考慮多種交通方式的高速鐵路 列車開行方案優(yōu)化研究

董樂謙，張 琦

（北京交通大學 交通運輸學院，北京 100044)

0 引言

隨著市場化改革的不斷深入，各種交通方式之間的競爭越來越激烈。2016年起，我國高速鐵路動車組列車一、二等座票價已實行鐵路運輸企業(yè)依據(jù)價格法律法規(guī)自主制定，但相較于民航等交通方式仍有待提升靈活性和競爭力。列車開行方案是連接客流分配與制定列車時刻表的橋梁，一般包括列車的運行區(qū)段、開行頻率、停站方案以及編組計劃等內(nèi)容。列車開行方案編制的優(yōu)劣直接影響到高速鐵路在旅客運輸市場的競爭力與收益情況。因此，深入研究在運輸市場中其他交通方式影響下，差異定價與高速鐵路列車開行方案的聯(lián)合優(yōu)化問題，對于提高高速鐵路在旅客運輸市場的競爭力及效益具有積極意義。

列車開行方案問題在國內(nèi)外已經(jīng)得到了深入的研究。陳家兵[1]等采用動態(tài)定價的方法研究城際旅客的出行方便度以及城際鐵路運輸效益，構(gòu)建列車開行方案與席位定價聯(lián)合優(yōu)化的雙目標混合整數(shù)模型。大多數(shù)學者在對開行方案優(yōu)化時采用雙層規(guī)劃模型，通過考慮列車總運行成本、旅客總旅行時間、流失客流數(shù)量以及列車開行數(shù)量等因素來對開行方案進行優(yōu)化[2-4]。Yushi[5]從航空公司、高速鐵路運營企業(yè)及社會總福利的角度出發(fā)，基于博弈論的思想，構(gòu)建雙層規(guī)劃模型決策高速鐵路開行頻率，該模型包含了2段博弈，第一階段使社會福利最大化，第二階段使高速鐵路運營企業(yè)和航空公司的利潤最大化。還有學者通過構(gòu)建更加合理的列車開行方案備選集來降低求解規(guī)模[6-7]。李文卿[8]對運輸市場中各種交通方式之間的關(guān)系進行了深入研究并提出了綜合換乘網(wǎng)絡，該網(wǎng)絡可以較為全面的刻畫旅客在運輸市場中的出行選擇行為，并在此基礎上運用博弈論建立了列車開行方案雙層規(guī)劃模型來對其進行優(yōu)化。目前，尚未有在考慮其他交通方式的影響下，對列車開行方案與基于差異定價的客流分配聯(lián)合優(yōu)化的深入研究。為此，有必要在傳統(tǒng)開行方案優(yōu)化的基礎上，考慮其他交通方式影響并引入差異定價思想，構(gòu)建與客流分配聯(lián)合優(yōu)化的雙層規(guī)劃模型，同時選取京滬高速鐵路進行實例分析。

1 基于差異定價的隨機用戶均衡分配(SUE)策略

1.1 旅客出行服務網(wǎng)絡構(gòu)建

旅客出行服務網(wǎng)絡是在時空維度上實現(xiàn)客流分配的基礎，在進行客流分配之前，首先需要構(gòu)建旅客出行服務拓撲網(wǎng)絡。旅客出行服務網(wǎng)絡不僅包含物理意義層面的車站節(jié)點(包含機場、客運站以及鐵路旅客車站等，下同)，還包括時間層面上的到站節(jié)點、出站節(jié)點等虛擬節(jié)點類型。同時，不同節(jié)點之間相連構(gòu)成不同意義的弧段信息，包括旅客上下車弧段、旅客換乘弧段、交通工具的運行弧段以及停站等候弧段等。由于各OD間存在多種交通方式，針對不同的出行需求，旅客會在所有出行路徑中選擇最適合自己的路徑完成出行。旅客出行服務拓撲網(wǎng)絡如圖1所示。

