解題運(yùn)算要提升 結(jié)構(gòu)分析應(yīng)先行

宋予林 (江蘇省灌南高級(jí)中學(xué) 222599)

張奠宙先生認(rèn)為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括真善美三個(gè)維度[1].具體地說(shuō)，所謂“真”，即理解數(shù)學(xué)文明的文化價(jià)值，體會(huì)數(shù)學(xué)真理的嚴(yán)謹(jǐn)性、精確性；所謂“善”，指的是用數(shù)學(xué)的思想方法分析和解決實(shí)際問(wèn)題的基本能力；所謂“美”，則是說(shuō)能夠欣賞數(shù)學(xué)智慧之美，喜歡數(shù)學(xué)，熱愛數(shù)學(xué)．但是，筆者通過(guò)高三一輪的復(fù)習(xí)教學(xué)發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中無(wú)法去真正體會(huì)數(shù)學(xué)的“真善美”，無(wú)法運(yùn)用數(shù)學(xué)的“真善美”去分析解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)．筆者嘗試結(jié)合最近在高三一輪復(fù)習(xí)中出現(xiàn)的一些問(wèn)題與解決策略，談?wù)勅绾瓮ㄟ^(guò)觀察與分析數(shù)學(xué)式子的結(jié)構(gòu)，提升高三學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng)．

1 感知數(shù)式的代數(shù)結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算觀察能力

點(diǎn)評(píng)通過(guò)對(duì)數(shù)式的觀察，結(jié)合直觀想象，把待求式化歸到①式的結(jié)構(gòu)上，顯然大大減少了解題運(yùn)算的繁鎖程度．因此，在高三一輪復(fù)習(xí)過(guò)程中，需要提高學(xué)生的解題運(yùn)算能力，首先就要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界．

2 觀察數(shù)式的幾何結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算轉(zhuǎn)化能力

華羅庚先生曾說(shuō)道：“數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛．?dāng)?shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微．”因此，對(duì)于例1的解法，筆者又在課堂中不斷地去引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)觀察數(shù)式的幾何結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算轉(zhuǎn)化能力．以下再給出兩種不同的數(shù)形結(jié)合的思路．

圖1 圖2

點(diǎn)評(píng)通過(guò)觀察數(shù)式的代數(shù)、幾何結(jié)構(gòu)，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度，運(yùn)用不同方法思考、聯(lián)想，體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的靈活性與敏捷性；有目的地對(duì)學(xué)生進(jìn)行發(fā)散思維的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成“大膽猜想，小心論證”的好習(xí)慣，提升數(shù)學(xué)解題運(yùn)算能力．由此可見，充分觀察數(shù)式的結(jié)構(gòu)，才能在數(shù)學(xué)解題中實(shí)現(xiàn)“落霞與孤鶩齊飛，秋水共長(zhǎng)天一色”的美好畫面．

3 轉(zhuǎn)化數(shù)式的代數(shù)結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算創(chuàng)新能力

波利亞在《怎樣解題》中指出：“困難的問(wèn)題需要有一種神奇的、不尋常的、嶄新的組合．而解題者的才能就在于組合的獨(dú)創(chuàng)性．”因此，再好的方法，都需要學(xué)生獨(dú)立完成，教師只是學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者，起著主導(dǎo)的作用，而學(xué)生才是學(xué)習(xí)的主體．因此，在高三一輪復(fù)習(xí)過(guò)程中，不要一味地追求每節(jié)課所講題目的數(shù)量，更重要的是要把每道題目講得細(xì)、講得透，體現(xiàn)思維的靈活性與創(chuàng)造性.下面以一道試題的復(fù)習(xí)教學(xué)為例，基于轉(zhuǎn)化數(shù)式的代數(shù)結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算創(chuàng)新能力．

例3(2020年全國(guó)高考Ⅰ卷21題)已知函數(shù)f(x)=ex+ax2-x．

當(dāng)a=1時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性；

分析 對(duì)于函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題，很多學(xué)生只要看到函數(shù)解析式就開始求導(dǎo)，而后就是令f′(x)=0，但是一遇到困難就不知道怎么下筆了．為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象？歸根到底還是學(xué)生對(duì)于數(shù)式缺乏觀察能力，不能通過(guò)分析數(shù)式結(jié)構(gòu)，對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決．因此，筆者對(duì)本題第(2)問(wèn)的解答，在教學(xué)過(guò)程中通過(guò)觀察對(duì)數(shù)式結(jié)構(gòu)，對(duì)學(xué)生進(jìn)行了如下的啟發(fā)教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算創(chuàng)新能力．

