圖示教學(xué)干預(yù)對(duì)數(shù)列求通項(xiàng)問題的影響研究

于文華 王光耀

( 山東師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，250358，濟(jì)南 )

1 引 言

在我國，學(xué)生間的數(shù)學(xué)成績(jī)和水平有不小的差異.因此，要使學(xué)校的數(shù)學(xué)教學(xué)對(duì)所有學(xué)生都適用，設(shè)計(jì)能夠提高學(xué)生問題解決能力的干預(yù)措施是至關(guān)重要的.數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域有豐富的關(guān)于干預(yù)的研究，這些研究旨在幫助學(xué)生更有效地解決問題.現(xiàn)有的大量文獻(xiàn)提出了一些能夠提高學(xué)生問題解決能力的措施，包括教師明確系統(tǒng)的教學(xué)、學(xué)生努力的思考、形成視覺的表征、同伴的協(xié)助、形成性評(píng)價(jià)提供的反饋等[1，2].圖示教學(xué)干預(yù)(Schema-Based Instruction,SBI)是針對(duì)傳統(tǒng)教學(xué)的一種替代教學(xué)方法，它綜合了以上許多的功能，能夠滿足有不同需求的學(xué)習(xí)者，提高他們的數(shù)學(xué)問題解決能力.

數(shù)列在高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系中占有重要的地位，其包括的通項(xiàng)公式、求和公式等內(nèi)容，既有獨(dú)特的內(nèi)容體系，又與其它數(shù)學(xué)知識(shí)有著密切聯(lián)系.另外，數(shù)列問題中公式的靈活運(yùn)用、構(gòu)造新數(shù)列的能力、對(duì)不等式內(nèi)容的滲透，都是教學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，也是學(xué)生理解和學(xué)習(xí)的難點(diǎn).而在這些問題中，數(shù)列求通項(xiàng)公式又是最基礎(chǔ)的問題，因?yàn)閿?shù)列的通項(xiàng)公式刻畫了數(shù)列的變化規(guī)律，直接決定了數(shù)列的特點(diǎn).

在之前相關(guān)的圖示教學(xué)干預(yù)研究中，主要的參與者都是小學(xué)生與初中生，研究的問題集中在加減乘除問題和比例比率問題.針對(duì)高中數(shù)列內(nèi)容的研究很少，本文運(yùn)用圖式教學(xué)干預(yù)對(duì)高中數(shù)列求通項(xiàng)問題進(jìn)行研究，旨在拓展以往圖示教學(xué)干預(yù)的研究領(lǐng)域.

2 理論基礎(chǔ)與文獻(xiàn)綜述

2.1SBI理論SBI包含了特殊教育部門為殘疾學(xué)生頒布的系統(tǒng)而明確的指導(dǎo)，但它很大程度上借鑒了認(rèn)知心理學(xué)的圖式理論，是以專家型問題解決者和數(shù)學(xué)問題解決的認(rèn)知模型為基礎(chǔ)發(fā)展而來的干預(yù)理論[3].SBI理論包括四個(gè)主要部分，即問題的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)、可視化的數(shù)學(xué)表示、元認(rèn)知策略的指導(dǎo)、解決過程的靈活性.

雖然SBI理論在干預(yù)過程中也提供數(shù)學(xué)陳述性知識(shí)的指導(dǎo)，但更加強(qiáng)調(diào)識(shí)別問題結(jié)構(gòu)和類別以后的數(shù)學(xué)程序型知識(shí)[4].同時(shí)，教師被引導(dǎo)使用有效的教學(xué)實(shí)踐來幫助學(xué)生分析問題結(jié)構(gòu)(識(shí)別問題類別)，用可視化的示意圖表示問題[5]，計(jì)劃如何解決問題，并檢驗(yàn)答案的合理性.另外，教師提供的問題解決策略強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)學(xué)生的元認(rèn)知能力,努力引導(dǎo)學(xué)生在解決問題的同時(shí)，思考他們?cè)谧鍪裁?、他們這樣做的原因、這樣做是否合理有效等[6].最后，SBI干預(yù)也注重問題解決的程序靈活性[7].總而言之，SBI理論包含一個(gè)內(nèi)涵豐富、完整全面的干預(yù)措施系統(tǒng).

