時滯依賴狀態(tài)的隨機脈沖隨機集值微分方程解的存在性

李文勝

(西安航空學(xué)院 理學(xué)院，西安 710077)

近些年來，時滯依賴狀態(tài)的微分方程或包含理論得到了許多專家學(xué)者的關(guān)注，取得了一些重要成果[1-3]，最近幾年，有關(guān)隨機多值微分系統(tǒng)解的存在性和可控性理論也相繼建立[4-6]。

本文主要考慮一類時滯依賴狀態(tài)的隨機脈沖隨機集值微分方程解的存在性：

y0=φ

(2)

y(ξk)=bk(τk)y(ξk)，i=1,2,…,n

(3)

1 預(yù)備知識

定義1.4 若以下三個條件成立：

(a) 當(dāng)0≤s≤r≤t≤a時， 有(t,s)→U(t,s)是強連續(xù)的。

(c)U(t,r)U(r,s)=U(t,s)，U(s,s)=I，0≤s≤r≤t≤a。

引理1.3 假如{A(t):t∈Rτ}生成一個線性發(fā)展系統(tǒng){U(t,s):0≤s≤r≤t≤T*}，則當(dāng)t>s時，{U(t,s):0≤s≤r≤t≤a}是緊算子[9]。

定義1.5t適應(yīng)隨機過程{y(t):t0-r≤t≤T}稱為問題(1.1)至(1.3)的溫和解，當(dāng)且僅當(dāng)

引理1.4[10](Kakutani型非線性抉擇) 令K是Hilbert空間Y中的一個凸閉子集，Λ是K的一個開子集且0∈K.

(ii) 存在v∈?Λ和λ∈(0，1)，使得v∈λGv.

2 主要結(jié)果

為了討論隨機集值微分系統(tǒng)(1.1)至(1.3)溫和解的存在性，假設(shè)以下四個條件成立：

H1.雙參數(shù)發(fā)展系統(tǒng){U(t,s),t>s}是緊算子，且存在M>0，使得當(dāng)t∈[t0,T*]時，有‖A(t)A(0)-1‖2≤M.

H3(ii) 存在一個可積函數(shù)m:Rτ→[0,+∞)和一個連續(xù)非負函數(shù)W*:[0,T*]→[0,T*]，使得

H4.存在正常數(shù)Q，使得

定理2.1.假設(shè)上述條件成立.如果

則隨機集值微分系統(tǒng)(1.1)至(1.3)的溫和解是存在的.

令Γ=Γ1+Γ2, 其中

接下來分幾步證明(1.1)至(1.3)的溫和解是存在的:

第一步，對每個y∈B，Γ(y)是凸的.

如果u1，u2∈Γ(y)，則存在g1，g2∈SF,y使得

令γ=(λu1+(1-λ)u2)(t)，0≤λ≤1，則有

因為SG,y是凸的(G有凸值)，所以λu1+(1-λ)u2∈Γ(y)

第二步，證明存在一個開集Ω∈B，使得當(dāng)λ∈[0,1]，u∈?Ω時，u?λΓy.

記B*={y:(t0,T)→X;y0∈B,y|Rτ∈C(Rτ,X)}，對任意的y∈B*，記‖·‖T是B*的半范數(shù)并定義為:

‖y‖T=‖y0‖B+sup{‖y(s)‖:t0≤s≤T*}

令u∈λΓy，則存在g∈SG,y，使得

則有

E‖z(t)‖2≤3Q2M2E‖φ(0)‖2+(‖A(0)-1‖2L1(E‖φ‖2)+1)+3Q2‖A(0)-1‖2(L1(E‖u‖2)+1)

定義μ(t)=sup{E‖us‖2:t0≤s≤t}，t0≤t≤T*，令ζ=3M2max{1,Q2}(T-t0)因此

N=3Q2M2E‖φ(0)‖2+(‖A(0)-1‖2L1(E‖φ‖2)+1)+3Q2‖A(0)-1‖2(L1(E‖u‖2)+1)

因此

由H4可知，存在M，使得‖μ‖≠M，集合Ω={v∈B, ‖v‖B

第三步，Γ1是壓縮的。

如果u,v∈B，有

第四步，Γ2是全連續(xù)多值映射。

(i) 顯然Γ1(Br)是有界的，Bi={y∈Y:‖y‖2≤r}

(ii) (Γ2Br)(t)={u(t):u∈Γ2(Br),t∈[t0,T]}是相對緊的。

當(dāng)t=t0時，易知Γ2(Br)(t)是相對緊的。令t0

因為U(t,s),(t>s)是緊的，則對任意的0<ε

當(dāng)ε→0時，上式右端一致收斂于零。因此，存在相對緊集序列無限逼近于集合{u(t):u∈Γ2(Br)}，由此可知，集合{u(t):u∈Γ2(Br)}為Y中的相對緊集合。由Arzela-Ascoli引理可知Γ2是全連續(xù)集值映射。Γ2有閉圖可參見文獻[5]。所以，Γ2是上半連續(xù)算子。 因此Γ=Γ1+Γ2是凝聚且上半連續(xù)的映射。由引理2.4可知，隨機集值微分系統(tǒng)(1.1)至(1.3) 有一個溫和解。

3 結(jié)語

利用隨機分析有關(guān)理論結(jié)合適當(dāng)?shù)募涤成洳粍狱c定理結(jié)合，在時滯依賴狀態(tài)相關(guān)方法以及抽象的相空間里所給定的適當(dāng)條件的基礎(chǔ)上，先將集值微分方程轉(zhuǎn)化成積分系統(tǒng)，然后按照所給集值映射不動點定理證明了一類時滯依賴狀態(tài)的隨機脈沖隨機集值微分方程解的存在性，此存在性的分析方法對同類微分系統(tǒng)解的存在性的研究具有一定的促進意義。