基于邏輯混合Petri網(wǎng)的混合系統(tǒng)建模與分析

劉 偉，史曉浩，孫紅偉，2

(1.山東科技大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院，山東 青島 266590；2.濰坊科技學(xué)院 智能制造學(xué)院，山東 壽光 262700)

Petri網(wǎng)是分布式系統(tǒng)的建模和分析工具，特別便于描述系統(tǒng)中進(jìn)程或部件的順序、并發(fā)、沖突和同步關(guān)系[1-2]，在許多實(shí)際系統(tǒng)的建模和分析中都得到了成功應(yīng)用。隨著Petri網(wǎng)理論和仿真技術(shù)的不斷發(fā)展和完善，提出擴(kuò)展的Petri網(wǎng)，如邏輯Petri網(wǎng)[3-4]、顏色Petri網(wǎng)[5]和混合Petri網(wǎng)[6]等。

邏輯Petri網(wǎng)是由Du等[7]定義的一種增廣Petri網(wǎng)模型，它具有較簡(jiǎn)單的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)[8]，能夠更好地描述實(shí)時(shí)協(xié)同工作系統(tǒng)模型的網(wǎng)結(jié)構(gòu)，模擬和分析系統(tǒng)中的批處理功能與傳值不確定性[9]。在邏輯Petri網(wǎng)中，變遷的輸入和輸出分別受到邏輯輸入表達(dá)式fI和邏輯輸出表達(dá)式fO的限制，這種受邏輯表達(dá)式約束的變遷稱為邏輯變遷。邏輯變遷通過(guò)邏輯表達(dá)式表示輸入/輸出庫(kù)所值的不確定性。顯然，邏輯Petri網(wǎng)增強(qiáng)了Petri網(wǎng)的表達(dá)能力，更適合于復(fù)雜的建模需求。為了對(duì)實(shí)際系統(tǒng)進(jìn)行建模和分析，提出多種擴(kuò)展邏輯Petri網(wǎng)。為解決token處理中的系統(tǒng)優(yōu)先級(jí)問(wèn)題，文獻(xiàn)[10]提出擴(kuò)展邏輯Petri網(wǎng)。針對(duì)資源公平共享系統(tǒng)的調(diào)度問(wèn)題,文獻(xiàn)[11]提出隊(duì)列邏輯Petri網(wǎng)。為分析B2C電子商務(wù)的信用風(fēng)險(xiǎn)問(wèn)題,文獻(xiàn)[12]提出基于博弈論和邏輯Petri網(wǎng)理論的信用風(fēng)險(xiǎn)博弈機(jī)制。

現(xiàn)有的邏輯Petri網(wǎng)模型以及擴(kuò)展邏輯Petri網(wǎng)模型僅能建模離散系統(tǒng)，無(wú)法表征離散事件和連續(xù)動(dòng)態(tài)之間的業(yè)務(wù)邏輯，難以應(yīng)用于由相互作用的離散事件和連續(xù)行為組成的混合系統(tǒng)。而有效描述和分析離散事件和連續(xù)動(dòng)態(tài)之間的相互作用是混合系統(tǒng)建模的關(guān)鍵，邏輯Petri網(wǎng)的特性使其能夠充分挖掘活動(dòng)之間的業(yè)務(wù)邏輯。因此，對(duì)邏輯Petri網(wǎng)進(jìn)行擴(kuò)展，將邏輯Petri網(wǎng)的邏輯表達(dá)能力應(yīng)用到單變量混合系統(tǒng)中，提出一種新的混合系統(tǒng)建模方法具有重要的理論和現(xiàn)實(shí)意義。

基于上述問(wèn)題，對(duì)邏輯Petri網(wǎng)進(jìn)行擴(kuò)展，并結(jié)合混合Petri網(wǎng)的思想，提出邏輯混合Petri網(wǎng)的概念。

1 基礎(chǔ)定義

本節(jié)簡(jiǎn)要介紹邏輯混合Petri網(wǎng)建立過(guò)程中用到的基礎(chǔ)知識(shí)，包括Petri網(wǎng)[13-14]、邏輯Petri網(wǎng)[15]和混合Petri網(wǎng)[16]，其中N是自然數(shù)集，N={0，1，…}，N+=N/{0}。R是實(shí)數(shù)集，R+是正實(shí)數(shù)集，R0=R++{0}。

