帶套齒聯(lián)軸器轉(zhuǎn)子穩(wěn)定性分析

王 彤 ，王 立 ，廖明夫

（1.西北工業(yè)大學(xué)動(dòng)力與能源學(xué)院，西安 710129；2.中國(guó)航發(fā)湖南動(dòng)力機(jī)械研究所，湖南株洲 412002）

0 引言

航空發(fā)動(dòng)機(jī)中、低壓轉(zhuǎn)子軸向跨度較長(zhǎng)，振動(dòng)及變形量較大，而套齒聯(lián)軸器可以減小低壓轉(zhuǎn)子的振動(dòng)、變形，減小低壓轉(zhuǎn)子對(duì)高壓轉(zhuǎn)子的影響，在航空發(fā)動(dòng)機(jī)上被廣泛采用。一般情況下，套齒連接結(jié)構(gòu)不會(huì)引起轉(zhuǎn)子系統(tǒng)失穩(wěn)，但是當(dāng)轉(zhuǎn)子軸發(fā)生彎曲變形或者不對(duì)中時(shí)，會(huì)影響套齒齒面的嚙合。此時(shí)套齒的內(nèi)外齒的接觸面容易發(fā)生相對(duì)滑移，又因?yàn)樘X傳遞的扭矩和齒面承受的正壓力均較大，當(dāng)齒面發(fā)生滑移時(shí)，齒面間較大的摩擦力作用在轉(zhuǎn)子系統(tǒng)上，會(huì)導(dǎo)致套齒齒面磨損，產(chǎn)生較大的振動(dòng)，影響航空發(fā)動(dòng)機(jī)的工作穩(wěn)定性，嚴(yán)重時(shí)會(huì)導(dǎo)致航空發(fā)動(dòng)機(jī)失穩(wěn)，發(fā)生故障，造成難以預(yù)估的損失。

Lees等[1]主要采用高階有限元單元法對(duì)剛性聯(lián)軸器的不對(duì)中問題進(jìn)行了研究分析；趙廣等[2-3]對(duì)花鍵聯(lián)軸器進(jìn)行了不對(duì)中嚙合力的研究，發(fā)現(xiàn)花鍵聯(lián)軸器的橫向嚙合剛度對(duì)轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)失穩(wěn)轉(zhuǎn)速影響不大，花鍵聯(lián)軸器不對(duì)中時(shí)對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的影響主要是以激起2 倍頻成分為特征，轉(zhuǎn)子的軸心軌跡會(huì)發(fā)生畸變；Xu 等[4]采用Hooke 法進(jìn)行鉸支座的力矩分解，將不對(duì)中等效為不對(duì)中彎矩，進(jìn)一步證實(shí)了聯(lián)軸器不對(duì)中系統(tǒng)的多階偶次倍頻響應(yīng)增大；Hussain 等[5]采用拉格朗日方程建立平行不對(duì)中的動(dòng)力學(xué)方程和2 跨對(duì)稱盤轉(zhuǎn)子剛性聯(lián)軸器斜對(duì)準(zhǔn)系統(tǒng)，發(fā)現(xiàn)失調(diào)效應(yīng)只反映在系統(tǒng)的勢(shì)能方程中，即改變系統(tǒng)的剛度矩陣；萬召等[6]將聯(lián)軸器不對(duì)中等效為附加在軸系上的力激勵(lì)，通過數(shù)值積分得到響應(yīng)分析結(jié)果：聯(lián)軸器不對(duì)中會(huì)激起倍頻；康麗霞等[7]研究表明，由于花鍵及其兩端支承表面處產(chǎn)生的摩擦而形成的內(nèi)阻尼是導(dǎo)致尾傳動(dòng)軸發(fā)生自激振動(dòng)的根源；Marmol等[8-10]研究表明，良好的聯(lián)軸器潤(rùn)滑或阻尼器可以有效避免由于齒式聯(lián)軸器齒面相互摩擦產(chǎn)生的轉(zhuǎn)子失穩(wěn)故障；顧家柳等[11-12]指出在超臨界工作狀態(tài)下，套齒聯(lián)軸器內(nèi)的摩擦力矩是維持和發(fā)展非協(xié)調(diào)進(jìn)動(dòng)的1 個(gè)不穩(wěn)定因素，其等效為作用于輪盤上的正進(jìn)動(dòng)力，因此促使葉輪作正進(jìn)動(dòng)；Ku 等[13]、Lund 等[14]研究表明，套齒之間的內(nèi)摩擦力是導(dǎo)致轉(zhuǎn)子非協(xié)調(diào)進(jìn)動(dòng)失穩(wěn)的主要原因，失穩(wěn)轉(zhuǎn)速高于1 階臨界，但失穩(wěn)頻率約等于1 階頻率。由于內(nèi)摩擦失穩(wěn)的機(jī)理多樣，并且與結(jié)構(gòu)密切相關(guān)，同時(shí)影響因素眾多。因此，到目前為止，套齒結(jié)構(gòu)次同步進(jìn)動(dòng)失穩(wěn)和振動(dòng)超標(biāo)及失穩(wěn)現(xiàn)象仍時(shí)有發(fā)生，嚴(yán)重時(shí)將會(huì)造成巨大的經(jīng)濟(jì)損失。