2.2應(yīng)用SBI進(jìn)行的研究早期的SBI研究設(shè)計(jì)主要是短期的、獨(dú)立的，針對(duì)數(shù)學(xué)問題解決中的歸納圖式.后期的SBI研究設(shè)計(jì)演變?yōu)橥度霑r(shí)間更長、設(shè)計(jì)目的更明確的實(shí)證研究.

早期的干預(yù)實(shí)驗(yàn)研究了如何設(shè)計(jì)圖示來構(gòu)建與數(shù)學(xué)問題解決相關(guān)的模型.例如，Quilici等人[8]證明按問題類型分組的學(xué)生比不按問題類型分組的學(xué)生能更有效地解決數(shù)學(xué)問題.在針對(duì)小學(xué)生的相關(guān)研究中，Chen Z[9]研究了如何促進(jìn)參與者圖式歸納，以及問題解決方案的準(zhǔn)確性及其與圖式發(fā)展的關(guān)系.結(jié)果表明，合理利用圖示的參與者更有可能建立數(shù)學(xué)模型并產(chǎn)生解決問題的遷移圖示.

后期的一些干預(yù)實(shí)驗(yàn)研究開始探索顯式SBI作為一種促進(jìn)數(shù)學(xué)問題解決有效性的干預(yù)措施，因此后期有關(guān)問題解決的研究，已經(jīng)將SBI這一干預(yù)措施顯式化、明確化.Jitendra A K等人[10]把問題分類后對(duì)參與者的問題解決進(jìn)行研究，結(jié)果表明圖式結(jié)構(gòu)理論有可能指導(dǎo)數(shù)學(xué)問題的解決.Fuchs L S等人[11]為了分離出明顯的SBI干預(yù)，隨機(jī)將三年級(jí)學(xué)生分配到對(duì)照組和實(shí)驗(yàn)組環(huán)境中，結(jié)果表明，與教師設(shè)計(jì)的教學(xué)和研究人員設(shè)計(jì)的問題解決方法教學(xué)相比，SBI產(chǎn)生了更好的問題解決結(jié)果.在Xin Y P等人[12]的一項(xiàng)研究中，一組有學(xué)習(xí)問題的學(xué)生被隨機(jī)分配到SBI條件下，另一組學(xué)生接受一般問題解決啟發(fā)式教學(xué).結(jié)果表明,接受SBI的學(xué)生成績(jī)顯著提高.Jitendra A K等人[13]將七年級(jí)的學(xué)生隨機(jī)分配到SBI條件或控制條件下進(jìn)行研究.結(jié)果表明，接受SBI的學(xué)生平均得分明顯高于控制條件下的學(xué)生.Jitendra A K等人[14，15]的其他兩項(xiàng)研究中接受SBI的學(xué)生在后測(cè)的比例問題解決措施上都優(yōu)于對(duì)照組的學(xué)生.另外，Jitendra A K等人[16]改進(jìn)了以往的研究設(shè)計(jì)，將每位老師隨機(jī)安排到SBI組教室或控制組教室.結(jié)果表明,SBI教室學(xué)生的期末測(cè)驗(yàn)平均成績(jī)超過控制組教室學(xué)生的期末測(cè)驗(yàn)平均成績(jī).