定義1 (Petri網(wǎng))Petri網(wǎng)PN= (P,T;F,M)是一個(gè)四元組,P和T是沒(méi)有交集的非空有限集合，其中P是庫(kù)所集，T是變遷集。F? (P×T) ∪ (T×P)是有向弧的有限集合。M是標(biāo)識(shí)函數(shù)。

定義2 (邏輯Petri網(wǎng))邏輯Petri網(wǎng)LPN= (P,T;F,I,O,M)是一個(gè)六元組,P和T是沒(méi)有交集的非空有限集合，其中P是庫(kù)所集，T=TCD∪TI∪TO是變遷集。T包含且僅包含三個(gè)互斥的子集：TCD普通變遷集，TI邏輯輸入變遷集以及TO邏輯輸出變遷集。F? (P×T) ∪ (T×P)是有向弧的有限集合。I(t)是從邏輯輸入變遷到邏輯輸入表達(dá)式的映射，O(t)是從邏輯輸出變遷到邏輯輸出表達(dá)式的映射。M是標(biāo)識(shí)函數(shù)。

定義3 (混合Petri網(wǎng))混合Petri網(wǎng)HPN = (P,T;Pre,Post,M,S)是一個(gè)六元組，P=Pd∪Pc是離散庫(kù)所和連續(xù)庫(kù)所的有限集合且Pd∩Pc=?。T=TD∪TC是離散變遷和連續(xù)變遷的有限集合且TD∩TC=?。Pre:P×T→R+是輸入關(guān)聯(lián)矩陣，Post:T×P→R+是輸出關(guān)聯(lián)矩陣。M:P→R是標(biāo)識(shí)函數(shù)，M0表示初始標(biāo)識(shí)。S是與連續(xù)變遷相關(guān)聯(lián)的持續(xù)引發(fā)速度和引發(fā)時(shí)間的集合。對(duì)于t∈TC,S(t) = (vt,ht)，其中vt，ht∈R，vt，ht分別是與連續(xù)變遷t相關(guān)聯(lián)的持續(xù)引發(fā)速度和引發(fā)時(shí)間。

2 邏輯混合Petri網(wǎng)

定義4 (邏輯混合Petri網(wǎng))LHPN= (P,T;F,S,Usp,M,I,O,LC)稱為邏輯混合Petri網(wǎng)，當(dāng)且僅當(dāng)

1)P=Pd∪Pc是庫(kù)所的有限集合。

2)T=TD∪TC是變遷的有限集合,TD=TCD∪TI∪TO，TC=TCC∪TLC，其中

a)TD是離散變遷的集合。其中

i)TCD是普通離散變遷集合，其引發(fā)與輸出均不受邏輯表達(dá)式的限制；

ii)TI是邏輯輸入變遷集合，?t∈TI，變遷t的引發(fā)受到邏輯輸入表達(dá)式fI(t)的限制；

iii)TO是邏輯輸出變遷集合，?t∈TO，變遷t引發(fā)后的結(jié)果受到邏輯輸出表達(dá)式fO(t)的限制。

b)TC是連續(xù)變遷的集合。其中

i)TCC是普通連續(xù)變遷的集合，其引發(fā)與輸出均不受邏輯表達(dá)式的限制；

ii)TLC是邏輯連續(xù)變遷的集合。?t∈TLC，變遷t的引發(fā)受到邏輯連續(xù)表達(dá)式fLC(t)的限制。

3)F=FT∪FC是有向弧的集合，F(xiàn)T∩FC=?，其中

a)FT是普通有向弧的集合，其定義與定義1中F相同；

b)FC是控制弧的集合?？刂苹≈豢刂谱冞w的引發(fā),變遷t∈T的引發(fā)不引起FC上庫(kù)所的變化。

4)S=ST∪SP，ST∩SP=?，其中

a) 對(duì)于t∈TC，ST(t) = (vt，ht)為與連續(xù)變遷相關(guān)的持續(xù)引發(fā)速度向量和引發(fā)時(shí)間的集合；

b) 對(duì)于p∈Pc，SP(p) = (vp，hp)為與連續(xù)庫(kù)所相關(guān)的持續(xù)引發(fā)速度向量和引發(fā)時(shí)間的集合。