本文通過分析套齒結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，建立了套齒結(jié)構(gòu)內(nèi)阻尼模型，分析了帶套齒轉(zhuǎn)子失穩(wěn)特征及失穩(wěn)門檻。結(jié)論可為套齒結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)提供幫助。

1 套齒與花鍵結(jié)構(gòu)對(duì)比

套齒聯(lián)軸器（又稱航空花鍵）具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、便于安裝、可傳遞較大扭矩及軸向載荷等優(yōu)點(diǎn)，其與普通的地面花鍵聯(lián)軸器的異同見表1。

1.1 套齒聯(lián)軸器

套齒聯(lián)軸器結(jié)構(gòu)如圖1 所示。從圖中可見，渦輪轉(zhuǎn)子與風(fēng)扇轉(zhuǎn)子通過套齒連接傳遞扭矩，二者間主要靠A、B 2 個(gè)圓柱面定心，以保證低壓轉(zhuǎn)子在運(yùn)行工作中具有良好的對(duì)中性和運(yùn)轉(zhuǎn)平穩(wěn)。航空發(fā)動(dòng)機(jī)低壓軸上的軸向力通過左端的鎖緊螺母?jìng)鬟f；風(fēng)扇后支點(diǎn)軸承一般置于套齒位置，提供套齒連接的局部剛度；風(fēng)扇后軸的端頭一般為錐形，與裝在渦輪軸上的后錐體相配；后軸的內(nèi)面也做成錐形，與裝在渦輪軸頭上錐體相配；在套齒兩端采用錐面夾緊，以加強(qiáng)連接剛性。

圖1 套齒聯(lián)軸器

1.2 花鍵聯(lián)軸器

花鍵連接分為矩形花鍵連接（如圖2 所示）與漸開線花鍵連接（如圖3 所示），是周向均布多個(gè)鍵齒的花鍵軸和帶有相應(yīng)鍵齒槽的輪轂孔互壓傳遞轉(zhuǎn)矩的連接。與套齒聯(lián)軸器相比，花鍵聯(lián)軸器不具有傳遞軸向載荷的能力。花鍵鍵齒側(cè)面為工作面，可用于靜連接和動(dòng)連接。

圖2 矩形花鍵

圖3 漸開線花鍵

矩形花鍵聯(lián)軸器（圖2）的定心方式為小徑定心，即外花鍵和內(nèi)花鍵以小徑為配合面，大徑處有間隙。漸開線花鍵聯(lián)軸器（圖3）的齒廓為漸開線，靠齒形進(jìn)行定心，在內(nèi)、外花鍵的齒頂和齒根處都留有間隙。漸開線花鍵連接的花鍵齒的根部強(qiáng)度高，應(yīng)力集中小，適用于傳遞扭矩較大的場(chǎng)合。而且當(dāng)齒受載時(shí)，齒上的徑向力能起到自動(dòng)定心的作用，有利于各齒均勻承載，較之矩形花鍵聯(lián)軸器定位精度更高。

套齒聯(lián)軸器連接航空發(fā)動(dòng)機(jī)的風(fēng)扇軸和渦輪軸，進(jìn)行扭矩和軸向力的傳遞[15]。航空發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)由于部分零件變形、裝配不良、機(jī)匣和支撐等部件在受載、受熱應(yīng)力不均等情況下，可能會(huì)出現(xiàn)不對(duì)中現(xiàn)象，導(dǎo)致套齒的定位面磨損，從而定位面會(huì)出現(xiàn)間隙，而后齒嚙合處受力不均，會(huì)引起航空發(fā)動(dòng)機(jī)低壓轉(zhuǎn)子的振動(dòng)，嚴(yán)重時(shí)會(huì)引起轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的失穩(wěn)，導(dǎo)致航空發(fā)動(dòng)機(jī)發(fā)生故障，造成難以預(yù)估的危害。