3 研究目的及問題

盡管以前有大量的研究均支持SBI的有效性，但在以往的研究中，研究者選取的被試多為患有行為障礙的學(xué)生或者成績(jī)很不理想的學(xué)生，研究的問題多為數(shù)學(xué)領(lǐng)域的比例、比率問題.鑒于此，本文的研究做出了相應(yīng)的改進(jìn)，包括如下幾個(gè)特點(diǎn)：首先，本文的研究在通識(shí)教育的環(huán)境中進(jìn)行，選取的被試是接受通識(shí)教育的水平能力不同的學(xué)生；其次，本文將研究的問題從乘除法、比例問題擴(kuò)展到數(shù)列問題，并重點(diǎn)研究數(shù)列中求通項(xiàng)這一問題，這對(duì)以往的研究是一個(gè)擴(kuò)展和深化；最后，教學(xué)干預(yù)是由通識(shí)課堂教師提供，實(shí)驗(yàn)研究小組主要在后勤等工作上提供支持，這消除了研究小組直接參與課堂教學(xué)以及效果評(píng)價(jià)對(duì)研究結(jié)果的影響.

本研究的第一個(gè)目的是進(jìn)一步評(píng)估SBI干預(yù)在數(shù)列求通項(xiàng)問題解決上的有效性;第二個(gè)目的是評(píng)估SBI干預(yù)的效果隨時(shí)間的維持情況;第三個(gè)目的是研究SBI干預(yù)能否調(diào)節(jié)學(xué)生間的成績(jī)差異.據(jù)此，提出以下三個(gè)研究問題：

1) 圖示教學(xué)干預(yù)對(duì)學(xué)生解決數(shù)列求通項(xiàng)問題的效果如何？

2) 學(xué)生接受圖示教學(xué)干預(yù)后的保持情況如何？

3) 圖示教學(xué)干預(yù)是否調(diào)節(jié)了學(xué)生間的成績(jī)差異？

4 研究方法

4.1參與者隨機(jī)選取3個(gè)自然班作為潛在的參與者，然后根據(jù)數(shù)學(xué)老師掌握的學(xué)生在校學(xué)習(xí)情況，排除了26名學(xué)生，原因包括特別突出的課堂表現(xiàn)等.然后將其余120名參與者按照以往的學(xué)習(xí)成績(jī)和表現(xiàn)分成四組，依次標(biāo)記為A、B、C、D組，每組30名參與者.按照實(shí)驗(yàn)研究的程序，獲得了參與者的同意，并獲得了家長同意.此外，根據(jù)學(xué)校記錄和家長談話，這些學(xué)生沒有接受特殊教育或其他數(shù)學(xué)干預(yù).

4.2實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)通過對(duì)數(shù)列求通項(xiàng)問題的分析，將數(shù)列求通項(xiàng)問題的方法分為以下六種，分別為公式法、前n項(xiàng)和法、sn與an的關(guān)系式法、累積法、構(gòu)造法與變形法.

公式法應(yīng)用于根據(jù)已知條件能夠推出數(shù)列{an}為等差或等比數(shù)列，然后根據(jù)通項(xiàng)公式的基本形式進(jìn)行求解的情況；前n項(xiàng)和法應(yīng)用于已知數(shù)列的前n項(xiàng)和sn的解析式來求通項(xiàng)公式的情況；sn與an的關(guān)系式法應(yīng)用于已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與an的關(guān)系，求通項(xiàng)公式的情況；累積法包括累加法和累乘法，應(yīng)用于已知數(shù)列的第n項(xiàng)和第n-1項(xiàng)的差或者商是一個(gè)有“規(guī)律”的數(shù)的情況；構(gòu)造法應(yīng)用于已知數(shù)列{an}的形式為an=kan-1+b或者an=kan-1+cm的情況；變形法包括取倒數(shù)法和取對(duì)數(shù)法，取倒數(shù)法應(yīng)用于已知數(shù)列{an}的形式為an+pan-1=qanan-1(p，q是常數(shù)，pq≠0)的情況，取對(duì)數(shù)法應(yīng)用于已知數(shù)列{an}的形式為ank=an-1l(k和l為非零常數(shù)) 的情況.