注意vt，ht，vp，hp∈R0。

5)USP是SP的計(jì)算函數(shù)。

6)M是標(biāo)識(shí)函數(shù)，?是標(biāo)識(shí)數(shù)量函數(shù)。?(p)表示庫(kù)所p中token的數(shù)量。?(Pd)∈N，?(Pc)∈R0。

a)對(duì)于?p∈Pd，庫(kù)所p的標(biāo)識(shí)M(p) = ?(p)；

b)對(duì)于?p∈Pc，庫(kù)所p的標(biāo)識(shí)M(p)由?(p)和SP組成。

7)I是邏輯限制輸入函數(shù)，對(duì)?t∈TI，I(t) =fI(t)。

8)O是邏輯限制輸出函數(shù)，對(duì)?t∈TO，O(t) =fO(t)。

9)LC是邏輯連續(xù)限制輸入函數(shù)，對(duì)?t∈TLC，LC(t) =fLC(t)。

表1 邏輯混合Petri網(wǎng)的圖示Tab. 1 Graphic presentation of logic hybrid Petri nets

定義5 (邏輯表達(dá)式f)令f為L(zhǎng)HPN的邏輯表達(dá)式。p|M代表p在M下的邏輯值，·1·和·0·分別表示邏輯真值和邏輯假值。

對(duì)于?p∈Pd，

(1)

對(duì)于?p∈Pc，

(2)

f中的運(yùn)算符由“∨”(邏輯或)，“∧”(邏輯與)和“?”(邏輯非)組成。f=p1∨p2代表p1|M=·1·或p2|M=·1·。f=p1∧p2代表p1|M=·1·且p2|M= ·1·。?·1·=·0·，?·0·=·1·。將邏輯表達(dá)式中所有庫(kù)所的邏輯值代入，得到的f|M=·1·/·0·為f在標(biāo)識(shí)M下的邏輯值。

示例1如圖1(a)所示，(p1,t1), (t1,p4) ∈FT; (p2,t1), (p3,t1) ∈FC。t1∈TLC，fLC(t1)=(p1∨p2)∧p3。只有滿足邏輯表達(dá)式fLC時(shí)，才能引發(fā)變遷t1。fLC(t1)為真當(dāng)且僅當(dāng)p1∨p2，p3均為真。即p1|M=·1·或p2|M=·1·且p3|M=·1·。

圖1 兩個(gè)簡(jiǎn)單的LHPN示例Fig. 1 Two simple LHPNs examples

算法1Pre,Post,A-和A+的計(jì)算

輸入：LHPN=(P,T;F,S,Usp,M,I,O,LC)

輸出：Pre,Post,A-,A+

Step 0: 初始化：n=num[p],m=num[t],i∈{1, 2, …,n},j∈{1, 2, …,m},Pre←?,Post←?,A-←?,A+←?;

Step 1: For tj∈T, Do

Step 1.1: If (pi,tj) ∈FTThen

preij← 1;Pre?preij;

Step 1.1.1: Iftj∈TI∪TLCThen

Step 1.1.2: Iftj?TI∪TLCThen

Step 1.2: If (pi,tj) ∈FCThen

Step 1.3: If (tj,pi) ∈FTThen

postij← 1;Post?postij;

Step 1.3.1: Iftj∈TOThen

IffR= ? Then

Else IffR≠ ? Then

Step 1.3.2: Iftj?TOThen

Step 2: 返回Pre,Post,A-,A+。

輸入：fI(tj) fLC(tj),pi|M

Step 1: If (pi,tj) ∈FTThen

Ifpi與任意p∈·tj/{pi}都不?“∨” Then

Else Ifpi與pk∈·tj/{pi}?“∨” Then

Ifpi|M= ·1· Then

Else Ifpi|M= ·0· Then

算法2的算法時(shí)間復(fù)雜度為O(1)。

輸入：fO(tj)fR(tj)

Step 1: If (tj,pi) ∈FTThen

IffR= ?Then

Ifpi與任意p∈tj·/{pi}都不?“∨” Then

Else Ifpi與pk∈tj·/{pi}? “∨” Then

Else IffR≠ ? Then

If 關(guān)于pi的判定條件為真 Then

示例3對(duì)于圖1(b)中的LHPN，如果O(t1) =fO(t1) =p2∨p3,則根據(jù)算法1，2，3，可以得到:

