井內(nèi)嵌入同軸多孔與固體圓柱地下水滲流流型分析

朱 琳，雷海燕，馬 非，戴傳山

（天津大學(xué)中低溫?zé)崮芨咝Ю媒逃恐攸c(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300350）

垂直于圓管外的繞流現(xiàn)象是自然界較普遍存在的流體力學(xué)現(xiàn)象之一，如卡門渦街。在多孔介質(zhì)滲流層內(nèi)垂直于圓管外的繞流問題也是石油鉆探、地下水開采[1]、地?zé)崮荛_發(fā)、流化床等許多工業(yè)領(lǐng)域經(jīng)常遇到的物理現(xiàn)象，如地?zé)峋才c熱儲層的耦合傳熱問題[2]，甚至在臨床醫(yī)學(xué)研究中也有相關(guān)的微血管外的間質(zhì)滲流研究[3]。在飽和多孔介質(zhì)內(nèi)嵌入物體，被嵌物體外的繞流、傳熱傳質(zhì)問題在很多工業(yè)應(yīng)用領(lǐng)域中有廣泛的應(yīng)用。針對多孔介質(zhì)內(nèi)嵌有簡單幾何形狀的物體結(jié)構(gòu)，若能獲得其物體外部的繞流與熱質(zhì)擴(kuò)散的問題的簡單表達(dá)形式的理論解析解，對指導(dǎo)類似結(jié)構(gòu)下的工業(yè)設(shè)計(jì)有重要的作用。

Pop等[4]首次獲得了考慮流體黏性耗散Brinkman模型圓柱外繞流的理論解析解。相對Pop等[4]研究的有滲流通過的多孔介質(zhì)內(nèi)嵌入圓柱的流場結(jié)構(gòu)而言，多孔介質(zhì)內(nèi)開挖有一圓形孔洞，且孔洞內(nèi)充滿純流體的空間結(jié)構(gòu)下的流場理論解析解獲得的比較早。Drost等[5]采用忽略慣性力僅考慮流體黏性力的Stokes流模型獲得了無限大多孔介質(zhì)內(nèi)有一圓形孔洞的流場理論解析解，得出孔內(nèi)平均流速與地層遠(yuǎn)端流速相比（即平均收斂因子）約等于2。Sano[6]進(jìn)一步分析了圓形孔洞的存在對周圍達(dá)西流的影響，得出在多孔介質(zhì)滲透系數(shù)較低情況下，孔洞圓心處速度約是遠(yuǎn)端地層滲流速度的3倍等重要結(jié)論。這一結(jié)論隨后得到了Momii等[7]在實(shí)驗(yàn)室內(nèi)基于激光多普勒方法進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。Raja等[8?10]進(jìn)一步推導(dǎo)了有均勻滲流通過的不同滲透系數(shù)下多孔介質(zhì)層內(nèi)有一規(guī)則或微變形的圓形孔洞或球形孔洞結(jié)構(gòu)下的流場內(nèi)流體速度（即收斂因子α）分布理論解。

Li等[11]針對一種相對前人研究更為復(fù)雜的有滲流通過的無限大多孔介質(zhì)內(nèi)嵌一固體圓柱，且圓柱外包裹有水環(huán)的幾何結(jié)構(gòu)下的各區(qū)域流型結(jié)構(gòu)進(jìn)行了研究，其研究目的是獲取多孔介質(zhì)內(nèi)嵌入細(xì)長吸收碳纖維捕捉流體內(nèi)膠體顆粒物的機(jī)理。Sekhar[12]將流體環(huán)內(nèi)固體替換為多孔介質(zhì)，得出該幾何結(jié)構(gòu)下的流動(dòng)問題理論解，分析了內(nèi)、外多孔介質(zhì)在不同滲流系數(shù)情況下，整體多孔介質(zhì)表現(xiàn)出的宏觀平均水文特征、局部速度分布以及流動(dòng)阻力特性。