本研究使用多重基線設(shè)計(jì)來評(píng)估SBI干預(yù)對(duì)解決數(shù)列求通項(xiàng)問題的影響效果，將整個(gè)干預(yù)過程分為三個(gè)階段，分別為基線階段、獨(dú)立干預(yù)階段與保持階段.在基線階段，測(cè)試參與者對(duì)公式法、前n項(xiàng)和法、sn與an的關(guān)系式法的理解掌握情況；在獨(dú)立干預(yù)階段，測(cè)試參與者對(duì)累積法、構(gòu)造法、變形法的理解掌握情況；在保持階段，編制了綜合多種方法的試題，測(cè)試參與者對(duì)多種方法的保持情況.各個(gè)階段的具體實(shí)施方法如下：在基線階段和保持階段，通過編制的測(cè)試題來直接研究參與者的反應(yīng)情況；在獨(dú)立干預(yù)階段，又將干預(yù)的實(shí)施分為三個(gè)步驟階段，依次是識(shí)別圖示階段、策略指導(dǎo)階段與獨(dú)立應(yīng)用階段，然后通過相應(yīng)的測(cè)試題來研究參與者的反應(yīng)情況.

4.3干預(yù)材料在研究的基線階段和保持階段，使用的材料主要為研究人員編制的測(cè)試題，而在獨(dú)立干預(yù)階段，根據(jù)干預(yù)的獨(dú)特性，除了使用測(cè)試題材料外，還設(shè)計(jì)了兩份干預(yù)材料.在識(shí)別圖示階段，設(shè)計(jì)了識(shí)別圖示材料，在策略指導(dǎo)階段，設(shè)計(jì)了策略指導(dǎo)材料.以下是針對(duì)這兩份材料的詳細(xì)描述.

4.3.1 識(shí)別圖示材料 針對(duì)累積法、構(gòu)造法與變形法這三種方法，在干預(yù)過程的識(shí)別圖示階段設(shè)計(jì)了識(shí)別圖示材料.此材料主要展現(xiàn)了每種方法圖示的特點(diǎn)，干預(yù)者根據(jù)此材料，提供明確的指導(dǎo)，說明如何識(shí)別特點(diǎn)不同的各個(gè)圖示.表1以構(gòu)造法為例，展示了識(shí)別構(gòu)造法圖示的干預(yù)材料.

表1 識(shí)別構(gòu)造法圖示的干預(yù)材料

圖1 識(shí)別構(gòu)造法的圖示

4.3.2 策略指導(dǎo)材料 按照“發(fā)現(xiàn)-轉(zhuǎn)化-解決-檢查”的步驟，指導(dǎo)參與者形成學(xué)習(xí)策略.

表2 策略指導(dǎo)材料

4.4干預(yù)處理和數(shù)據(jù)收集為了消除干預(yù)過程中的霍桑效應(yīng)，本研究決定由通識(shí)教育環(huán)境中的課堂教師擔(dān)任第一干預(yù)者，該干預(yù)者在一所中學(xué)有若干年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn).此干預(yù)者同時(shí)作為第一數(shù)據(jù)收集者.其他研究人員通過收集整理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，獨(dú)立地對(duì)測(cè)試進(jìn)行評(píng)分.第一干預(yù)者在整個(gè)研究過程中，對(duì)參與者進(jìn)行獨(dú)立地指導(dǎo)和管理，而其余的參與者則在課堂老師的帶領(lǐng)下完成日常學(xué)習(xí)任務(wù).對(duì)每組參與者，完成3次基線的測(cè)量、12次獨(dú)立干預(yù)的測(cè)量、6次泛保持的測(cè)量.每一次的干預(yù)課程結(jié)束以后，將參與者的結(jié)果進(jìn)行整理分析.

