矩形巷道全長錨固錨桿力學(xué)模型分析及設(shè)計

谷拴成，王 盼，楊超凡

（西安科技大學(xué) 建筑與土木工程學(xué)院，陜西 西安 710054）

煤炭作為我國的主要能源支柱，對國家經(jīng)濟(jì)起著舉足輕重的作用[1]。在煤炭開采中，如何快速安全實現(xiàn)巷道支護(hù)顯得尤為重要。由于錨噴支護(hù)施工速度快、支護(hù)效果好、造價經(jīng)濟(jì)，因此被廣泛應(yīng)用[2]。巷道錨噴支護(hù)設(shè)計方法的豐富與改進(jìn)經(jīng)歷了漫長的研究過程，因早期理論研究的滯后，使得巷道錨噴支護(hù)設(shè)計普遍使用工程類比法。隨著原位測試技術(shù)與計算機技術(shù)的發(fā)展，理論計算法、現(xiàn)場監(jiān)測、非線性大變形力學(xué)設(shè)計法及數(shù)值模擬等多種方法開始應(yīng)用于巷道支護(hù)設(shè)計中[3-9]?，F(xiàn)階段，對于圓形巷道圍巖變形及錨桿支護(hù)的研究已有較為成熟的理論[10-15]，因此在矩形巷道支護(hù)設(shè)計中，常將矩形巷道等效為圓形或橢圓形巷道來研究圍巖變形及應(yīng)力分布規(guī)律，從而對巷道錨桿進(jìn)行分析設(shè)計。廖保明等[16]基于彈塑性力學(xué)理論，采用等效橢圓法，確定了矩形巷道錨桿（索）支護(hù)參數(shù)。冉金林等[17]基于圍巖松動圈理論,運用等效圓法和壓力拱法計算得出巷道頂板松動圈范圍，并對錨桿、錨索參數(shù)進(jìn)行設(shè)計。宋濤[18]以檸條塔煤礦S1201工作面回采煤巷為依托,基于等效橢圓的巷道設(shè)計方法對回采巷道進(jìn)行支護(hù)設(shè)計研究。以上研究促進(jìn)了錨桿支護(hù)設(shè)計的發(fā)展，但也存在少許不足，即圓形巷道圍巖變形規(guī)律與矩形巷道不同，并不能準(zhǔn)確反映矩形巷道錨桿受力情況，使支護(hù)設(shè)計產(chǎn)生誤差。為此，根據(jù)檸條塔煤礦S12001運輸巷道的現(xiàn)場監(jiān)測得到巷道頂板圍巖變形規(guī)律，建立矩形巷道頂板梁模型，考慮煤巖體抗壓強度大于抗拉強度的特點，根據(jù)彈塑性理論，研究巷道頂板在上覆煤巖體自重應(yīng)力場作用下的撓曲變形?；陧敯辶鹤冃翁攸c，進(jìn)一步運用中性點理論對矩形巷道全長錨桿支護(hù)機理進(jìn)行分析，并提出其錨桿支護(hù)設(shè)計方法。

1 巷道頂板圍巖變形監(jiān)測

檸條塔煤礦S12001運輸巷道埋深200 m，巷道斷面尺寸寬6 m高4 m，煤層平均厚度為4.3 m，基本頂一般厚度為12.9 m，成分以細(xì)粒砂巖為主。直接頂一般厚度為9.55 m,成分以細(xì)粒砂巖為主。底板一般厚度為8.75 m，成分以碳質(zhì)泥巖為主，巖層物理力學(xué)參數(shù)見表1。

表1 煤巖體物理力學(xué)參數(shù)Table 1 Physical and mechanical parameters of coal and rock mass

測站布置在檸條塔煤礦S12001工作面運輸巷道。頂板離層儀監(jiān)測點安裝位置分別距頂板表面跨中部位0.5、1.0、1.5、2.0、2.5、3.0、4.0、5.0、6.0 m。收斂計測點安裝位置為距巷道左幫部0.5、1.5、2.5、3.0、3.5、4.5、5.5 m的頂板表面處，實測離層曲線及頂板表面下沉量如圖1。

圖1 實測頂板下沉量Fig.1 Actual roof subsidence

巷道變形穩(wěn)定后，頂板跨中部位沿深度方向不同位置的下沉變形以及沿跨度方向不同位置處的下沉變形繪制為曲線如圖2。由圖2可知，巷道頂板表面的沉降值最大，向巖體內(nèi)部逐漸減小；頂板表面不同位置處，沉降值并不相等，頂板跨中部位沉降值最大，向兩幫逐漸遞減。

