基于分?jǐn)?shù)階季節(jié)性灰色模型的交通流預(yù)測

沈琴琴，張智杰，齊緒存，岳心怡

（1.南通大學(xué)杏林學(xué)院，江蘇 南通 226236；2.南通大學(xué) 交通與土木工程學(xué)院，江蘇 南通 226019）

交通擁堵已成為城市發(fā)展的瓶頸，智能交通系統(tǒng)作為緩解交通擁堵的有力手段受到了廣泛關(guān)注。準(zhǔn)確、實時的交通流預(yù)測是該系統(tǒng)高效運(yùn)行的關(guān)鍵[1-3]。交通流是指在單位時間內(nèi)，通過道路某一段面的交通實體數(shù)。根據(jù)時間間隔的劃分，交通流可分為長時、中長時和短時，一般將5～30 min 的交通流稱為短時交通流。由于城市路網(wǎng)之間的高度時空融合特征和人類出行行為的不規(guī)律性，導(dǎo)致短時交通流數(shù)據(jù)通常具有很強(qiáng)的隨機(jī)性、非線性、季節(jié)性等特征，給這類問題的高精度擬合和預(yù)測帶來很大的挑戰(zhàn)[4-10]。針對這些特征，肖新平等[11]將文獻(xiàn)[12]中提出的截斷累加生成長子引入到城市道路短時交通流的預(yù)測中，并結(jié)合灰色建模的思想，提出了一類季節(jié)性滾動GM（1，1）模型（seasonal rolling grey model，SRGM（1，1））。研究表明，該算子能有效地弱化短時交通流數(shù)據(jù)的隨機(jī)性和季節(jié)性特征，且新的季節(jié)性GM（1，1）模型比季節(jié)性離散GM（1，1）模型（seasonal discrete grey model，SDGM（1，1））、小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、自回歸滑動平均等模型的預(yù)測精度更高。沈琴琴等[13]在此基礎(chǔ)上提出了一類基于復(fù)化Simpson 公式的季節(jié)性灰色Fourier 模型，進(jìn)一步提高了模型的精度和適用性。吳利豐等[14-15]基于新信息優(yōu)先的原則，提出了分?jǐn)?shù)階累加生成方式，并結(jié)合灰色建模技術(shù)提出了分?jǐn)?shù)階GM（1，1）模型（fractional grey model，F(xiàn)GM（1，1））、自適應(yīng)智能分?jǐn)?shù)階GM（1，1）模型、加權(quán)分?jǐn)?shù)階模型等[16-18]，極大地提高了灰色預(yù)測模型的精度。

本文提出了一種新的分?jǐn)?shù)階季節(jié)性GM（1，1）模型（fractional seasonal grey model，F(xiàn)SGM（1，1））。該模型首先對交通流數(shù)據(jù)進(jìn)行分?jǐn)?shù)階截斷生成累加以弱化數(shù)據(jù)的季節(jié)性和隨機(jī)性；然后，采用GM（1，1）模型的思想進(jìn)行建模，并運(yùn)用粒子群優(yōu)化算法來尋求最佳階數(shù)以獲得最優(yōu)預(yù)測精度；最后，將新的模型應(yīng)用于江蘇省南通市一組城市道路短時交通流數(shù)據(jù)進(jìn)行模擬仿真，數(shù)值結(jié)果表明新模型比SRGM（1，1）、FGM（1，1）和SDGM（1，1）具有更高的精度，適用于實際問題的計算。