圖1 旅客出行服務拓撲網(wǎng)絡Fig.1 Topological network of passenger travel service

為此，對旅客出行服務拓撲網(wǎng)絡G(N，Ar，L)進行如下描述：N表示服務網(wǎng)絡中車站節(jié)點集合，令N= {typen，positionn，plann}，其中typen表示車站節(jié)點的類型，包括車站節(jié)點、出站節(jié)點以及到站節(jié)點；positionn表示車站的地理位置編號；plann表示交通工具運行方案線的編號。A表示服務網(wǎng)絡中弧段信息的編號，令A= {pvr，lvr，cr，capr，typer，pplanr，lplanr}，其中pvr表示弧段r的前續(xù)節(jié)點；lvr表示弧段r的后續(xù)節(jié)點；cr表示弧段r的廣義出行成本；capr表示弧段r的容量；typer表示弧段r的類型，包含乘車弧段、停站弧段、換乘弧段、上車弧段以及下車弧段；pplanr表示弧段r前續(xù)節(jié)點所屬交通工具運行方案的編號；lplanr表示弧段r后續(xù)節(jié)點所屬交通工具運行方案的編號?；《蝦的類型由該弧段所連接節(jié)點的類型確定。乘車弧段的前續(xù)節(jié)點和后續(xù)節(jié)點必須相同，即二者應當位于同一條交通工具運行方案線上；停站弧段的前續(xù)節(jié)點和后續(xù)節(jié)點的車站節(jié)點地理位置屬性及所屬運行方案線必須相同，即二者必須位于同一方案線上的同一車站；換乘弧段的前續(xù)節(jié)點和后續(xù)節(jié)點的車站節(jié)點地理位置屬性必須相同，但所屬運行方案線必須不同，即二者必須位于不同方案線上的同一車站；上車弧段的前續(xù)節(jié)點必須為車站節(jié)點，后續(xù)節(jié)點必須是與地理位置處于同一車站的出發(fā)節(jié)點；下車弧段的前續(xù)節(jié)點必須是到達節(jié)點，后續(xù)節(jié)點必須為與該到達節(jié)點地理位置相同的車站節(jié)點。L為一組0-1變量組成的向量，表示交通工具運行方案是否開行。

在構(gòu)建旅客出行服務網(wǎng)絡的基礎上，采用K短路算法來尋找各OD間的平行出行路徑并計算各路徑的廣義出行成本ch[9]。旅客在選擇出行路徑時的阻抗即為其廣義出行成本ch，由路徑的票價、旅行時間以及服務頻率所決定。

式中：t h表示OD對w中旅客選擇出行路徑h時對應的旅行時間，min；p h表示OD對w中旅客選擇出行路徑h時對應的票價，元；f h表示OD對w中旅客選擇出行路徑h時的服務頻率，列/d；α，β，γ分別為旅行時間、旅行票價以及路徑服務頻率所對應的權(quán)重系數(shù)。

1.2 基于差異定價的隨機用戶均衡分配(SUE)模型

在SUE模型中，假設出行者不能夠準確地估計出行阻抗，對實際的出行阻抗有一個理解誤差，即存在一個隨機誤差項。因此，出行者的路徑出行費用包含2個部分：實際的路徑出行費用ch和出行費用的隨機誤差ξh。出行者的路徑出行費用計算公式為

當路徑出行費用的隨機項服從獨立同分布的Gumbel分布時，可以得到多項式的Logit模型。此時，出行者的路徑出行費用是路徑流量Xh和實際路徑出行費用的函數(shù)，具體如下。

其中，離散參數(shù)θ反映了出行者對理解阻抗的聚合度量。

SUE的均衡條件可以表述為：在一個隨機用戶平衡的網(wǎng)絡中，沒有出行者可以通過單方面改變自己的路徑選擇來降低自己的廣義出行成本。為此，考慮弧段容量下的隨機用戶均衡分配模型[10]構(gòu)建如下。

式中：ta表示弧段a的廣義出行成本函數(shù)；Xh表示路徑h的流量；qw表示OD對w的總需求；xa表示弧段a的流量；δh表示選擇路徑h出行的概率；carmax表示弧段a的最大容量。

路徑選擇概率由logit模型求得。

每條路徑的票價是隨著弧段容量的變化而隨之改變的，其變化規(guī)則[9]如公式(7)所示。

式中：pGw,h表示OD對w中乘坐高速鐵路出行時路徑h的票價，元；表示OD對w中乘坐高速鐵路出行時路徑h的初始票價，元；表示弧段ar的票價改變量，元；πs表示票價變化時列車上座率，其中s=[1，2]，π1表示票價上升時的上座率，π2表示票價下降時的上座率；Ew,h表示OD對w的路徑h所包含的弧段集合；ρ與μ表示價格調(diào)控系數(shù)。

