié)構(gòu)不良問題給學(xué)生提供了更為廣闊的思維空間,有利于學(xué)生數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成.希望同仁們能重視數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)不良問題的命制,以期更好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì).值得一提的是,有些數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)不良問題可能包含上述多種特征,在區(qū)分其結(jié)構(gòu)類型時,需要根據(jù)問題最為顯著的特征來判斷,而其解決的方式方法,更應(yīng)具體問題具體分析.