前人研究結(jié)果表明，有均勻滲流通過的多孔介質(zhì)內(nèi)嵌入固體圓柱、多孔層、有水環(huán)或無水環(huán)等復(fù)雜幾何結(jié)構(gòu)下流場的理論解析研究文獻(xiàn)并不多見，應(yīng)用領(lǐng)域或研究目的卻比較廣泛，如復(fù)合材料封井、井內(nèi)流速觀測[13]、控制污染物在地下水和土壤中的擴(kuò)散[14]等。值得注意的是，前人最多只對3層結(jié)構(gòu)，即無限大多孔介質(zhì)-水環(huán)-環(huán)狀多孔層/圓形固體進(jìn)行了研究。本文借鑒以往的研究方法，對有滲流通過的無限大多孔介質(zhì)流場內(nèi)嵌入固體圓柱，且圓柱外部順序包裹有多孔介質(zhì)環(huán)、純流體環(huán)的復(fù)雜幾何結(jié)構(gòu)下的流場速度解析解進(jìn)行了理論分析，著重研究了不同滲透系數(shù)下的內(nèi)外多孔介質(zhì)、水環(huán)間隙情況等對圓柱外繞流流型以及縱橫界面上的速度分布的影響規(guī)律。由于地下水滲流速度較小，以往研究中常不考慮由彌散效應(yīng)引起的黏度系數(shù)的變化，即多孔介質(zhì)內(nèi)黏度系數(shù)與純流體內(nèi)的黏度系數(shù)視為相同[15]。此外，在井筒附近的地下水滲流可能會產(chǎn)生顆粒的沉積堵塞[16]，但本研究忽略這一影響，認(rèn)為局部滲透系數(shù)不變。本文研究結(jié)果對類似結(jié)構(gòu)下的地埋管套管換熱器、地下水污染物吸收裝置設(shè)計(jì)、地下水測速裝置研發(fā)等有一定的理論指導(dǎo)意義。

1 物理模型的建立與求解方法

考慮無限大2D均質(zhì)多孔介質(zhì)（Pe）內(nèi)有單向滲流，垂直井筒內(nèi)另嵌入同軸均質(zhì)多孔介質(zhì)（Pi）與固體圓柱（S），在內(nèi)外多孔介質(zhì)之間有開放水環(huán)（Wen）的情況，假設(shè)多孔介質(zhì)均為各向同性材料：滲透系數(shù)為ke的無限大多孔介質(zhì)內(nèi)有黏性流體穩(wěn)定通過，繞過井中一包裹有滲透系數(shù)為ki的多孔層且半徑為r0的圓形固體（圖1）。水環(huán)區(qū)域（λ1r0

圖1 物理模型示意圖Fig.1 Schematic diagram of the physical model.

水環(huán)內(nèi)、外多孔介質(zhì)區(qū)由Brinkman方程[18]和連續(xù)性方程控制：

式中：μeあ—多孔介質(zhì)內(nèi)流體有效黏度系數(shù)；

μen—水環(huán)內(nèi)純流體黏度系數(shù)，μeあ=μen=μ；

en—水環(huán)；

l=i、e—內(nèi)部、外無限大多孔介質(zhì)區(qū)。

速度矢量（V）、橫縱坐標(biāo)（x、y）、各點(diǎn)到固體圓柱圓心半徑（r）和壓力（P），進(jìn)行無量綱化：

式中：U∞—無限遠(yuǎn)處的流速大小。

水環(huán)區(qū)控制式（1）（2）無量綱化：

多孔區(qū)控制式（3）～（4）無量綱化：

式中：χ2—滲透性能，χ2=r20/k。

由速度分量和剪切應(yīng)力（T）的連續(xù)性[19?20]，得到邊界條件（每個(gè)邊界條件都可以分解為切向和法向，切向剪切應(yīng)力包含壓力P）：

引入極坐標(biāo)系下的流函數(shù)（ψ）：

式中：θ—速度分量Vθ與橫坐標(biāo)軸x夾角。

式（6）—（8）簡化為：

結(jié)合無窮遠(yuǎn)處均勻流動(dòng)條件ψe∞→?rsinθ，各區(qū)域式（13）（14）的解為：

式中：I1—第一類修正一階貝塞爾函數(shù)；

K1—第二類修正一階貝塞爾函數(shù)。

其中系數(shù)A、B、C、D、E、F、G、H、M、N可由式（9）—（11）確定。

值得注意的是，若r0→0，解的形式與Sekhar[12]一致：

此外，若r0→0,λ1→0，解的形式為：

笛卡爾坐標(biāo)系下的流速U：

2 方法驗(yàn)證

為了驗(yàn)證計(jì)算方法的正確性，本文以Raja等[8]的計(jì)算模型為例，進(jìn)行了程序正確性驗(yàn)證，該模型中包括純流體孔洞部分的Stokes流模型以及外部多孔介質(zhì)部分流動(dòng)的Brinkman模型。輸入?yún)?shù)與文獻(xiàn)[8]一致，結(jié)果見圖2。

圖2 χe變化下縱向中心剖面（Y=0），橫向中心剖面（X=0）無量綱速度分布圖Fig.2 Dimensionless velocity distribution map of the longitudinal center profile（Y=0） and the lateral center profile（X=0） under the changes of χe