T1T2T3T4T5T1T2T3T4T5

T1T2T3T4T5T1T2T3T4T5

修正后的關(guān)聯(lián)矩陣

W=Post*A+-Pre*A-。

(3)

代入示例3的數(shù)據(jù)，可得

T1T2T3T4T5

令σ為可達(dá)標(biāo)識(shí)M0執(zhí)行的引發(fā)序列。對(duì)于?tj∈TD，σj為變遷tj在序列σ中的引發(fā)次數(shù)。對(duì)于?tj∈TC，σj為變遷tj在序列σ中的vt和ht。如果引發(fā)序列σ滿足M0[σ>Ms，則可以得出基本方程：

?s= ?0+Wσ。

(4)

取σ= (1, 1, 1, 2; 2, 1, 1)，可以得到：

如果O(t1) =fO(t1) =p2∧p3，則相應(yīng)的結(jié)果為[4 1 1 0 3)]T。

定理1如果?t∈TO，fO中?“∨”且fR= ?，M0[σ>Ms，則?s具有不確定性。

證明1:基于算法1，2，3，如果?t∈TO，fO中?“∨”且fR= ?，則Step 1因?yàn)闊o(wú)fR限定變遷輸出，因此fOΘA+?不確定的A+；Step 2 因?yàn)镻ost，Pre，A-都為確定值，A+不確定，因此W=Post*A+-Pre*A-ΘW?不確定的W；Step 3M0[σ>Ms。因?yàn)?0，σ為確定值，W不確定，因此?s= ?0+WσΘ?s?不確定的?s，?s具有不確定性。定理1得證。

定理2如果?t∈TO，fO中?“∨”且fR≠ ?或者fO中不?“∨”，M0[σ>Ms，則?s是確定值。

證明2:如果?t∈TO，fO中?“∨”且fR≠ ?或者fO中不?“∨”，則Step 1 如果fO中?“∨”且fR≠ ?，因?yàn)閒R限定變遷輸出，因此fRΘA+?確定的A+；如果fO中不?“∨”，fOΘA+?確定的A+；Step 2: 因?yàn)镻ost，Pre，A-和A+都為確定值，因此W=Post*A+-Pre*A-ΘW?確定的W；Step 3M0[σ>Ms。因?yàn)?0，W，σ都為確定值，因此?s= ?0+WσΘ?s?確定的?s，?s是確定值。定理2得證。

定理3如果?t?TO，M0[σ>Ms，則?s是確定值。

證明3:如果?t?TO，則Step 1 根據(jù)算法1，2，3得出Post，Pre，A-和A+都為確定值；Step 2 因?yàn)镻ost，Pre，A-和A+都為確定值，因此W=Post*A+-Pre*A-ΘW?確定的W；Step 3:M0[σ>Ms。因?yàn)?0，W，σ都為確定值，因此?s= ?0+WσΘ?s?確定的?s，?s是確定值。

定義8函數(shù)USP是連續(xù)庫(kù)所Sp的計(jì)算函數(shù)。在tj∈TC開(kāi)始引發(fā)與引發(fā)結(jié)束時(shí)，函數(shù)USP對(duì)?pi∈ (·tj∪tj·) ∩Pc的SP中vpi和hpi進(jìn)行計(jì)算和更新。SP中vpi和hpi求解算法如算法4所示。

算法4SP中vpi和hpi的計(jì)算

輸入：LHPN= (P,T;F,S,Usp,M,I,O,LC),tj∈T

輸出：vpi,hpi

Step 0 初始化：vpi← (0, 0, …, 0),hpi← 0, [P,T] ← ?, [T,P] ← ?,TM(n),TM(i,j),TM(j,i);

Step 1 While (tj∈TC開(kāi)始引發(fā)) Do

更新當(dāng)前時(shí)間TM(n);

Step 1.1 For ?pi∈·tj∩PcDo

TM(i,j) ←TM(n),vpi←vpi-vtj; [P,T] ? (pi,tj);/*將(pi,tj)寫(xiě)入[P,T]*/

Step 1.2 Ifhpi> 0 Then

Else Ifhpi= 0 Thenhpi←htj;