師：很好！那么對(duì)于兩個(gè)數(shù)值大小比較問(wèn)題，我們?cè)谀膫€(gè)章節(jié)里面涉及到了呢？

生：在基本不等式的證明中，我們涉及了兩個(gè)數(shù)值的大小比較．

師：那我們還記得課本介紹了哪些證明方法嗎？

生：有作差法(作差和0比較)，還有分析法(執(zhí)果索因)和綜合法(由因到果)．

師：太棒了！那么我們能不能嘗試作差法呢？

師：經(jīng)過(guò)五分鐘探究，請(qǐng)大家告訴老師，能不能解決y=F(x)的最小值呢？

生：不能，ex以及參數(shù)a都使得計(jì)算非常繁瑣．

師：發(fā)現(xiàn)問(wèn)題比解決問(wèn)題更重要！你們這么快就發(fā)現(xiàn)本題的主要矛盾了，那么接下來(lái)我們?cè)撊绾谓鉀Q呢？

生：我們可以嘗試分離參數(shù)a．

師：在這個(gè)五分鐘里，請(qǐng)你們告訴老師，ex與參數(shù)a，誰(shuí)讓你們更頭疼呢？顯然，ex在這個(gè)問(wèn)題中才是本題處理的難點(diǎn)，所以你們有什么好的方法將這個(gè)大麻煩解決呢？

點(diǎn)評(píng) 高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的目標(biāo)在于通過(guò)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決去鞏固和加深學(xué)生原有知識(shí)概念以及數(shù)學(xué)思想、方法、技能與模型應(yīng)用能力，促進(jìn)學(xué)生建構(gòu)完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)．我們?cè)谄綍r(shí)教學(xué)過(guò)程中需要有目的地引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征去發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題，從而提升其解題運(yùn)算能力．

4 培養(yǎng)思維辨析能力，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算能力

眾所周知，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要內(nèi)容，通過(guò)運(yùn)算促進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展，而思維的基本形式有概念、判斷、推理；思維的一般過(guò)程包括分析與綜合、比較與分類、抽象與概括、系統(tǒng)化與具體化，其中分析與綜合是思維的基本過(guò)程．那么，要提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題運(yùn)算能力，還應(yīng)該訓(xùn)練學(xué)生的思維辨析能力即分析與綜合能力．

分析 本題考查的是向量運(yùn)算問(wèn)題，其體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想同時(shí)也需要轉(zhuǎn)化化歸思想，在解決過(guò)程中學(xué)生展示了以下解法．

點(diǎn)評(píng)在例4的解決過(guò)程中，通過(guò)觀察向量式的結(jié)構(gòu)，從定義、幾何表征、代數(shù)以及極化恒等式(重要命題)等多個(gè)角度讓學(xué)生體驗(yàn)解題的愉悅感與成就感，體會(huì)從數(shù)式結(jié)構(gòu)的改變?nèi)ダ斫鈹?shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化與化歸思想，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題運(yùn)算能力，培養(yǎng)學(xué)生的思維辨析能力．

總之，從上面的例題解決策略與筆者多年的一線教學(xué)經(jīng)驗(yàn)以及對(duì)江蘇新高考的理解中，筆者認(rèn)為任何一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決過(guò)程都可以看成是一個(gè)審美賞美的過(guò)程，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生去觀察數(shù)式結(jié)構(gòu)中的“美”，如解析幾何中的“設(shè)而不求”、不等式中常用的輪換對(duì)稱、三角函數(shù)中的對(duì)偶式、圓錐曲線的統(tǒng)一定義、向量中的極化恒等式……題目中所體現(xiàn)的數(shù)式的簡(jiǎn)潔美(抽象美、符號(hào)美、統(tǒng)一美)、和諧美(對(duì)稱美、形式美)、奇異美(有限美、神秘美)等，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)式的各種美，培養(yǎng)其觀察能力，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界；加深學(xué)生對(duì)數(shù)式結(jié)構(gòu)的理解，培育他們熱愛數(shù)學(xué)、熱愛科學(xué)、熱愛生活；讓學(xué)生在數(shù)學(xué)解題學(xué)習(xí)過(guò)程中得到愉悅的體驗(yàn)，完善自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)，形成觀察數(shù)式結(jié)構(gòu)的習(xí)慣，提升運(yùn)算能力，最終達(dá)到提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)的目的．