花鍵聯(lián)軸器用于連接低轉(zhuǎn)速的轉(zhuǎn)軸，利用工作面的接觸與擠壓傳遞載荷與轉(zhuǎn)矩。由于裝配、長(zhǎng)時(shí)間工作或動(dòng)載荷引起工作面磨損等問題，導(dǎo)致花鍵聯(lián)軸器不對(duì)中，直接導(dǎo)致連接松動(dòng)，工作失效。因花鍵沒有定位面定心，當(dāng)出現(xiàn)不對(duì)中時(shí)，其可傳遞的載荷和扭矩將遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于預(yù)期的設(shè)計(jì)值，而且轉(zhuǎn)子不對(duì)中時(shí)，在花鍵連接處將出現(xiàn)較大的附加載荷，直接影響轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的安全性。

因此套齒聯(lián)軸器和花鍵聯(lián)軸器的不對(duì)中情況大致類似，但由于花鍵聯(lián)軸器不存在定位面定心，花鍵聯(lián)軸器出現(xiàn)不對(duì)中的概率更高，時(shí)間更短，對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性影響也更敏感，更容易造成轉(zhuǎn)子系統(tǒng)失穩(wěn)。

2 套齒結(jié)構(gòu)內(nèi)摩擦模型

轉(zhuǎn)子在受到外在不平衡力的作用下，出現(xiàn)不平衡和不對(duì)中的現(xiàn)象，套齒連接結(jié)構(gòu)也不再平衡，不再完美定心，即產(chǎn)生β角的不對(duì)中量。在轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運(yùn)作過程中，因不平衡力的存在，轉(zhuǎn)子將作同步正進(jìn)動(dòng)，此時(shí)，套齒的內(nèi)齒與外齒的相對(duì)位置以及配合狀況在運(yùn)轉(zhuǎn)過程中保持不變。當(dāng)轉(zhuǎn)子受到一個(gè)初始擾動(dòng)時(shí)，使得進(jìn)動(dòng)角速度不再等于轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速，此時(shí)套齒的外齒相對(duì)于套齒的內(nèi)齒而言，其位置是變化的，也就是說，套齒內(nèi)外鍵齒的齒面接觸長(zhǎng)度發(fā)生了變化，鍵齒的配合面之間就會(huì)產(chǎn)生相對(duì)滑動(dòng)。

套齒結(jié)構(gòu)內(nèi)摩擦失穩(wěn)如圖4 所示。從圖中可見，在or 左半邊周的花鍵齒始終趨于減短配合齒面接觸長(zhǎng)度，在or右半邊周的花鍵齒始終趨于增長(zhǎng)配合齒面接觸長(zhǎng)度。在or 的左半邊周內(nèi)齒齒面所受的摩擦力Ff的方向是指向外側(cè)的，而or 的右半邊周則相反，摩擦力Ff的方向是指向內(nèi)側(cè)的。這個(gè)力會(huì)促進(jìn)轉(zhuǎn)子的正進(jìn)動(dòng)，從而導(dǎo)致失穩(wěn)。

圖4 內(nèi)摩擦失穩(wěn)

由于齒面之間的內(nèi)摩擦力，套齒結(jié)構(gòu)在受變載荷時(shí)，應(yīng)力與應(yīng)變之間存在遲滯現(xiàn)象，如圖5 所示。以此為基礎(chǔ)，來推導(dǎo)內(nèi)摩擦力的表達(dá)式。

圖5 套齒結(jié)構(gòu)的遲滯曲線

套齒在非同步進(jìn)動(dòng)的過程中，每個(gè)齒在1 個(gè)周期內(nèi)所經(jīng)歷的運(yùn)動(dòng)雖然存在相位差，但是幅值和頻率一致，即每個(gè)齒在整個(gè)周期所消耗的能量相同。幅值由磨損間隙σ決定，頻率為

