讓有理數(shù)減法新授課更有“數(shù)學(xué)味”*

劉東升 (江蘇省海安市城南實驗中學(xué) 226601)

看到這個標題，有人可能會說數(shù)學(xué)課要有“數(shù)學(xué)味”，難道數(shù)學(xué)課還有“其他味”？是的！如今不少數(shù)學(xué)常態(tài)課給人的感覺是習(xí)題味太重、應(yīng)試味更濃．以七年級有理數(shù)的減法(第1課時)為例，有些教師認為有理數(shù)的減法法則太簡單了，往往新知出現(xiàn)“一帶而過”，開門見山，對于有理數(shù)減法法則的教學(xué)過程“輕輕滑過”，然后就安排減法轉(zhuǎn)化為加法的“程序化”訓(xùn)練，甚至提前安排有理數(shù)加、減混合運算.這樣的教學(xué)就是典型的習(xí)題味重、應(yīng)試味濃．本文是筆者最近在一所農(nóng)村初中執(zhí)教的有理數(shù)減法(第1課時)教學(xué)記錄，闡釋教學(xué)立意，供分享和研討．

1 “有理數(shù)減法新授課”教學(xué)記錄

教學(xué)環(huán)節(jié)1 復(fù)習(xí)加法運算，引出減法運算

復(fù)習(xí)引入：前面幾節(jié)課我們學(xué)習(xí)了有理數(shù)、絕對值、相反數(shù)等概念，又學(xué)習(xí)了有理數(shù)的加法運算，接下來學(xué)習(xí)哪種運算？(生齊答：減法)下面我們來看一組減法運算的算式．

問題計算：

(1)5-2=，5+(-2)=；

(2)(-1)-2=，(-1)+(-2)=；

(3)(-5)-(-3)=，(-5)+(+3)=．

教學(xué)組織：學(xué)生雖然沒有學(xué)過減法運算，但都能想出以上三組運算的結(jié)果是一致的，接下來就是請學(xué)生來解釋他們是如何思考的．

生1：5-2可以看成數(shù)軸上表示5的點向左移動2個單位，到達3，所以5-2=3．

生2：(-1)-2可以看成數(shù)軸上表示-1的點向左移動2個單位，到達-3，所以(-1)-2=-3．

生3：(-5)-(-3)這個算式后面的“-(-3)”可以根據(jù)相反數(shù)的定義化簡為+3，于是(-5)-(-3)=(-5)+3=-2．

師：講得很好！形象生動，算法依據(jù)也是可靠的．現(xiàn)在我們可以發(fā)現(xiàn)以下等式是成立的，

(1)5-2=5+(-2)；

(2)(-1)-2=(-1)+(-2)；

(3)(-5)-(-3)=(-5)+(+3)．

從這組算式，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)有理數(shù)減法運算可以怎么計算？有怎樣的算法規(guī)律？

生4：減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)．

師：很好！(將學(xué)生的這個發(fā)現(xiàn)板書在黑板主板區(qū))剛才同學(xué)們針對三組加法、減法運算題運用不同的方法進行解釋，發(fā)現(xiàn)了“減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)”這個減法的運算規(guī)律．現(xiàn)在讓我們再從加法與減法互為逆運算的角度來解釋同學(xué)們發(fā)現(xiàn)的這個規(guī)律．我先來示范一下如何解釋第一組算式.

師：從算式5-2=？出發(fā)，我們根據(jù)加法與減法互為逆運算，

可得？+2=5，

所以？=3，

所以5-2=3．又5+(-2)=3．

所以5-2=5+(-2)．

生5：從算式(-1)-2=？出發(fā)，根據(jù)加法與減法互為逆運算，

可得？+2=-1，

所以？=-3．

所以(-1)-2=-3．又(-1)+(-2)=-3，

所以(-1)-2=(-1)+(-2)．

生6：從算式(-5)-(-3)=？出發(fā)，根據(jù)加法與減法互為逆運算，

可得？+(-3)=-5，

所以？=-2．

所以(-5)-(-3)=-2．又(-5)+3=-2，

所以(-5)-(-3)=(-5)+(+3)．

師：講得很好！同學(xué)們從加、減互為逆運算的角度清楚解釋了“減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)”，我們將這個規(guī)律明確為有理數(shù)的減法法則(板書中把“猜想”修改為“法則”)．