1 分?jǐn)?shù)階截斷累加生成算子

設(shè)一組具有季節(jié)性波動（周期為q）的非負(fù)原始序列為

首先根據(jù)季節(jié)性波動的周期q 對其截斷累加，得到截斷累加生成序列

2 分?jǐn)?shù)階季節(jié)性GM（1，1）模型

本節(jié)給出FSGM（1，1）模型的建模過程，最優(yōu)階數(shù)的確定及模型步驟。

2.1 FSGM（1，1）模型的建立

定義1設(shè)非負(fù)原始序列為

分?jǐn)?shù)階截斷累加生成后序列為

如式（1），其均值生成序列為

其中

FSGM（1，1）模型的白化微分方程定義為

其離散方程為

其中參數(shù)a，b 分別為發(fā)展系數(shù)和灰作用量，可由最小二乘法求得

以（1，y（0）（1））為初始條件，根據(jù)微分方程（2）的解可得FSGM（1，1）模型的時間響應(yīng)式

對式（4）得到的序列進(jìn)行分?jǐn)?shù)階累減，可得

進(jìn)而截斷累減還原得到原始數(shù)據(jù)預(yù)測值為

2.2 粒子群優(yōu)化算法確定最優(yōu)階數(shù)

分?jǐn)?shù)階累加參數(shù)r 不僅能有效地體現(xiàn)新信息優(yōu)先原則，還能極大地提高模型的擬合和預(yù)測精度。為了確定最優(yōu)階數(shù)r，本文采用了具有普適性的粒子群優(yōu)化算法，并取擬合數(shù)據(jù)的平均絕對百分比誤差（mean absolute perenct error，MAPE）為適應(yīng)度函數(shù)

粒子群算法[19-20]從若干組隨機(jī)解出發(fā)采用一個適應(yīng)度函數(shù)來判斷各組解的優(yōu)劣，并通過不斷迭代得到適應(yīng)度更高的解，迭代結(jié)速后適應(yīng)度最高的解即為最優(yōu)解。粒子的位置和速度更新公式分別為

其中：ω，c1，c2為自定義常數(shù)；λ1，λ2是在[0，1]內(nèi)的隨機(jī)數(shù)；pBesti（t）表示粒子i 在第t 次迭代中的局部最優(yōu)解；gBest 是指粒子i 經(jīng)過前t 次迭代后得到的全局最優(yōu)解；Vi（t）為粒子i 在第t 次迭代時的速度（Vi（1）為任意實數(shù)）；Xi（t）為粒子i 在第t 次迭代時的位置，Xi（1）由r 的取值范圍確定

其中Pmin和Pmax分別是r 取值范圍的下限和上限。

本文中，選取ω=0.8，c1=c2=2。一共設(shè)置了50 組初始解，迭代次數(shù)設(shè)置為3 000。每次迭代都會產(chǎn)生一個局部最優(yōu)解pBest，即為該次迭代中的最優(yōu)累加次數(shù)。將其代入式（7）計算適應(yīng)度，當(dāng)?shù)陀趃Best 的適應(yīng)度時，用pBest 代替gBest，否則不變。直到迭代完成后，最終的gBest 即為所求分?jǐn)?shù)階r 的全局最優(yōu)解。圖1 給出了利用粒子群優(yōu)化算法確定最優(yōu)階數(shù)的流程圖。

圖1 粒子群算法確定最優(yōu)階數(shù)的流程圖Fig.1 Flowchart for determining the optimal order by PSO algorithm

2.3 模型步驟

FSGM（1，1）模型建立步驟如下：

步驟1根據(jù)原始序列x（0）的周期及分?jǐn)?shù)階r 的初始值，進(jìn)行截斷累加生成得到新序列y（r）；

步驟2通過最小乘算法得到式（3）中參數(shù)a，b，代入式（4）—（6）中計算得出擬合序列x^（0）；

步驟3采用粒子群算法以式（7）為適應(yīng)度函數(shù)求解出最優(yōu)累加次數(shù)；

步驟4重復(fù)步驟1、步驟2 得到預(yù)測序列。

3 實例分析

3.1 數(shù)據(jù)來源

案例選用江蘇省南通市鐘秀中路到北濠橋路口的東直行道路斷面2018 年8 月12 日至9 月1日上午7∶00—7∶30 一共21 d（3 周）的短時交通流數(shù)據(jù)，詳見表1。數(shù)據(jù)來源于南通市交巡警支隊。