Step 1.3 For ?pi∈tj·∩PcDo

TM(j,i) ←TM(n),vpi←vpi+vtj; [T,P] ? (tj,pi);

Step 1.4 If (hpi> 0) Then

Else Ifhpi= 0 Thenhpi←htj;

Step 2 While (tj∈TC引發(fā)結(jié)束) Do

更新當(dāng)前時(shí)間TM(n)；

Step 2.1 For ?pi∈·tj∩PcDo

Step 2.2 For ?pi∈tj·∩Pc, Do

Step 3 返回vpi,hpi。

算法4的算法時(shí)間復(fù)雜度為O(|pi|)。

定理4如果多個(gè)tj∈TC∩ (·pi∪pi·)同時(shí)開(kāi)始引發(fā)且vpi=0，hpi= 0。則pi的vpi和hpi的計(jì)算公式為：

(5)

(6)

注意，tf∈·pi∩TCI，tl∈pi·∩TCI，其中TCI表示被引發(fā)的連續(xù)變遷集合。

定義9 (變遷引發(fā)規(guī)則)

1)對(duì)于?t∈TCD，如果?p∈·t∩Pd，?(p) ≥pre(p,t)且?p∈·t∩Pc，?(p) > 0，則t在M下使能。

2)對(duì)于?t∈TI，I(t)=fI(t)。如果邏輯輸入表達(dá)式fI(t)在標(biāo)識(shí)M下的邏輯值為真，則t在M下使能。

3)對(duì)于?t∈TO，O(t)=fO(t)。如果?p∈·t∩Pd，?(p)≥pre(p,t)且?p∈·t∩Pc，?(p)>0，則t在M下使能。對(duì)于t·，fO(t)|M′=·1·。

對(duì)于?t∈TD，如果t使能，則它可以引發(fā)，在標(biāo)識(shí)M下引發(fā)生成一個(gè)新的標(biāo)識(shí)M′。?′(p)的計(jì)算公式為：

?p∈·t, ?′(p) = ?(p) -a-(p,t) *pre(p,t)；

(7)

?p∈t·, ?′(p) = ?(p) +a+(p,t)*post(p,t)。

(8)

4) 對(duì)于?t∈TCC，如果?p∈·t∩Pd，?(p) ≥pre(p,t)且?p∈·t∩Pc，?(p) > 0，則t在M下使能；如果t使能，則它可以引發(fā)。

5) 對(duì)于?t∈TLC，LC(t) =fLC(t)。如果邏輯連續(xù)表達(dá)式fLC(t)在標(biāo)識(shí)M下的邏輯值為真，則t在M下使能；如果t使能，則它可以引發(fā)。

對(duì)于?t∈TC，假設(shè)引發(fā)開(kāi)始時(shí)刻為tms，引發(fā)結(jié)束時(shí)刻為tme，tme=tms+ht。在任意時(shí)刻tm∈ [tms,tme]，標(biāo)識(shí)變?yōu)镸′。?′(p)的計(jì)算公式為：

(9)

(10)

?p∈·t∩Pd, ?′(p) = ?(p) -a-(p,t)*pre(p,t);

(11)

?p∈t·∩Pd, ?′(p) = ?(p) +a+(p,t) *post(p,t)。

(12)

注意，當(dāng)t∈TC引發(fā)開(kāi)始和結(jié)束時(shí),根據(jù)定義8與算法4，函數(shù)USp對(duì)?p∈ (·t∪t·) ∩Pc的vpi和hpi進(jìn)行計(jì)算和更新。上述考慮的輸入弧都為普通有向弧，控制弧連接的庫(kù)所標(biāo)識(shí)不會(huì)隨變遷的引發(fā)而改變。

3 實(shí)例分析

3.1 微電網(wǎng)系統(tǒng)的LHPN模型

微電網(wǎng)包括分布式發(fā)電機(jī)、儲(chǔ)能系統(tǒng)和公用電網(wǎng)上的負(fù)荷等，其提出可將再生能源有效地整合到電力和能源系統(tǒng)中，為用戶提供高質(zhì)量和高可靠性的電力。以文獻(xiàn)[16]中微電網(wǎng)系統(tǒng)為例，建立如圖2所示LHPN模型。