2 基于差異定價的SUE分配與列車開行方案聯(lián)合優(yōu)化模型

通過設計一個混合整數(shù)雙層規(guī)劃模型，以求解其他交通方式影響下，高速鐵路客流分配與列車開行方案聯(lián)合優(yōu)化問題。上層模型為列車開行方案優(yōu)化模型，下層模型為基于差異定價的SUE客流分配模型。其中，上層模型是在客流需求、列車開行方案備選集以及其他交通方式產(chǎn)品一定的情況下，生成列車開行區(qū)段、停站方案以及列車的開行頻率；下層模型是在上層模型所得到的開行方案的基礎上，通過構(gòu)建旅客出行服務拓撲網(wǎng)絡進行客流分配，并對所有路徑中選擇高速鐵路出行的不同路徑進行差異定價。下層模型得到的客流分配結(jié)果以及定價方案作為對開行方案的評判標準，反饋到上層模型，作為上層模型開行方案的優(yōu)化方向，來對上層開行方案結(jié)果進行更新，如此迭代至達到收斂條件，得到更加合理的列車開行方案、客流分配結(jié)果及各平行路徑定價方案。

該模型的假定條件為：①研究對象為本線列車，不涉及跨線列車且本線列車所采用的動車組型號、動車組運行速度及每列車的編組情況均相同；②為了簡化運算，在每一對OD中，僅考慮1種高速鐵路以外的交通方式；③在對OD的不同出行路徑進行差異定價時，僅考慮二等座席位。

2.1 模型簡介

模型中決策變量符號說明如表1所示。

表1 決策變量符號說明Tab.1 Symbol description of decision variables

上層開行方案優(yōu)化模型的目標函數(shù)為鐵路運營企業(yè)效益最大化；約束條件有區(qū)間能力約束、車站最低服務頻率約束、列車能力約束、OD需求約束以及服務頻率約束。模型具體如下。

式中：ZY為鐵路運營企業(yè)效益，元；CT為列車停站成本，元；nTk為k方案列車停站數(shù)量；TkY為k方案列車區(qū)間運行總時間，h；Cg為高速鐵路列車1 h固定運行成本；θkj為0-1變量，表示列車運行方案k與區(qū)間j的對應關(guān)系；δk i為0-1變量，表示列車運行方案k與車站i的對應關(guān)系；φj為區(qū)間j所允許的最大通過能力，列/d；φi為車站i所需的最小服務頻率，列/d；σarGw,h為0-1變量，表示OD對w的第h條路徑與弧段ar的對應關(guān)系；τk為列車運行方案k的列車定員，人；DGw為選擇高速鐵路出行的OD對w的總出行需求，人；η jGw為0-1變量，表示OD對w與線路區(qū)間j的對應關(guān)系。

下層基于差異定價的SUE客流分配模型的目標函數(shù)為旅客總出行成本最小；約束條件有OD間高速鐵路所分擔客流量約束、總客流量約束以及票價約束。其具體公式如下。

2.2 改進的粒子群算法

由于所建立模型為混合整數(shù)雙層規(guī)劃模型，難以求出精確解，因而使用啟發(fā)式算法對該模型進行求解。所使用的啟發(fā)式算法為改進的粒子群算法，該算法中還包含了K短路算法以及MSA算法。改進的粒子群算法主要步驟如下。

步驟1：輸入列車及其他交通方式開行方案的備選集、車站最低服務要求、區(qū)段最大通過能力客流需求、各OD初始票價等信息。

步驟2：根據(jù)備選集生成在所有方案僅開行1列的情況下所包含的服務節(jié)點、服務弧段以及弧段相關(guān)信息。

步驟3：初始化種群，設置種群規(guī)模為N，迭代最大步數(shù)為M，粒子編號n= 1，當前迭代步數(shù)m= 1。初始化種群的方法為：按照粒子中一半隨機生成一半精確求解得到的受約束的隨機初始化方法[9]生成N個初始開行方案。