圖2 轉(zhuǎn)化問題圖示

圖3 解決問題圖示

基線階段的處理近似于典型的課堂教學(xué)，但所有的教學(xué)都是單獨(dú)提供的.干預(yù)者出示基線測(cè)試，參與者獨(dú)立完成測(cè)試.整個(gè)過程沒有關(guān)于答案正確與否的反饋.隨后的獨(dú)立干預(yù)階段，干預(yù)者對(duì)如何識(shí)別每個(gè)圖示以及每個(gè)待解決問題的獨(dú)特特征提供了明確的講解與指導(dǎo)，并提出三個(gè)指導(dǎo)性問題(即“圖示中，數(shù)列是怎樣的形式?”“問題給出的已知條件中，數(shù)列是怎樣的形式?”“你能否根據(jù)問題的數(shù)列形式找到相應(yīng)的圖示?”);然后干預(yù)者與參與者討論問題的特征，最終使參與者確定問題的類型.干預(yù)者的指導(dǎo)結(jié)束后，參與者擁有練習(xí)的時(shí)間，以便熟悉和掌握確定的識(shí)別過程.策略指導(dǎo)材料詳細(xì)描述了解決問題的四個(gè)步驟，干預(yù)者的指導(dǎo)結(jié)束后，留給參與者一定的練習(xí)時(shí)間，以便熟悉和掌握運(yùn)用這一策略的過程；隨后參與者進(jìn)行獨(dú)立應(yīng)用練習(xí).在干預(yù)者提供測(cè)試題后，參與者獨(dú)立解決數(shù)列求通項(xiàng)問題，問題涉及到一兩種方法的運(yùn)用，整個(gè)過程沒有任何提示.測(cè)試結(jié)束后，由干預(yù)者收集整理相關(guān)數(shù)據(jù).保持階段在獨(dú)立干預(yù)階段結(jié)束后的當(dāng)天進(jìn)行.干預(yù)者提供測(cè)試題后，參與者獨(dú)立解決數(shù)列求通項(xiàng)問題，問題涉及到多種方法的綜合運(yùn)用，整個(gè)過程沒有任何提示.測(cè)試結(jié)束后，由干預(yù)者收集整理相關(guān)數(shù)據(jù).

4.5數(shù)據(jù)分析數(shù)據(jù)分析將從可視化分析和效應(yīng)大小(Effect Size，ES) 兩方面進(jìn)行.可視化分析針對(duì)數(shù)據(jù)的平均水平、趨勢(shì)、穩(wěn)定性和間距[17]，效應(yīng)大小(ES)依賴于可視化分析的結(jié)果，并在此基礎(chǔ)上分析干預(yù)數(shù)據(jù)和基線數(shù)據(jù)的非重疊數(shù)據(jù)百分比(Percent of Nonoverlapping Data，PND)、所有數(shù)對(duì)的非重疊百分比(Nonoverlap of All Pairs，NAP).

PND被直接解釋為干預(yù)數(shù)據(jù)的百分比,比基線有改善，基線用一個(gè)單一的、最離群的得分來表示[18].大效應(yīng)的PND標(biāo)準(zhǔn)建議大于0.90，中等效應(yīng)的PND標(biāo)準(zhǔn)建議在0.70到0.90之間，小效應(yīng)或可疑效應(yīng)的PND標(biāo)準(zhǔn)建議低于0.70.

NAP在比較中使用所有數(shù)據(jù)，是一組分?jǐn)?shù)分布與另一組分?jǐn)?shù)分布的比較[19].從統(tǒng)計(jì)學(xué)上看，這類似于觀察一項(xiàng)干預(yù)措施的隨機(jī)得分超過基線的概率.NAP的結(jié)果在0.50到1的范圍內(nèi)，其中0.86被認(rèn)為有很大的影響，而0.50則是沒有影響[20，21].

5 研究結(jié)果

本研究包括四組參與者，通過三個(gè)實(shí)驗(yàn)階段 (基線階段、獨(dú)立干預(yù)階段、保持階段)，測(cè)試了SBI干預(yù)對(duì)他們數(shù)學(xué)問題解決能力的影響.每組參與者完成3次的基線測(cè)試，12次的獨(dú)立干預(yù)測(cè)試，6次的保持測(cè)試，每組參與者的測(cè)試結(jié)果見圖4.