教學(xué)環(huán)節(jié)2 有理數(shù)減法法則的例題講評

例1計算：

教學(xué)組織：第(1)題由教師示范，如何運用有理數(shù)減法法則進行計算，后面3道題由學(xué)生獨立先做，安排一個中等左右的學(xué)生上臺板演，再請另一個較優(yōu)學(xué)生上臺批閱．接著給出一組練習(xí)，鞏固新知．

練習(xí)題計算：

(1)6-9；(2)4-(-7)；(3)(-5)-(-8)；

(4)0-(-5)；(5)(-2.5)-5.9；(6)1.9-(-0.6)．

教學(xué)環(huán)節(jié)3 探究數(shù)軸上兩點之間的距離

例2已知數(shù)軸上有兩點A，B，分別對應(yīng)著數(shù)a，b．

(1)當a=2，b=6時，求線段AB的長；

(2)當a=0，b=6時，求線段AB的長；

(3)當a=-6，b=2時，求線段AB的長；

(4)當a=-6，b=-2時，求線段AB的長．

教學(xué)組織：要求學(xué)生分別結(jié)合數(shù)軸列出算式進行計算，然后請一個做得較快的學(xué)生上臺講解方法，會發(fā)現(xiàn)學(xué)生使用的是“較大數(shù)”減去“較小數(shù)”.肯定學(xué)生的解法之后，進一步指出，以前在小學(xué)，減法運算必須是“較大數(shù)”減“較小數(shù)”，那是因為避免出現(xiàn)“不夠減”的現(xiàn)象，如今我們有了負數(shù)，數(shù)系擴充到了有理數(shù)，“不夠減”的麻煩就沒有了．大家試試看，如果上面這組問題，換成“較小數(shù)”減去“較大數(shù)”，會有什么發(fā)現(xiàn)？隨著學(xué)生發(fā)現(xiàn)與之前算法結(jié)果互為相反數(shù)時，就可引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出數(shù)軸上兩點之間距離公式AB=|a-b|．(教師完善到主板區(qū))

教學(xué)環(huán)節(jié)4 課堂小結(jié)，完善“結(jié)構(gòu)化板書”

課堂小結(jié)時，與學(xué)生回顧一下開課階段“生3”利用相反數(shù)性質(zhì)將算式(-5)-(-3)化簡為(-5)+ 3=-2．相對于使用有理數(shù)減法法則來理解，這種算法更有優(yōu)勢，值得同學(xué)們學(xué)習(xí)．這就說明，有理數(shù)的減法法則提供了兩個有理數(shù)相減的一種通用法則，但并不是惟一算法，有時靈活變形可以追求算法的簡化(板書“靈活變形求簡化”)．最后，一邊小結(jié)，一邊將課堂推進過程中采集到的一些板書內(nèi)容進行連接、勾畫，得出如下的結(jié)構(gòu)化板書(圖1)．

圖1

2 有理數(shù)減法新授課追求哪些“數(shù)學(xué)味”

2.1 追求“說理味”，突出運算法則“客從何處來”

近年來，章建躍博士對概念教學(xué)中存在“一個定義(法則)，三項注意，大量練習(xí)”現(xiàn)象進行過多次批評．以有理數(shù)減法的新授課教學(xué)來看，我們也見到不少教學(xué)存在有理數(shù)減法法則“來得太快”的課堂現(xiàn)象，然后就是大量練習(xí)．雖然經(jīng)過密集訓(xùn)練，學(xué)生也能掌握有理數(shù)減法法則及運用，但是對于有理數(shù)減法法則的“客從何處來”沒有深入研究，而這正是本課開課階段花了較多教學(xué)時間在開展的環(huán)節(jié)．具體來說，先讓學(xué)生解釋幾組算式(分別對應(yīng)著減法算式與加法算式結(jié)果一致)，然后發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進一步引導(dǎo)學(xué)生給出數(shù)學(xué)解釋．他們往往能借助于數(shù)軸形象生動地解釋，或者借助相反數(shù)的意義進行解釋，但這些解釋都不是“通法”，后來教師示范利用有理數(shù)加法、減法的逆運算就可以解釋所有加、減算式結(jié)果的一致性．事實上，如果班級學(xué)情較好，還可以進行一般化的證明．比如解釋a-b=a+(-b).