步驟4：在粒子n所生成的開行方案下對步驟3中的弧段出行成本以及弧段容量信息進行更新。若某方案開行頻率為0，則該方案所對應的弧段出行成本為極大值，容量為0。

步驟5：K短路算法尋找當前開行方案下各OD的前K條最短路徑并計算其廣義出行費用。

步驟6：考慮弧段容量下基于差異定價的隨機用戶均衡分配策略進行客流分配并計算目標函數(shù)值及定價結(jié)果。其中用到MSA算法，其主要步驟如下。①初始化?；诋斍伴_行方案所計算得出的K短路情況下，利用公式(6)計算每條路徑被選擇的概率δh；②根據(jù)步驟①所得概率δh計算各路徑應分配流量X1，并計算各路徑弧段所分配的客流量，令n= 1，，β0= 1；③根據(jù)當前所得結(jié)果計算當前分配結(jié)果下各路徑新的廣義出行費用以及被選擇的概率δh，并計算各弧段的附加交通量；④計算可行的下降方向并進行判斷：如果d n的模大于d n-1的模，則β n=β n-1+η，否則β n=β n-1+γ，其中令η= 1.5，γ= 0.1；⑤確定迭代步長λn= 1 /β n，并更新路段流量x n+1=x n+λnd n；⑥進行收斂判斷d n的模是否小于ε，若滿足，則停止計算，并根據(jù)公式(7)計算各路徑最終票價，否則令n=n+1，返回步驟②。

步驟7：判斷n是否等于N，是則轉(zhuǎn)步驟8；否則n=n+1，轉(zhuǎn)步驟4。

步驟8：根據(jù)各個粒子對應開行方案的目標函數(shù)值，確定當前個體最優(yōu)pbest和種群最優(yōu)gbest。

步驟9：判斷迭代步數(shù)m是否小于M，是則令迭代步數(shù)m=m+1，并更新全部粒子，n=1，轉(zhuǎn)至步驟4；否則輸出當前情況下的最優(yōu)開行方案、客流分配結(jié)果及定價方案。

3 案例分析

通過選取2019年12月6日京滬高速鐵路區(qū)間下行方向(開行區(qū)段在北京南—上海虹橋以內(nèi)的所有列車)的實際列車開行方案以及售票情況作為對比來驗證并分析模型的有效性。其他交通方式客流數(shù)據(jù)通過參考中國民用航空總局各航線旅客數(shù)量以及相關(guān)客運網(wǎng)站得到。加入其他交通方式后會增加模型的求解規(guī)模，為了適當降低求解規(guī)模，從京滬高速鐵路24個車站中選取10個主要車站、共計45個OD進行研究。

為了更好地計算京滬高速鐵路線路上各OD旅客不同出行路徑的廣義出行成本，首先針對所選擇的數(shù)據(jù)情況，對公式(1)中的權(quán)重系數(shù)α，β，γ進行參數(shù)標定，所計算結(jié)果滿足顯著性檢驗的要求。旅客對旅行時間、票價以及路徑服務頻率的敏感度參數(shù)標定結(jié)果如表2所示。

表2 旅客對旅行時間、票價以及路徑服務頻率的敏感度 參數(shù)標定結(jié)果Tab.2 Calibration results of the sensitivity parameters of passengers to travel time, fares, and route service frequency

將同一交通方式內(nèi)服務相同的OD、具備相同停站方案的產(chǎn)品定義為一類產(chǎn)品，依據(jù)本案例中客流量與列車開行方案情況，整理得到包含38類高速鐵路產(chǎn)品和27類其他交通方式產(chǎn)品(18個OD對間無其他交通方式存在)的備選集。其中27類其他交通方式產(chǎn)品中包含大巴22類，民航5類。車站最低服務頻率如表3所示。其中，各車站最低服務頻率由各車站客流需求計算得到。通過能力上限φj所有區(qū)段均取值50列/d。

模型其余參數(shù)取值如表4所示。算法中粒子種群數(shù)量設置為10，迭代次數(shù)為500。其中，假設列車編組都為16輛編組，故列車定員設為1 190人；旅客時間價值由國民收入法計算得到；列車開行固定成本、停站成本、停站時間及換乘等待時間由查閱相關(guān)論文取值得到[9]；弧段成本變化客流量比例參數(shù)及價格調(diào)控系數(shù)參數(shù)的取值通過靈敏度分析的方法得到。