表1 交通流數(shù)據(jù)Tab.1 Traffic flow data輛·30-1 min-1

3.2 預(yù)測結(jié)果分析

本文將原始序列中前14 組（前兩周）數(shù)據(jù)作為擬合數(shù)據(jù)分別代入SRGM（1，1）模型[12]，F(xiàn)GM（1，1）模型[14]，SDGM（1，1）模型[11]和本文提出的GSGM（1，1）模型求解出相應(yīng)參數(shù)，將求解出的參數(shù)代入各自的模型預(yù)測后7 d（最后一周）的數(shù)據(jù)。在模型計算中，截斷累加周期q 取7，取平均絕對百分比誤差（7）作為評價指標(biāo)。FGM（1，1）和FSGM（1，1）模型在計算中都需要確定最優(yōu)階數(shù)r，為保證兩種模型具有可比性，在確定r 時均采用粒子群算法，經(jīng)計算得到FGM（1，1）和FSGM（1，1）模型最優(yōu)階數(shù)r 分別為1.200 2 和1.142 2。在4 種模型中，僅有FGM（1，1）模型可以得到前7 組數(shù)據(jù)的擬合誤差，其他模型由于進(jìn)行了季節(jié)性累加，前7 組擬合數(shù)據(jù)均為精確值，因此4 種模型都只比較8～14 d 的擬合誤差，相應(yīng)結(jié)果見表2 及圖2。

圖2 原始數(shù)據(jù)與4 種模型的擬合與預(yù)測數(shù)據(jù)比較Fig.2 Comparison between the original data and the fitting and prediction data of four models

表2 4 種模型預(yù)測結(jié)果及誤差的比較Tab.2 Comparison of prediction results and errors of four models

由計算結(jié)果可知，本文提出的FSGM（1，1）模型的擬合誤差為8.126 0%，與其他3 組預(yù)測模型中最小擬合誤差17.642 0%相比，精度有了大幅度提高。在預(yù)測數(shù)據(jù)方面，F(xiàn)SGM（1，1）模型的預(yù)測誤差為7.621 6%，而其他3 種模型的預(yù)測誤差都在10%以上。由此可見，本文提出的FSGM（1，1）不僅在擬合數(shù)據(jù)上有很高的精度，而且在預(yù)測數(shù)據(jù)上同樣具有很高的預(yù)測精度，適用于實際問題計算。

為了說明分?jǐn)?shù)階累加參數(shù)對新模型擬合和預(yù)測精度的影響，圖3 給出了不同的分?jǐn)?shù)階累加參數(shù)r（0.1～1.3）和FSGM（1，1）模型擬合及預(yù)測精度之間的關(guān)系。特別地，當(dāng)r=1 時，F(xiàn)SGM（1，1）模型退化為已有的SGM（1，1）模型。從圖3 中可以看出，分?jǐn)?shù)階累加參數(shù)r 對新模型的擬合和預(yù)測誤差的影響十分明顯。選取合適的分?jǐn)?shù)階累加參數(shù)r，本文所提出的FSGM（1，1）預(yù)測模型不僅能提高擬合精度，還能較精確地預(yù)測下一階段的交通流量。

圖3 分?jǐn)?shù)階階數(shù)與擬合誤差、預(yù)測誤差關(guān)系圖Fig.3 Relation diagram of fractional order,fitting error and prediction error

4 結(jié)論

本文利用城市道路某一段面交通流數(shù)據(jù)在以周為單位變化時呈現(xiàn)出明顯的周期性特征，從數(shù)據(jù)預(yù)處理的角度和灰色建模技術(shù)的信息優(yōu)先原則，首先提出了一種季節(jié)性截斷累加生成算子，并利用GM（1，1）預(yù)測模型的思想，提出了一種新的分?jǐn)?shù)階季節(jié)性GM（1，1）模型，給出了預(yù)測模型的計算公式，并采用粒子群優(yōu)化算法確定出最佳分?jǐn)?shù)階累加參數(shù)。通過實例比較分析，本文提出的分?jǐn)?shù)階季節(jié)性GM（1，1）模型在城市道路短時交通流預(yù)測中具有較高的精度，值得在實際交通流預(yù)測中加以應(yīng)用。