圖2 實測巷道頂板下沉變形曲線Fig.2 Measured roadway roof subsidence deformation

2 矩形巷道頂板梁模型建立及分析

2.1 頂板梁模型建立

將巷道頂板簡化為簡支梁，梁的橫截面近似簡化為矩形。頂板梁材料視為理想彈塑性材料，按平面應(yīng)變問題進(jìn)行分析，建立的頂板梁模型如圖3。圖中，2l為頂板梁計算長度，m；2h為變梁高度，m；b為梁寬，m；q為梁承擔(dān)的上覆巖土體自重荷載，kN/m。

圖3 頂板梁模型Fig.3 Mechanical model of roof beam

2.2 頂板梁彈塑性狀態(tài)分析

為了求得頂板梁在彈性和塑性狀態(tài)下的撓曲方程，首先對頂板梁截面的彈性和塑性演化階段進(jìn)行分析，求得不同階段梁截面所對應(yīng)的彎矩。繼而根據(jù)平截面假定得到頂板梁在彈性和塑性狀態(tài)下的撓曲方程。

頂板梁截面上應(yīng)力分布隨著煤巖體材料進(jìn)入塑性階段的不同呈現(xiàn)不同情況，頂板梁截面彈塑性階段演化圖如圖4。圖中，σt為頂板圍巖的極限抗拉強度，MPa；σc為頂板圍巖的極限壓強度，MPa；β為頂板圍巖抗拉屈服強度與抗壓屈服強度的比值；e為中性軸的偏移離距離，m；y為頂板梁上層彈塑性區(qū)交界處距梁中性軸的距離，m；βy為下層彈塑性區(qū)交界處距梁中性軸的距離，m。

圖4 頂板梁截面彈塑性階段演化圖Fig.4 Elastoplastic phase evolution of roof beam section

當(dāng)頂板梁截面受拉側(cè)最大拉應(yīng)力小于頂板圍巖的極限抗拉強度時，整個截面處于彈性狀態(tài)，其截面上的正應(yīng)力分布如圖4（a）；當(dāng)頂板梁截面受拉側(cè)最大拉應(yīng)力達(dá)到頂板圍巖的極限抗拉強度時，頂板梁截面受拉側(cè)應(yīng)變將繼續(xù)增大，應(yīng)力值不再增加，截面受拉側(cè)塑性區(qū)逐漸擴大，此時為保證梁截面上正應(yīng)力之和為0，中性軸開始偏離，如圖4（b）；當(dāng)頂板梁截面受壓側(cè)最大壓應(yīng)力達(dá)到頂板圍巖的極限壓強度時，該側(cè)也將進(jìn)入塑性狀態(tài)，如圖4（c）。

2.2.1 頂板梁彈性狀態(tài)分析

當(dāng)頂板梁截面的最大正應(yīng)力等于圍巖的極限抗拉強度時，處于彈性極限狀態(tài)下的頂板梁高為[19]：

式中：σmax為梁截面所受的最大正應(yīng)力，MPa；y′為計算點到中性軸的距離，m；I為慣性矩，m4；Me為彈性極限狀態(tài)下頂板梁跨中彎矩，N·m；he為彈性極限狀態(tài)下的頂板梁高，m。

由式（1）、式（2）解得：

彈性狀態(tài)下頂板梁跨中撓度為：

式中：ωe為彈性狀態(tài)下頂板梁跨中撓度，m；E為圍巖的彈性模量，MPa。

由式（3）可知，當(dāng)h≥he時，頂板梁處于彈性狀態(tài)；當(dāng)h

2.2.2 頂板梁彈塑性狀態(tài)分析

當(dāng)梁截面處于彈塑性第2階段狀態(tài)時，離心距及截面彎矩為：

式中：M為梁截面彎矩，N·m。

當(dāng)y=0時，即截面處于完全塑性狀態(tài)，如圖4（d），此時截面處于塑性狀態(tài)下的彎矩為：

式中：Mp為梁截面處于完全塑性狀態(tài)下的彎矩，N·m。

應(yīng)用平截面假定可得頂板梁塑性狀態(tài)下?lián)锨匠?，分別如式（8）、式（9）（取β=1/6）。

式中：ω為頂板梁撓度，m。

根據(jù)式（8）、式（9）可知頂板梁的撓度在不同位置處是不同的，在頂板梁跨中位置x=l處撓度最大，由跨中向兩邊遞減，與監(jiān)測所得頂板圍巖沿跨度方向變形規(guī)律一致。