圖4 四組參與者的測(cè)試得分

A組參與者基線均值為59(范圍為53～62)，干預(yù)均值為62 (范圍為51～75)，維持均值為47 (范圍為40～55).從基線到干預(yù)和維持的平均水平變化分別為+3和-12.干預(yù)和維持的標(biāo)準(zhǔn)差分別為6.7和5.8.在開始干預(yù)后，學(xué)生分?jǐn)?shù)的立刻變化為+14.在9個(gè)干預(yù)數(shù)據(jù)中，有5個(gè)基線范圍內(nèi)的重疊數(shù)據(jù)點(diǎn)，PND值為0.44(4/9)，NAP值為0.68(18.5/27).在6個(gè)保持?jǐn)?shù)據(jù)中，有2個(gè)基線范圍內(nèi)的重疊數(shù)據(jù)點(diǎn)，PND值為0.77(4/6)，NAP值為0.83(15/18).

B組參與者基線均值為42(范圍為37～45)，干預(yù)均值為51 (范圍為43～58)，維持均值為40 (范圍為34～46).從基線到干預(yù)和維持的平均水平變化分別為+9和-4.干預(yù)和維持的標(biāo)準(zhǔn)差分別為4.9和4.2.在開始干預(yù)后，學(xué)生分?jǐn)?shù)的立刻變化為+12.在9個(gè)干預(yù)數(shù)據(jù)中，有2個(gè)基線范圍內(nèi)的重疊數(shù)據(jù)點(diǎn)，PND值為0.78(7/9)，NAP值為0.89(24/27).在6個(gè)干預(yù)數(shù)據(jù)中，有4個(gè)基線范圍內(nèi)的重疊數(shù)據(jù)點(diǎn)，PND值為0.33(2/6)，NAP值為0.64(11.5/18).

C組參與者基線均值為76(范圍為72～80)，干預(yù)均值為73 (范圍為66～83)，維持均值為64(范圍為56～71).從基線到干預(yù)和維持的平均水平變化分別為-3和-13.干預(yù)和維持的標(biāo)準(zhǔn)差分別為5.1和4.9.在開始干預(yù)后，學(xué)生分?jǐn)?shù)的立刻變化為-4.在9個(gè)干預(yù)數(shù)據(jù)中，有5個(gè)基線范圍內(nèi)的重疊數(shù)據(jù)點(diǎn)，PND值為0.44(4/9)，NAP值為0.67(18/27).在6個(gè)干預(yù)數(shù)據(jù)中，有0個(gè)基線范圍內(nèi)的重疊數(shù)據(jù)點(diǎn)，PND值為1(6/6)，NAP值為1(18/18).

D組參與者基線均值為35(范圍為32～39)，干預(yù)均值為43 (范圍為35～53)，維持均值為36(范圍為32～41).從基線到干預(yù)和維持的平均水平變化分別為+3和-22.干預(yù)和維持的標(biāo)準(zhǔn)差分別為4.8和2.8.在開始干預(yù)后，學(xué)生分?jǐn)?shù)的立刻變化為+14.在9個(gè)干預(yù)數(shù)據(jù)中，有1個(gè)基線范圍內(nèi)的重疊數(shù)據(jù)點(diǎn)，PND值為0.89(8/9)，NAP值為0.89(24/27).在6個(gè)干預(yù)數(shù)據(jù)中，有5個(gè)基線范圍內(nèi)的重疊數(shù)據(jù)點(diǎn)，PND值為0.16(1/6)，NAP值為0.53(9.5/18).

6 討論與結(jié)論

在以往的圖示教學(xué)干預(yù)研究中，主要的參與者都是小學(xué)生、初中生，研究的問題集中在加減乘除問題和比例比率問題.本研究針對(duì)數(shù)列求通項(xiàng)問題，設(shè)計(jì)了三個(gè)實(shí)驗(yàn)階段對(duì)圖式教學(xué)干預(yù)措施進(jìn)行評(píng)估，根據(jù)提出的三個(gè)研究問題，分析研究干預(yù)措施的有效性.