該計(jì)算模型對應(yīng)于無限大多孔介質(zhì)內(nèi)有一孔洞的情況，即r0→0,λ1→0。其中，橫縱坐標(biāo)無量綱化：χe變化下經(jīng)過圓心的縱、橫剖面速度分布見圖2。值得注意的是，無量綱化特征長度為孔洞半徑r0c=λ2r0。隨著χe的增加（滲透系數(shù)變小），孔洞的存在感變強(qiáng)，中心流速與遠(yuǎn)端流速比值αc變大到3，若χe為0（滲透系數(shù)極大），則αc→1。本文結(jié)果與Raja等[8]研究結(jié)果符合非常好。

3 多層結(jié)構(gòu)計(jì)算結(jié)果

在方法驗(yàn)證的基礎(chǔ)上，對圖1所示的多層結(jié)構(gòu)模型進(jìn)行理論求解。由于影響參數(shù)比較多，僅對不同半徑、以及內(nèi)外滲透系數(shù)變化情況下的流型結(jié)構(gòu)求解。計(jì)算工況見表1。值得注意的是，為了更清晰地表示外部尺寸固定（即λ1/λ2為定值）情況下，內(nèi)部圓柱尺寸的變化對于流場的影響，此處給出的r0是一組以r0=r02為標(biāo)準(zhǔn)的假設(shè)值（流場的變化只與λ1、λ2、χi、χe有關(guān)）。同理，整個(gè)流場均如式（5）所述，計(jì)算過程中使用相應(yīng)的r0進(jìn)行參數(shù)的無量綱化為了更加直觀地看出不同參數(shù)的影響，在計(jì)算結(jié)果的整理中，橫縱中心剖面坐標(biāo)軸的無量綱化均以r02半徑為準(zhǔn)：

表1 不同工況的計(jì)算參數(shù)Table 1 Summary of calculation conditions under different parameters.

3.1 固體圓柱半徑大小r0對流型結(jié)構(gòu)的影響

圖3（a）（b）可以看出，固體半徑r0的變化對水環(huán)外的多孔區(qū)幾乎沒有影響。但隨著r0增大，水環(huán)內(nèi)流速峰值變高，這是由于流體經(jīng)過包裹有多孔層的固體結(jié)構(gòu)時(shí)流動(dòng)阻力變大（圖4）。此外，r0變大，固體圓柱在多孔介質(zhì)層中對流體的影響半徑增大，逐漸呈繞流趨勢，如圖5（a）（b）。更進(jìn)一步地，水環(huán)內(nèi)的多孔區(qū)縱向剖面的平均流速值變小，橫向剖面上的速度變大。這是因?yàn)樵搮^(qū)域內(nèi)部阻力變大，流入的流量越來越少，但繞流增加了橫向剖面上的流速。另外，在r0極大的情況下（工況3），多孔層內(nèi)流速急速下降到0，這是由于極薄多孔層對流場沒有太大影響，如圖6（a）。

圖3 縱向、橫向中心剖面無量綱速度分布圖Fig.3 Dimensionless velocity distribution map of the longitudinal center profile and the lateral center profile

圖4 典型工況下的壓力云圖（工況2）Fig.4 Pressure contours under typical working condition 2

圖5 典型工況下的流線圖Fig.5 Streamline diagram under the typical working conditions

以工況2為對比工況，分別研究參數(shù)λ1、λ2、χi、χe的變化對流型結(jié)構(gòu)的影響。此外，由于繞流，流體在水環(huán)內(nèi)橫向剖面上的流速變化更為明顯，因此水環(huán)內(nèi) 流型變化主要用該剖面上的流速峰值分析。

3.2 λ1變化對流型結(jié)構(gòu)的影響

圖3（c）（d）為λ1變化下的中心剖面無量綱速度分布圖。λ1的變化對水環(huán)外的多孔區(qū)（下文簡稱外多孔區(qū)）幾乎沒有影響。但是，隨著λ1變小，水環(huán)內(nèi)流速峰值先變高后變低，這是由于縫隙變大，進(jìn)而剖面上速度分布展寬變大。即進(jìn)入水環(huán)內(nèi)多孔區(qū)（下文簡稱內(nèi)多孔區(qū)）的流體變少，而水環(huán)內(nèi)流量增加流速變大，直至流體幾乎不通過內(nèi)多孔區(qū)（工況5），見圖6（b），且過程中隨著展寬變大，水環(huán)內(nèi)流量分配空間變大導(dǎo)致其流速峰值逐漸降低。類似地，由于縫隙變大，內(nèi)多孔區(qū)阻力相對水環(huán)阻力變大，該區(qū)域流量降低流速變小，因此流場也更容易平穩(wěn)。同時(shí)，λ1的減小會使內(nèi)多孔層中的繞流效果相對增強(qiáng)，因此該區(qū)域流型平穩(wěn)程度要耦合區(qū)域內(nèi)流量大小和圓柱外繞流強(qiáng)度兩種因素。