式中：Ω為轉(zhuǎn)子自轉(zhuǎn)角速度；ω為轉(zhuǎn)子公轉(zhuǎn)角速度。

則1個(gè)完整的遲滯曲線對(duì)應(yīng)的周期為

1個(gè)完整遲滯曲線，齒面摩擦消耗的功為

式中：μ為齒面摩擦系數(shù)；Mt為套齒傳遞的扭矩；rp為套齒節(jié)圓半徑；α為齒形壓力角。

在1 個(gè)進(jìn)動(dòng)周期2πω中，所消耗的能量按照線性比例近似

為了簡(jiǎn)化后續(xù)分析，設(shè)內(nèi)摩擦力的形式為

則每周期消耗的能量為

此時(shí)內(nèi)摩擦轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)方程可以寫為

3 仿真驗(yàn)證

以jeffcott轉(zhuǎn)子為計(jì)算模型，套齒連接結(jié)構(gòu)作用于轉(zhuǎn)子上，對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)而言，相當(dāng)于1 個(gè)內(nèi)摩擦力，即相當(dāng)于增加了1 個(gè)激振力。轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的初始計(jì)算參數(shù)如下：轉(zhuǎn)子質(zhì)量為m=15 kg；轉(zhuǎn)軸剛度k= 2×106N/m；中置盤偏心距e=0.0002 m；摩擦系數(shù)μ= 0.20；配合面長(zhǎng)度b=0.02 m；配合面直徑rp= 0.015 m；間隙σ=5×10-5m；第 1 階臨界轉(zhuǎn)速ωn= 2500 r/m；外阻尼d=10 N ?s/m；內(nèi)阻尼ci= 20 N ?s/m。

對(duì)式（10），采用 4 階Runge-Kutta 法求解轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程，得到以下時(shí)域波形（如圖6 所示）與軸心軌跡（如圖7所示）。

圖6 失穩(wěn)時(shí)的轉(zhuǎn)子時(shí)域波形

圖7 內(nèi)阻尼失穩(wěn)時(shí)的軸心軌跡

當(dāng)有內(nèi)摩擦力存在時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在運(yùn)轉(zhuǎn)過程中，內(nèi)摩擦力相當(dāng)于1 個(gè)激振力，會(huì)對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不斷地輸入能量，促進(jìn)轉(zhuǎn)子失穩(wěn)；而外摩擦力會(huì)不斷消耗能量，抑制轉(zhuǎn)子失穩(wěn)。而當(dāng)內(nèi)摩擦力輸入的能量大于外摩擦力消耗的能量時(shí)，即內(nèi)阻尼大于外阻尼時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)就會(huì)失穩(wěn)（圖6），最大振幅達(dá)到30 mm 以上，大大超過了可允許的范圍（工程上限制值為0.4 mm）；而當(dāng)不存在內(nèi)阻尼時(shí)，外摩擦力會(huì)消耗轉(zhuǎn)子能量，抑制轉(zhuǎn)子失穩(wěn)，如圖8 所示。最大振幅小于0.3 mm，轉(zhuǎn)子的振幅得到有效抑制；因此，對(duì)于套齒連接結(jié)構(gòu)，當(dāng)出現(xiàn)不平衡不對(duì)中的情況時(shí)，套齒結(jié)構(gòu)對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)提供的內(nèi)阻尼就會(huì)較大，因此轉(zhuǎn)子系統(tǒng)也會(huì)在內(nèi)阻尼的激振下發(fā)生失穩(wěn)，而外阻尼可以有效抑制失穩(wěn)，因此當(dāng)采用套齒連接結(jié)構(gòu)時(shí)，可以適當(dāng)增加外阻尼（比如采用阻尼器等方法），可以有效抑制轉(zhuǎn)子失穩(wěn)。

圖8 無內(nèi)阻尼穩(wěn)定時(shí)的軸心軌跡

內(nèi)摩擦力的增大，在一定程度上會(huì)加劇轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的失穩(wěn)，會(huì)引發(fā)航空發(fā)動(dòng)機(jī)故障。因此，有必要研究不同的結(jié)構(gòu)參數(shù)（套齒軸向長(zhǎng)度、摩擦系數(shù)、齒形壓力角、套齒節(jié)徑）對(duì)內(nèi)阻尼轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的失穩(wěn)門檻轉(zhuǎn)速的影響規(guī)律。