當(dāng)x=l時，代入式（9）可得巷道頂板跨中部位梁截面處于塑性狀態(tài)的撓度為：

式中：ωp為頂板跨中部位梁截面處于塑性狀態(tài)下的撓度，m。

根據(jù)式（7）可得頂板跨中部位梁截面處于塑性狀態(tài)下的最大彎矩為：

式中：Mmax為頂板跨中部位梁截面處于塑性狀態(tài)下的最大彎矩，N·m。

當(dāng)頂板梁截面上的最大正應(yīng)力等于圍巖極限抗壓強度時，可求得塑性狀態(tài)下的頂板梁高為：

式中：hp為塑性狀態(tài)下的頂板梁高度，m。

根據(jù)以上分析可知，當(dāng)h≤hp，頂板梁處于塑性狀態(tài)，此時頂板梁跨中撓度方程為式（10）。

當(dāng)h≥he時，頂板梁處于彈性狀態(tài)，此時頂板梁跨中撓度方程為式（4）。

當(dāng)he

式中：ωep為頂板梁處于彈塑性狀態(tài)時頂板梁跨中撓度，m。

當(dāng)h不同時，可得到處于不同狀態(tài)不同深度處頂板圍巖的變形值。頂板圍巖變形沿深度方向隨h的增大逐漸減小，頂板圍巖表面處變形最大，向巖體內(nèi)部逐漸減小，在趨于無限遠(yuǎn)處（h→∞）為0，與現(xiàn)場監(jiān)測所得頂板圍巖沿深度方向的變形規(guī)律一致。

3 不考慮預(yù)張力條件下全長錨桿受力分析及設(shè)計

根據(jù)現(xiàn)場監(jiān)測結(jié)果以及理論推導(dǎo)可知，巷道頂板跨中部位的下沉值最大，因此以頂板跨中部位作為關(guān)鍵點，在此基礎(chǔ)上運用中性點理論[20]對全長錨固錨桿支護(hù)機理進(jìn)行分析，并提出錨桿支護(hù)設(shè)計方法。

3.1 錨桿中性點位置計算

在全長錨固錨桿靠近巷道一端，頂板圍巖向巷道內(nèi)變形，錨桿阻止圍巖變形而受到向下的剪應(yīng)力；在錨桿遠(yuǎn)離巷道端，圍巖要阻止錨桿向下位移而使錨桿受到向上的剪應(yīng)力，故在錨桿上必有1個中性點，此處的剪應(yīng)力為0，中性點位置如圖5。圖中a為初始半梁高，m；ρ為中性點位置，m；lg為錨桿的長度，m；τ為錨桿所受的剪應(yīng)力，MPa。

圖5 中性點位置Fig.5 The position of neutral point

根據(jù)錨桿全長上剪應(yīng)力之和為0可得[20]：

剪應(yīng)力τ的分布規(guī)律取決于頂板圍巖變形，錨桿各點上剪應(yīng)力的大小應(yīng)與該點錨桿對巖體的相對位移成正比[20]，即：

式中：K為頂板巖體的剪切剛度，kN/m2；△u為錨桿對頂板巖體的相對位移，m。

在錨桿中性點處，錨桿的位移與圍巖的位移相等，因此，錨桿相對于圍巖的位移就是各點巖體的位移與中性點位移之差，再減去錨桿相對于中性點的伸長量，由于錨桿的伸長量較小，可忽略不計[21]，故：

式中：uρ為中性點位移，m；u為頂板圍巖下沉量，m。

根據(jù)式（14）～式（16）得：

式中：B為參數(shù)，頂板梁處于彈性狀態(tài)下時，B=0.31ql4/bE，頂板梁處于彈塑性狀態(tài)下時，B=（（4.64he3-0.31hp3）ql4）/（（he3-hp3）bE），頂板梁處于塑性狀態(tài)下時，B=4.64ql4/bE。

解得，中性點位置為：

將不同的錨桿長度與初始半梁高的比值（lg+a）代入式（18）可得到相應(yīng)的中性點位置與初始半梁高的比值（ρ/a），錨桿長度與中性點位置的關(guān)系見表2。

表2 錨桿長度與中性點位置的關(guān)系Table 2 Relation between bolt length and the position of neutral point

矩形巷道頂板圍巖控制沉降量與中性點處圍巖沉降量及頂板表面圍巖沉降量之間的關(guān)系為：

式中：uk為矩形巷道頂板圍巖控制沉降量，m；ua為頂板表面圍巖沉降量，m。

可將式（19）變換為：

根據(jù)式（10）得：

將以上關(guān)系整理可得控制變形量與中性點的關(guān)系（表3）。

根據(jù)表3中控制沉降量與表面沉降量的比值uk/ua可得中性點位置與初始半梁高的比值ρ/a，然后查表2便可求得錨桿長度lg。

表3 控制變形量與中性點的關(guān)系Table 3 Relationship between the control deformation quantity and the neutral point