圖2 微電網(wǎng)的LHPN模型Fig. 2 LHPN model of microgrid

3.2 系統(tǒng)業(yè)務(wù)邏輯挖掘

與LPN相比，LHPN中的邏輯表達(dá)式定義進(jìn)行了擴(kuò)展，能夠有效地描述和分析離散變量和連續(xù)演化過(guò)程之間的相互作用，充分挖掘混合系統(tǒng)中的業(yè)務(wù)邏輯。例如f(t11) = ?p8∧p10∧p11，經(jīng)過(guò)邏輯推理可得：?p8∧p10∧p11→t11，p8∨ ?p10∨ ?p11→ ?t11。即變遷p11的引發(fā)受到庫(kù)所p8，p10，p11的限制，只有p8= ·0·，p10= ·1·，p11= ·1·時(shí)，變遷t11才能引發(fā)。這意味著在該微電網(wǎng)系統(tǒng)中，只有當(dāng)微電網(wǎng)系統(tǒng)中風(fēng)力發(fā)電與光伏發(fā)電產(chǎn)生電量為0，且電池存儲(chǔ)電量和負(fù)載需求大于0時(shí)，變遷t11才能引發(fā)。電池進(jìn)入放電狀態(tài)，滿足用戶負(fù)載需求。而當(dāng)p8，p10，p11狀態(tài)發(fā)生改變，使得fLC= ·0·時(shí)，則變遷t11結(jié)束引發(fā)，即電池結(jié)束放電狀態(tài)。而同時(shí)也可以推出，t11→ ?p8∧p10∧p11，?t11→p8∨ ?p10∨ ?p11。擴(kuò)展之后的邏輯表達(dá)式能夠很好地運(yùn)用到混合系統(tǒng)建模分析中，并能夠?qū)旌舷到y(tǒng)中的業(yè)務(wù)邏輯進(jìn)行充分挖掘。

基于邏輯表達(dá)式的微電網(wǎng)業(yè)務(wù)邏輯挖掘：?p8∧p10∧p11→t11，p8∨ ?p10∨ ?p11→ ?t11，t11→ ?p8∧p10∧p11，?t11→p8∨ ?p10∨ ?p11，p8∧p9∧ ?p11→t10，?p8∨ ?p9∨p11→ ?t10，t10→p8∧p9∧ ?p11，?t10→ ?p8∨ ?p9∨p11，p6∧p8→t5，?t5→ ?p6∨ ?p8，p7∧p11→t6，?t6→ ?p7∨ ?p11。

3.3 修正表達(dá)

3.4 系統(tǒng)可達(dá)圖

基于文獻(xiàn)[16]中微電網(wǎng)系統(tǒng)的相關(guān)數(shù)據(jù)，根據(jù)定義9變遷引發(fā)規(guī)則，以及算法4連續(xù)庫(kù)所SP的算法，得到系統(tǒng)運(yùn)行的可達(dá)圖，如圖3所示。