研究結(jié)果表明，A組、B組、D組的干預(yù)均值比基線均值有提高，C組干預(yù)均值比基線均值有下降；所有四組的保持均值比干預(yù)均值有下降，A組、B組、C組的保持均值比基線均值有下降，D組的保持均值比基線均值有提高；四組參與者基線均值的標(biāo)準(zhǔn)差為15.9，干預(yù)均值的標(biāo)準(zhǔn)差為11.3，保持均值的標(biāo)準(zhǔn)差為10.7，干預(yù)均值方差和保持均值方差比基線均值方差都有下降，獨(dú)立干預(yù)階段和保持階段四組參與者的成績(jī)比基線階段波動(dòng)程度更小，圖示教學(xué)干預(yù)調(diào)節(jié)了參與者間的成績(jī)差異.綜上所述，這些研究結(jié)果支持圖示教學(xué)干預(yù)在數(shù)列求通項(xiàng)問題中的有效性影響.

關(guān)于第一個(gè)研究問題，即圖示教學(xué)干預(yù)對(duì)學(xué)生解決數(shù)列求通項(xiàng)問題的效果如何.在實(shí)驗(yàn)中，A組、B組、D組的干預(yù)均值比基線均值有提高，C組干預(yù)均值比基線均值有下降.從PND值來看，A組、C組是低效應(yīng)影響，B組、D組是中效應(yīng)影響.從NAP值來看，A組、C組不屬于大效應(yīng)影響，B組、D組屬于大效應(yīng)影響.因此圖示教學(xué)干預(yù)對(duì)A組是低效應(yīng)的正向影響，對(duì)B組是高效應(yīng)的正向影響，對(duì)C組是低效應(yīng)的負(fù)向影響，對(duì)D組是高效應(yīng)的正向影響.

在獨(dú)立干預(yù)階段中，盡管從實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)到實(shí)驗(yàn)實(shí)施環(huán)節(jié)都進(jìn)行了隨機(jī)處理以減少不同識(shí)別圖示干預(yù)材料之間的影響，但各個(gè)識(shí)別圖示材料之間缺乏明確的區(qū)別，也無法做到完全的區(qū)別實(shí)施.關(guān)于A組和C組的低效應(yīng)表現(xiàn)結(jié)果，一個(gè)可能的原因是在識(shí)別圖示階段將不同求解方法結(jié)合起來實(shí)施.也就是說，在參與者運(yùn)用接受干預(yù)后求通項(xiàng)的某個(gè)環(huán)節(jié)中，可能被多種求解方法影響，即使將獨(dú)特的數(shù)學(xué)情境隨機(jī)分配到不同的干預(yù)條件下，所有實(shí)驗(yàn)材料的解決、所有干預(yù)條件的影響都可能是結(jié)合的結(jié)果.因此，應(yīng)用于某一個(gè)數(shù)學(xué)情境的解決方法可能會(huì)在其他干預(yù)條件下發(fā)揮作用.但A組依然顯示出了正向的效應(yīng)結(jié)果.關(guān)于C組小負(fù)向影響的一個(gè)可能的原因是，C組的基線均值處于較高水平，會(huì)對(duì)各種圖示干預(yù)都做出一定的反應(yīng)，但反應(yīng)結(jié)果與較高水平的基線相比，出現(xiàn)了可接受范圍內(nèi)的負(fù)向的波動(dòng).因此，圖示教學(xué)干預(yù)對(duì)學(xué)生解決數(shù)列求通項(xiàng)問題具有正向影響效果.