通過對(duì)建立的動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行分析，得出外阻尼d、1階臨界轉(zhuǎn)速齒面摩擦系數(shù)μ、齒形壓力角α、套齒軸段長(zhǎng)度L以及不對(duì)中偏角β等參數(shù)對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性影響較大。改變不同的參數(shù)進(jìn)行模擬仿真，分別得到不同結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)內(nèi)阻尼轉(zhuǎn)子系統(tǒng)失穩(wěn)的門檻轉(zhuǎn)速的影響規(guī)律，如圖9～14所示[16]。

圖9 外阻尼系數(shù)的影響規(guī)律

從仿真結(jié)果中可見，外阻尼系數(shù)及第1 階臨界轉(zhuǎn)速對(duì)內(nèi)阻尼轉(zhuǎn)子穩(wěn)定性的影響較大。外阻尼系數(shù)從50 N·s/m 增大到200 N·s/m 后，失穩(wěn)門檻轉(zhuǎn)速增大了近8000 r/min；第1 階臨界轉(zhuǎn)速從2000 r/min 增大到4000 r/min后，失穩(wěn)門檻轉(zhuǎn)速增大了近4000 r/min。而齒面摩擦系數(shù)、齒形壓力角以及套齒軸段長(zhǎng)度等參數(shù)對(duì)內(nèi)阻尼轉(zhuǎn)子穩(wěn)定性的影響較小。隨著齒面摩擦系數(shù)增大，失穩(wěn)門檻轉(zhuǎn)速增大；隨著齒形壓力角增大，失穩(wěn)門檻轉(zhuǎn)速增大；隨著套齒軸段長(zhǎng)度的增大，失穩(wěn)門檻轉(zhuǎn)速減小。當(dāng)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)存在不對(duì)中時(shí)，不對(duì)中偏角的大小也會(huì)影響內(nèi)阻尼轉(zhuǎn)子的穩(wěn)定性。隨著不對(duì)中偏角增大，失穩(wěn)門檻轉(zhuǎn)速減小，轉(zhuǎn)子穩(wěn)定性降低。

圖10 第1階臨界轉(zhuǎn)速的影響規(guī)律

圖11 齒面摩擦系數(shù)的影響規(guī)律

圖12 齒形壓力角的影響規(guī)律

圖13 套齒軸端長(zhǎng)度的影響規(guī)律

圖14 偏角的影響規(guī)律

所以，在套齒結(jié)構(gòu)出現(xiàn)不對(duì)中的情況下，接觸面的摩擦系數(shù)和傳遞的扭矩的增大都會(huì)使內(nèi)摩擦阻尼增大；對(duì)于套齒結(jié)構(gòu)，內(nèi)阻尼的增大都會(huì)加劇轉(zhuǎn)子系統(tǒng)失穩(wěn)；而外阻尼的增大會(huì)增大轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的失穩(wěn)轉(zhuǎn)速，可以抑制轉(zhuǎn)子系統(tǒng)失穩(wěn)。

4 結(jié)論

（1）套齒聯(lián)軸器依靠定位面定心，依靠鎖緊螺母?jìng)鬟f軸向載荷，而花鍵聯(lián)軸器依靠小徑或者齒形定心，幾乎不能傳遞軸向載荷，當(dāng)出現(xiàn)不對(duì)中時(shí)，花鍵聯(lián)軸器相較于套齒聯(lián)軸器更容易失穩(wěn)；

（2）推導(dǎo)了內(nèi)摩擦系數(shù)公式，以此得到套齒轉(zhuǎn)子內(nèi)摩擦失穩(wěn)門檻轉(zhuǎn)速的解析表達(dá)式，分析了各參數(shù)對(duì)帶套齒轉(zhuǎn)子穩(wěn)定性的影響規(guī)律。結(jié)果表明，套齒軸段長(zhǎng)度以及不對(duì)中角度的增大都會(huì)使得轉(zhuǎn)子穩(wěn)定性下降；而外阻尼、齒面摩擦系數(shù)以及齒形壓力角等參數(shù)增大都會(huì)增加轉(zhuǎn)子的穩(wěn)定性；

（3）通過4 階Runge-Kutta 求解轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)方程，得到帶套齒轉(zhuǎn)子的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)及失穩(wěn)特征。發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)子失穩(wěn)時(shí)，其失穩(wěn)門檻轉(zhuǎn)速在1 階臨界轉(zhuǎn)速以上，同時(shí)失穩(wěn)振動(dòng)頻率為1階臨界轉(zhuǎn)速的轉(zhuǎn)頻。