圖3 系統(tǒng)標(biāo)識(shí)可達(dá)圖Fig. 3 System marking reachability

其中，各個(gè)可達(dá)標(biāo)識(shí)的信息如下：

M1= [0,0,1,0,1,0,1,0(0;0),2(0;0),8(0;0),0(2;2)]，

M2= [0,1,0,0,1,0,1,0(0;0),2(0;0),8(0;0),0(0;0)]，

M3= [0,1,0,0,1,0,1,0(0;0),2(0;0),8(0;0),0(6;2)]，

M4= [0,1,0,1,0,0,1,0(0;2),2(0;0),8(0;0),0(2;2)]，

M5= [0,1,0,1,0,0,1,0(0;0),2(0;0),8(0;0),ε(2;2)]，

M6= [0,1,0,1,0,1,0,0(0;0),2(1;2),8(-1;2),ε(0;0)]，

M7= [0,1,0,1,0,1,0,0(0;0),4(0;0),6(0;0),ε(6;4)]，

M8= [0,0,1,1,0,1,0,ε(1;4),4(1;4),6(-1;4),ε(0;0)]，

M9= [0,0,1,1,0,1,0,ε(1;4),4(1;4),6(-1;4),0(0;0)]，

M10= [0,0,1,1,0,1,0,ε(0;0),4(-1;4),6(1;4),0(0;0)]，

M11= [0,0,1,1,0,0,1,ε(0;0),0(-1;2),10(1;2),0(6;2)]，

M12= [1,0,0,1,0,0,1,ε(0;0),0(-1;2),10(1;2),0(0;0)]，

M13= [1,0,0,1,0,0,1,0(0;0),0(0;0),10(0;0),0(0;0)]，

M14= [1,0,0,1,0,0,1,0(0;0),0(0;0),10(0;0),0(6;2)]，

M15= [0,1,0,1,0,0,1,0(0;2),0(0;0),10(0;0),0(2;0)]，

M16= [0,1,0,1,0,0,1,0(0;2),0(0;0),10(0;0),ε(2;0)]，

M17= [0,1,0,1,0,1,0,0(0;2),0(1;2),10(-1;2),ε(0;2)]，

M18= [0,1,0,1,0,1,0,0(0;4),2(1;4),8(-1;4),ε(3;4)]，

M19= [0,1,0,0,1,1,0,0(0;0),2(1;4)/(0.5;4),8(-1;4)/(-0.5;4),ε(0;4)]，

M20= [0,1,0,0,1,1,0,ε(0;0),2(1;4),8(-1;4),0(0;0)]，

M21= [0,1,0,0,1,0,1,ε(0;0),2(1;4),8(-1;4),0(0;0)]，

M22= [0,1,0,0,1,1,0,0(1;2),6(1,4),4(-1;4),ε(1;2)]，

M23= [0,1,0,0,1,1,0,ε(1;2),6(0;0),4(0;0),0(0;2)]，

M24= [0,1,0,0,1,0,1,ε(1;2),6(-1;2),4(1;2),0(0;2)]，

M25= [0,1,0,0,1,1,0,0(1;2),4(0.5,4),6(-0.5;4),ε(0;0)]，

M26= [0,1,0,0,1,1,0,ε(1;2),4(0;0),6(0;0),0(0;0)]，

M27= [0,1,0,0,1,0,1,ε(0;0),4(0;0),6(0;0),0(0;0)]，

M28= [0,1,0,0,1,0,1,ε(0;0),4(-1;2),6(1;2),0]，

M29= [1,0,0,0, 11,0,ε(1;2),4(-1;2),6(1;2),0(0;2)]，

M30= [0,1,0,0,1,0,1,ε(0;0),2(-1;2),8(1;2),0(0;0)]，

M31= [1,0,0,0,1,0,1,ε(1;2),2(-1;2),8(1;2),0(0;0)]，

M32= [1,0,0,0,1,0,1,ε(1;2),2(-1;2),8(1;2),0(0;4)]，

M33= [0,0,1,0,1,0,1,ε,2(-1;2),8(1;2),0(0;2)]，

M34= [0,0,1,0,1,0,1,0(0;0),2(0;0),8(0;0),0(0;0)]，

M35= [1,0,0,0,1,0,1,ε(1;2),0(-1;2),10(1;2),0(0;0)]，

M36= [0,0,1,0,1,0,1,ε(0;0),0(-1;2),10(1;2),0(0;0)]，

M37= [0,0,1,0,1,0,1,0(0;0),0(0;0),10(0;0),0(0;0)]，

M38= [0,0,1,0,1,0,1,0(0;0),0(0;0),10(0;0),0(0;0)]。

生成的LHPN可達(dá)性圖用于顯示系統(tǒng)離散狀態(tài)以及連續(xù)狀態(tài)。此外，決策點(diǎn)上所有可能選擇均被列出。通過(guò)對(duì)不同的決策方式下產(chǎn)生的狀態(tài)標(biāo)識(shí)進(jìn)行分析比較，決策者可以選擇最佳的操作方案。