從算式a-b=？出發(fā)，我們根據(jù)加法與減法互為逆運算，可得？+b=a，

觀察發(fā)現(xiàn)上面等式的左邊有b，而右邊沒有b，聯(lián)系相反數(shù)b，-b之和為零，于是想到？+b=a+ 0=a+[b+(-b)]=[a+(-b)]+b，所以？=a+(-b)．

2.2 追求“數(shù)形味”，探究數(shù)軸上兩點間距離公式

進入初中，數(shù)系擴充到有理數(shù)后，就引出一個重要的數(shù)學(xué)工具——數(shù)軸．數(shù)軸盡顯數(shù)形結(jié)合的魅力，成為貫穿代數(shù)不同分支學(xué)習(xí)的一個重要工具．作為有理數(shù)減法第1課時，我們沒有安排太多的減法習(xí)題進行大容量的運算訓(xùn)練，而安排了“數(shù)軸上兩點間的距離公式”的探究活動．對于4對不同的數(shù)組，學(xué)生很快想到用較大數(shù)減去較小數(shù)來求得兩點間的距離，教師隨后追問：同樣的還是這兩點間的距離，如果用較小數(shù)減去較大數(shù)，比較兩次的結(jié)果，發(fā)現(xiàn)兩次結(jié)果互為相反數(shù)，那若是用較小數(shù)減較大數(shù)表示距離的話，距離是不能用負數(shù)表示的，所以得加絕對值．最后歸納、概括出兩點間的距離公式．該課評課階段，有教師提出在有理數(shù)減法的第1課時就引出數(shù)軸上兩點間距離公式是否超前的問題．我們認為，應(yīng)以學(xué)生能否接受，是否能根據(jù)前面的情境自然而然導(dǎo)出為評判原則．從這節(jié)課中探究兩點之間距離公式來看，學(xué)生只運用了減法運算，大數(shù)減小數(shù)是學(xué)生自然的想法，得出兩點之間距離公式，而引導(dǎo)他們思考“為什么不用小數(shù)減大數(shù)”則得出前面做出來的相反數(shù)，于是，借助絕對值這個概念，獲得不同減法的結(jié)果的一致性，發(fā)現(xiàn)了兩點間距離公式可以用絕對值表示，這樣也是自然的．但在新授期間，不宜出現(xiàn)大量的絕對值符號的化簡問題，等在下一章“整式加減”學(xué)習(xí)了去括號后，可再跟進、拓展相關(guān)問題．

2.3 體現(xiàn)“思辨味”，讓有理數(shù)減法的算法更靈活

有理數(shù)減法是加法的逆運算，這是本課新知生成和說理依據(jù)的出發(fā)點．生成有理數(shù)減法法則之后，跟進的例題講評、習(xí)題訓(xùn)練都是嚴格執(zhí)行有理數(shù)減法法則，將有理數(shù)減法轉(zhuǎn)化為加法求解．這當然能保證計算結(jié)果正確(即板書上的經(jīng)驗分享“嚴守法則不出錯”)，但是在課堂小結(jié)階段，我們也結(jié)合學(xué)生在探究、解釋有理數(shù)減法時的一個符號化簡經(jīng)驗，指出了“靈活變形求簡化”的經(jīng)驗，讓學(xué)生感受到“小運算，大智慧”，有理數(shù)的運算并不是機械執(zhí)行法則，而要認真觀察算式特點，靈活變形，相機選用恰當算法，追求算法簡化．但是這并不是有理數(shù)減法(第1課時)的重點，所以并沒有突出強化，只是在小結(jié)階段簡要提及．再有，關(guān)于數(shù)軸上兩點之間距離公式的探究活動，通過追問“較小數(shù)”減去“較大數(shù)”，既訓(xùn)練了有理數(shù)減法運算，同時得出的結(jié)果不能直接對應(yīng)兩點之間距離，但是通過引入絕對值符號，與相反數(shù)的結(jié)果保持了和諧一致，這也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的思辨味道．

3 寫在后面

初中階段有很多新授課內(nèi)容看似簡單，有些教師往往認為“不教自明”，而且因為不少學(xué)生在培訓(xùn)機構(gòu)“超前學(xué)習(xí)”，使得這些看似簡單的數(shù)學(xué)新知在新課教學(xué)時“學(xué)生都能齊答”，一定程度上掩蓋了這些新知是如何生成的．于是這些內(nèi)容簡單的課常常就成為大容量習(xí)題課，學(xué)生只顧埋頭刷題，偶爾互動一下、核對答案．長此以往，這些課的數(shù)學(xué)味就淡了，習(xí)題味就重了．本文關(guān)注的有理數(shù)的減法新授課教學(xué)提及到的這些“數(shù)學(xué)味”肯定有很多個性化理解，期待同行批評指正，讓我們一起追求更有“數(shù)學(xué)味”的高品質(zhì)數(shù)學(xué)課堂．