3.2 錨桿應(yīng)力分析

在求得錨桿中性點位置后，進(jìn)一步對錨桿應(yīng)力分布進(jìn)行分析。

由式（15）、式（16）可得錨桿剪應(yīng)力：

由式（22）可知，錨桿最大剪應(yīng)力發(fā)生在孔口h=a處，在設(shè)計時，最大值不得超過錨桿的錨固強度。

在錨桿中取一微段，對錨桿軸向應(yīng)力進(jìn)行分析?？傻缅^桿微段靜力平衡微分方程為：

式中：σh為錨桿微段軸向應(yīng)力，MPa；dh為錨桿微段長度，m；d為錨桿直徑，m。

根據(jù)式（18）、式（22）、式（23）可得：

式中：C為積分常數(shù)。

根據(jù)邊界條件，當(dāng)h=a時，σh=0可得：

在已知錨桿允許抗拉強度［σ］、剛度系數(shù)k、巷道寬度2l、錨桿長度lg、巖土體密度ρy及巖土體彈性模量E的條件下，可根據(jù)式（25）可求得錨桿直徑d。

4 工程應(yīng)用

為了驗證本文推導(dǎo)理論的合理性，下面結(jié)合檸條塔煤礦S12001運輸巷道進(jìn)行全長錨固錨桿支護(hù)設(shè)計及參數(shù)分析。

已知圍巖剛度系數(shù)K＝3.2×102MPa，錨桿允許抗拉強度［σ］=200 MPa，錨桿錨固強度［τ］=3 MPa，取半梁初始高度a=1.4 m。

根據(jù)uk/ua=0.94/1.4，由表3得ρ/a=1.45，由表2可知lg=1.2×a=1.68 m，取lg=1.7 m。根據(jù)式（25）得錨桿直徑為：d=17 mm，取d=18 mm。

將現(xiàn)場監(jiān)測巷道頂板下沉變形與理論計算結(jié)果比較，頂板沿跨度及深度方向不同位置處下沉變形對比如圖6，可知，現(xiàn)場監(jiān)測巷道頂板下沉變形與理論計算結(jié)果基本一致，驗證了理論的可靠性。

圖6 頂板沿跨度及深度方向不同位置處下沉變形對比Fig.6 Comparison of roof subsidence deformation at different positions along the span direction and depth direction

根據(jù)式（22）、式（25）可將錨桿所受的剪應(yīng)力和軸向應(yīng)力繪制為曲線，錨桿剪應(yīng)力分布圖如圖7，錨桿軸向應(yīng)力分布圖如圖8。

圖7 錨桿剪應(yīng)力分布圖Fig.7 Shear stress distribution of bolt

錨桿上剪應(yīng)力以中性點為界，兩端剪應(yīng)力方向相反，錨桿最大剪應(yīng)力發(fā)生在孔口。錨桿最大軸向拉應(yīng)力發(fā)生在中性點處，錨桿兩端軸向應(yīng)力為0。錨桿剪應(yīng)力最大值為2.84 MPa<［τ］=3 MPa；錨桿軸向拉應(yīng)力最大值為186.06 MPa<［σ］=200 MPa，錨桿所受剪應(yīng)力與最大軸向應(yīng)力均符合設(shè)計要求。

5 結(jié) 語

1）根據(jù)現(xiàn)場監(jiān)測得到的巷道頂板圍巖變形規(guī)律，建立了頂板梁模型。考慮煤巖體抗壓強度大于抗拉強度的特點，根據(jù)彈塑性理論，推導(dǎo)出巷道頂板在上覆煤巖體自重應(yīng)力場作用下的撓曲變形計算式。巷道頂板圍巖表面跨中部位處豎向位移最大，并向巖體內(nèi)部以及巷道兩幫逐漸減小。

2）以頂板圍巖變形最大處，即頂板跨中部位作為關(guān)鍵點，依據(jù)中性點理論，對矩形巷道全長錨固錨桿受力進(jìn)行分析，并提出了支護(hù)設(shè)計方法。錨桿上剪應(yīng)力以中性點為界，兩端剪應(yīng)力方向相反，最大剪應(yīng)力發(fā)生在孔口；錨桿軸向拉應(yīng)力在中性點處最大，兩端為0。在設(shè)計時，孔口處錨桿剪應(yīng)力不得超過錨桿錨固強度；錨桿的最大軸向應(yīng)力不應(yīng)超過錨桿材料允許的抗拉強度。

3）結(jié)合實際工程對巷道頂板進(jìn)行支護(hù)設(shè)計，同時將理論計算的頂板圍巖下沉變形值與現(xiàn)場監(jiān)測結(jié)果進(jìn)行對比，結(jié)果表明，根據(jù)理論設(shè)計的錨桿受到的剪應(yīng)力與軸向應(yīng)力均符合要求；理論計算的頂板圍巖下沉變形量與現(xiàn)場監(jiān)測結(jié)果接近，從而驗證了模型的可靠性。