圖6 典型工況下的速度云圖Fig.6 Speed contours under the typical working conditions

3.3 λ2變化對流型結(jié)構(gòu)的影響

圖3（e）（f）為λ2變化下的中心剖面無量綱速度分布圖。當(dāng)λ2很大時(shí)，縫隙很大，極少流體流入內(nèi)多孔區(qū)（工況6）。隨著λ2的增大，水環(huán)內(nèi)流速峰值先升高后降低，這是由于縫隙變大流速分布展寬變大，流體越來越少地進(jìn)入內(nèi)多孔層且水環(huán)內(nèi)流量分配空間變大導(dǎo)致的。由于內(nèi)多孔區(qū)阻力相對水環(huán)阻力增大，該區(qū)域平均流速成倍降低且流型變化趨勢更平穩(wěn)。λ2減小，意味著整個(gè)障礙物尺寸相對減小，因此，外部多孔介質(zhì)區(qū)的流型會更加平緩。

3.4 χi變化對流型結(jié)構(gòu)的影響

圖3（g）（h）為χi變化下的中心剖面無量綱速度分布圖。χi的變化對外多孔區(qū)的流場幾乎沒有影響。但是，當(dāng)χi極大時(shí)，流體幾乎不進(jìn)入內(nèi)多孔區(qū)。隨著χi的減小，水環(huán)內(nèi)流速峰值降低。這是因?yàn)閮?nèi)多孔區(qū)滲透性加強(qiáng)，內(nèi)多孔層阻力相對水環(huán)阻力變小，內(nèi)多孔區(qū)流量變大水環(huán)內(nèi)流量減小。同理，內(nèi)多孔區(qū)橫向和縱向剖面流速均相應(yīng)變大，且變化明顯。當(dāng)內(nèi)多孔區(qū)滲透系數(shù)極大時(shí)（工況9），見圖6（c），水環(huán)與內(nèi)多孔層之間的速度階躍消失，出現(xiàn)“穿透”現(xiàn)象，這是因?yàn)閮?nèi)多孔層阻力與水環(huán)阻力同量級。

3.5 χe變化對流型結(jié)構(gòu)的影響

圖3（i）（j）為χe變化下的中心剖面無量綱速度分布圖。隨著χe變小水環(huán)峰值降低，內(nèi)多孔區(qū)流速越低流型越平緩，但外多孔區(qū)流速增大。這是由于內(nèi)外多孔區(qū)滲透系數(shù)差變小，整體結(jié)構(gòu)流型過渡更為平緩，水環(huán)內(nèi)的加速效應(yīng)相應(yīng)減弱，內(nèi)多孔區(qū)的流速相應(yīng)降低。χe≤10時(shí)外多孔區(qū)流速變化趨勢與χe較大時(shí)相反，這是由于與流體向水環(huán)內(nèi)的滲透作用相比，水環(huán)外的繞流作用占了主導(dǎo)地位，見圖5（c），流體極少進(jìn)入內(nèi)多孔區(qū)。

4 結(jié)論

（1）水環(huán)內(nèi)部參數(shù)如r0、λ1、χi的變化對外層多孔介質(zhì)區(qū)影響很??；水環(huán)直徑的減小會使外部流型更為平穩(wěn)；水環(huán)外部流型主要受控于外部滲透系數(shù)，但由于障礙物的存在，滲透系數(shù)對外部流型的影響是非單調(diào)的函數(shù)。

（2）橫向剖面上水環(huán)內(nèi)的速度變化較大，固體圓柱r0減小，水環(huán)內(nèi)峰值增加。內(nèi)部與外部滲透系數(shù)同時(shí)增大，水環(huán)內(nèi)加速效應(yīng)減弱。水環(huán)間隙對水環(huán)內(nèi)流速峰值影響較大。

（3）研究發(fā)現(xiàn)內(nèi)部滲透系數(shù)增加到某一臨界值情況下會出現(xiàn)“穿透”現(xiàn)象，橫向速度剖面從階梯形變?yōu)閽佄锞€形。