關(guān)于第二個(gè)研究問題，即學(xué)生接受圖示教學(xué)干預(yù)后的保持情況如何.四組參與者的保持均值比干預(yù)均值都下降，A組、B組、C組的保持均值比基線均值有下降，D組的保持均值比基線均值有提高.從PND值來看，A組是中效應(yīng)影響，B組、D組是低效應(yīng)影響，C組是高效應(yīng)影響.從NAP來看，A組、B組和D組不屬于大效應(yīng)影響，C組屬于大效應(yīng)影響.因此干預(yù)后的保持情況，圖示教學(xué)干預(yù)對(duì)A組是中效應(yīng)的負(fù)向影響，對(duì)B組是低效應(yīng)的負(fù)向影響，對(duì)C組是高效應(yīng)的負(fù)向影響，對(duì)D組是低效應(yīng)的正向影響.在保持階段中，四組參與者保持均值比干預(yù)均值均下降.應(yīng)當(dāng)注意到參與者在沒有任何提示的情境下獨(dú)立解決綜合問題，經(jīng)過單獨(dú)干預(yù)的圖示識(shí)別和策略指導(dǎo)之后，應(yīng)用到新的情境下解決綜合問題，出現(xiàn)了四組保持均值都下降的結(jié)果.A組和B組都在小效應(yīng)影響下有下降，C組是在大效應(yīng)影響下有下降，D組同樣是小效應(yīng)影響，但保持均值比基線均值有提高，說明經(jīng)過單獨(dú)干預(yù)后的D組參與者能夠掌握一些數(shù)列求通項(xiàng)問題的基本方法.因此，學(xué)生接受圖示教學(xué)干預(yù)后的保持情況不理想.

關(guān)于第三個(gè)研究問題，即圖示教學(xué)干預(yù)是否調(diào)節(jié)了學(xué)生間的成績(jī)差異.所有四組的基線均值為59、42、76、35，標(biāo)準(zhǔn)差為15.9，所有四組的干預(yù)均值為62、51、73、43，標(biāo)準(zhǔn)差為11.3，所有四組的保持均值為47、40、64、36，標(biāo)準(zhǔn)差為10.7，干預(yù)均值方差和保持均值方差比基線均值方差都有下降，獨(dú)立干預(yù)階段和保持階段四組參與者的成績(jī)比基線階段波動(dòng)程度更小，圖示教學(xué)干預(yù)調(diào)節(jié)了參與者間的成績(jī)差異.

雖然本研究有助于拓展數(shù)學(xué)領(lǐng)域中圖示教學(xué)干預(yù)的實(shí)證研究，但仍需注意幾個(gè)局限.第一，應(yīng)說明內(nèi)部效度(比如學(xué)生自身知識(shí)水平的成熟發(fā)展)和外部效度(比如四組參與者)對(duì)本研究的影響.而針對(duì)這一問題，對(duì)不同人群進(jìn)行重復(fù)研究或者選取多組參與者進(jìn)行干預(yù)研究可能會(huì)是比較好的解決辦法.第二，實(shí)驗(yàn)結(jié)果是特定數(shù)學(xué)問題情境下的干預(yù)結(jié)果，沒有評(píng)估干預(yù)措施對(duì)課堂表現(xiàn)的泛化結(jié)果.因此，尚不清楚學(xué)生在課堂作業(yè)和測(cè)試中的表現(xiàn)是否會(huì)有相似的反應(yīng).但本研究提供客觀可靠的數(shù)據(jù)支持，也能夠?yàn)橐院笙嚓P(guān)群體干預(yù)、課堂教學(xué)干預(yù)、數(shù)學(xué)其它技能干預(yù)等研究提供支持.第三，本研究針對(duì)的是中學(xué)生對(duì)數(shù)列求通項(xiàng)問題的應(yīng)用能力.目前還不清楚干預(yù)措施是否適用于更復(fù)雜的數(shù)學(xué)技能.更復(fù)雜的數(shù)學(xué)技能可能需要多次、多種干預(yù)才能有明顯的改善.因此，數(shù)學(xué)干預(yù)在多大程度上概括了復(fù)雜的數(shù)學(xué)技能還不得而知.

綜上所述，與基線階段相比，圖示教學(xué)干預(yù)在獨(dú)立干預(yù)階段對(duì)學(xué)生解決數(shù)列求通項(xiàng)問題具有正向影響效果，在保持階段情況不理想，但圖示教學(xué)干預(yù)能夠調(diào)節(jié)參與者間的成績(jī)差異.因此，圖式教學(xué)干預(yù)是一個(gè)有效的干預(yù)措施，它能夠調(diào)節(jié)參與者間的成績(jī)差異.未來更多的相關(guān)研究應(yīng)關(guān)注圖示教學(xué)干預(yù)對(duì)參與者保持情況的影響.