LHPN模型在連續(xù)庫(kù)所添加了SP，與文獻(xiàn)[16]中HPN模型相比，系統(tǒng)狀態(tài)得到更加準(zhǔn)確的描述，所有連續(xù)動(dòng)態(tài)的變化趨勢(shì)均被量化且列出。對(duì)比文獻(xiàn)中的HPN模型的系統(tǒng)可達(dá)圖，根據(jù)LHPN模型得到的系統(tǒng)可達(dá)圖能夠更加詳盡地描述系統(tǒng)各狀態(tài)下連續(xù)庫(kù)所對(duì)應(yīng)行為的變化趨勢(shì)。例如M19= [0,1,0,0,1,1,0,0(0;0),2(1;4)/(0.5;4),8(-1;4)/(-0.5;4),ε(0;4)]，由于M19→M22和M19→M25為兩種不同的操作方案，不僅會(huì)生成不同的狀態(tài)標(biāo)識(shí)，且相應(yīng)連續(xù)庫(kù)所會(huì)產(chǎn)生不同的變化趨勢(shì)，這些都在M19中得到準(zhǔn)確描述。

3.5 標(biāo)識(shí)求解方程

根據(jù)定義7的LHPN的標(biāo)識(shí)求解方程，可以求取系統(tǒng)當(dāng)前狀態(tài)標(biāo)識(shí)經(jīng)過(guò)一定操作及連續(xù)運(yùn)行之后的系統(tǒng)狀態(tài)標(biāo)識(shí)。當(dāng)確定操作方案后，即確定了引發(fā)序列，可直接根據(jù)?s= ?0+Wσ，對(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)標(biāo)識(shí)進(jìn)行求解。雖然該方程無(wú)法對(duì)連續(xù)庫(kù)所對(duì)應(yīng)的SP進(jìn)行求解，但能夠快速求得系統(tǒng)標(biāo)識(shí)中各部分的token數(shù)量。與根據(jù)變遷引發(fā)規(guī)則一步步求解的方法相比，能夠有效提高運(yùn)算效率。以定義7中例子可見(jiàn)，在計(jì)算之前根據(jù)算法1、2、3確定Pre、Post、A-和A+，并據(jù)此求出修正矩陣。狀態(tài)標(biāo)識(shí)求解時(shí)只需根據(jù)?s=?0+Wσ直接得出。而根據(jù)變遷引發(fā)規(guī)則需要計(jì)算兩次離散變遷和兩次連續(xù)變遷引發(fā)結(jié)果，運(yùn)算較為復(fù)雜。通過(guò)LHPN的標(biāo)識(shí)求解方程可對(duì)求得的標(biāo)識(shí)可達(dá)圖進(jìn)行驗(yàn)證，經(jīng)計(jì)算驗(yàn)證，圖3所示標(biāo)識(shí)可達(dá)圖為正確的。

4 結(jié)論

在擴(kuò)展邏輯Petri網(wǎng)定義的基礎(chǔ)上，提出邏輯混合Petri網(wǎng)概念用于建模和分析混合系統(tǒng)。擴(kuò)展邏輯表達(dá)式的定義，提出一種確定連續(xù)庫(kù)所邏輯值的方法，使LHPN可以應(yīng)用到混合系統(tǒng)建模中。在邏輯輸出中引入修正函數(shù)，解決了LPN輸出的不確定性表達(dá)問(wèn)題，并提出LHPN的標(biāo)識(shí)求解方程。在連續(xù)庫(kù)所上加入連續(xù)變化速度和時(shí)間，提出相應(yīng)的求解算法，較HPN能夠更加詳盡地描述系統(tǒng)各狀態(tài)下連續(xù)庫(kù)所對(duì)應(yīng)動(dòng)態(tài)行為。LHPN能夠?qū)旌舷到y(tǒng)的離散事件和單變量連續(xù)行為進(jìn)行準(zhǔn)確描述和分析，并能對(duì)離散事件與連續(xù)行為之間的業(yè)務(wù)邏輯進(jìn)行挖掘。以一個(gè)微電網(wǎng)系統(tǒng)為例，構(gòu)建LHPN模型，對(duì)系統(tǒng)業(yè)務(wù)邏輯進(jìn)行挖掘分析，驗(yàn)證了模型的可行性和有效性。通過(guò)系統(tǒng)可達(dá)圖計(jì)算驗(yàn)證了方法的可靠性。實(shí)例證明該模型能夠有效地對(duì)微電網(wǎng)系統(tǒng)進(jìn)行建模和分析。將此建模方法用于混合系統(tǒng)的最優(yōu)控制和決策有待進(jìn)一步研究。此外，此建模方法僅適用于單變量連續(xù)系統(tǒng)，而對(duì)于多變量連續(xù)系統(tǒng)需要進(jìn)一步研究。