表3 車站最低服務頻率 列 / dTab.3 Minimum service frequency at stations

表4 模型其余參數(shù)取值Tab.4 Values of other parameters in the model

由以上輸入條件進行模型的計算，得到的高速鐵路列車開行方案編制結(jié)果(僅展示了高速鐵路列車的開行方案情況)如圖2所示。

圖2 高速鐵路列車開行方案編制結(jié)果Fig.2 Compilation results for the train operation diagrams on high speed railways

選取該方案中部分OD不同出行路徑的差異定價方案如表5所示。

差異定價方案顯示當OD旅行距離較短時，如北京—天津、蘇州—上海等OD對，競爭方式為大巴，K短路中各條平行出行路徑票價基本相同，即旅途較短時高速鐵路與大巴競爭，高速鐵路的競爭力更加明顯，為此可以增大該距離段高鐵開行頻率以分擔更多客流；隨著OD旅行距離的上升，高速鐵路票價與大巴票價差距開始增大，高速鐵路票價增幅較快，而大巴增幅較慢，二者的競爭態(tài)勢趨于明顯，此時結(jié)果顯示高速鐵路會產(chǎn)生差異定價來保持其競爭力，如徐州—南京及南京—上海等OD，K短路中各條平行出行路徑票價存在較為明顯的差異，調(diào)低客流較少路徑的票價，以提高其競爭力；當OD旅行距離為長途出行時，大巴喪失了競爭力，而民航與高鐵間競爭越來越激烈，并且在非節(jié)假日民航機票折扣較大，高速鐵路不具有明顯競爭力，票價浮動不太明顯，如北京—上海，在5條可行路徑中，第二條(k= 2)為民航出行，其余4條為高速鐵路出行，其票價差異較小，此時應當適當降低高速鐵路開行頻率來保持高速鐵路的上座率，以降低運營 成本。

將該開行方案的客流分擔情況及客票收入情況與真實數(shù)據(jù)進行對比。模型結(jié)果與實際情況對比如表6所示。

表6 模型結(jié)果與實際情況對比Tab.6 Comparison between model results and actual conditions

由表6可看出，模型所求出結(jié)果的列車總對數(shù)、停站次數(shù)與實際情況相差不大，但客流分擔比例、客票收入和上座率有一定幅度上升。其中，部分OD客流及列車服務頻率變化情況如表7所示。

表7 部分OD客流及列車服務頻率Tab.7 Passenger flow and train service frequency in some ODs

由表7可以得到，在航空較為占優(yōu)勢的區(qū)段，如北京—上海及天津—上海等，高速鐵路客流分擔率無明顯變化，故可以通過降低開行頻率來降低運營成本；在與大巴競爭較為激烈的區(qū)段，如濟南—上海、北京—滄州、蘇州—上海等區(qū)段，高速鐵路客流有一定幅度的增加，其服務頻率也隨之有小幅度上升。部分高速鐵路優(yōu)勢區(qū)段如北京—天津、北京—徐州等OD，其服務頻率有較大幅度提升，是因為模型在計算廣義出行費用時考慮了服務頻率的影響，即服務頻率越高，代表其越具有競爭力。通過對上述結(jié)果分析可知，研究所提出的開行方案優(yōu)化模型可以根據(jù)不同交通方式對高速鐵路旅客運輸所造成的不同影響，對列車開行方案的三要素及各條路徑票價同時進行優(yōu)化，為適應市場化環(huán)境下的高速鐵路開行方案編制提供參考。

4 結(jié)束語

列車開行方案是鐵路運輸組織的核心，在市場化的大環(huán)境下，需要在考慮其他交通方式的影響下對列車開行方案進行優(yōu)化，保持高速鐵路的競爭力并提高高速鐵路的運營效益。通過構(gòu)建考慮其他交通方式影響下高速鐵路列車開行方案優(yōu)化模型并提出基于差異定價的SUE客流分配策略，以調(diào)整高速鐵路列車在不同運距的OD間的服務頻率及對高速鐵路同一OD不同出行路徑進行差異定價來提高高速鐵路在旅客運輸市場中的競爭力及運營效益。