淺談分類思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

耿麗萍 崔君玉

【內(nèi)容摘要】隨著數(shù)學(xué)教學(xué)的不斷發(fā)展，數(shù)學(xué)思維能夠極大地幫助學(xué)生探索數(shù)學(xué)的奧秘，幫助學(xué)生建立良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，使得學(xué)生對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生濃厚的興趣，逐步培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和實踐能力。教師加強數(shù)學(xué)思維的學(xué)習(xí)和教學(xué)，對于學(xué)生的智力開發(fā)具有重要作用，對于學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題，提升自身的數(shù)學(xué)能力具有重要價值。分類思想就是初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的重點，通過分類思想能夠極大地豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)體系，對于學(xué)生學(xué)習(xí)初中數(shù)學(xué)解題產(chǎn)生事半功倍的效果。本文從分類思想在方程題、幾何題和分式題三方面討論初中數(shù)學(xué)解題分類思想的應(yīng)用，通過具體的例題使得學(xué)生對于分類思想產(chǎn)生興趣。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)解題? 分類思想? 教學(xué)策略? 應(yīng)用

初中數(shù)學(xué)解題學(xué)習(xí)是初中生學(xué)習(xí)生涯的關(guān)鍵時期，在這階段開展分類思想的數(shù)學(xué)教學(xué)，對于學(xué)生的思維發(fā)展和學(xué)習(xí)習(xí)慣的養(yǎng)成具有重要作用。教師應(yīng)該充分重視數(shù)學(xué)分類思想的重要性，要讓這種思維始終貫穿在初中數(shù)學(xué)解題知識的學(xué)習(xí)過程中看，這對于學(xué)生正確分析初中數(shù)學(xué)解題的核心要素，提升學(xué)生對于數(shù)學(xué)知識和題目的理解程度都具有重要作用，教師應(yīng)該積極創(chuàng)新分類思想教學(xué)方法，這對于學(xué)生正確理解初中數(shù)學(xué)解題知識，提升自身運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力具有重要作用。

一、分類思想在方程題目中的應(yīng)用

分類思想的學(xué)習(xí)對于學(xué)生數(shù)學(xué)綜合能力的提高具有重要的作用，教師應(yīng)該充分這一點，要從運用這種分類思想的數(shù)學(xué)例題出發(fā)，使得學(xué)生從這些例題中學(xué)習(xí)相關(guān)的學(xué)習(xí)方式和學(xué)習(xí)方法，通過分類思想去解決方程問題。在解題例題講解的過程中要從實際出發(fā)，充分引起學(xué)生的興趣和好奇心，幫助學(xué)生建立準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)問題分析習(xí)慣，使得學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)得到真正的提高。而分類思想在方程例題學(xué)習(xí)的過程具有非常重要的作用，方程問題涉及的問題就是一個分類討論的過程，針對不同的定義域和取值范圍，最終的方程題目的答案都是不同的。教師要通過各種有效的方式促進(jìn)學(xué)生對于方程問題中分類思想的學(xué)習(xí)和掌握，充分利用分類思想在教學(xué)過程中的使用，特別是在方程問題求解的過程中的運用，使得學(xué)生能夠真正把握這個思想的精髓，在具體的題目求解過程中始終把握住重點和難點①。

比如，在學(xué)習(xí)初中數(shù)學(xué)解題例題“已知方程m2x2+（2m+1）x+1=0有實數(shù)根，求m的取值范圍”這個問題的求解就是一個非常經(jīng)典的分類討論的思想。在這個問題的求解過程中，合理的分類討論對于問題的求解就是一個非常重要的過程。教師應(yīng)該充分重視分類思想在問題范圍取值的重要性，從而最終合理地求解問題，幫助學(xué)生建立良好的數(shù)學(xué)問題的分類習(xí)慣。在問題的分析過程中，教師應(yīng)該讓學(xué)生明確這個問題分類討論的界定條件，實現(xiàn)對于問題的合理分類，從而最終使得問題得到合理的解決。首先，這個問題教師應(yīng)該讓學(xué)生分析，m的取值范圍：如果m=0，這時候方程變成了一個一元一次方程x+1=0，這時候問題的答案就是x=1;當(dāng)m≠0時，這時候方程就變成了二元方程，這時候問題的求解就是一個比較復(fù)雜的過程，教師應(yīng)該讓學(xué)生充分分析，在m≠0的條件下，這個問題的結(jié)果就會變得不同，這個問題的求解就需要二元一次方程的解的判斷條件b2?4ac，根據(jù)這個條件判斷m的取值范圍，通過這樣的分類討論的過程，教師能夠?qū)W(xué)生的分類思想進(jìn)行整體的把握和概括，從而使得學(xué)生這種分類思想得到進(jìn)一步的提高和完善。在m≠0時，最終求出了m的取值氛圍，m≥?1/4。最后結(jié)合這兩個分類討論的結(jié)果進(jìn)行總結(jié)和歸納，最終得到m的取值范圍，就是這兩個取值范圍的交集，從而最終求出了這個問題的最終答案：m≥?1/4。通過這樣的過程，最終實現(xiàn)問題的合理求解，幫助學(xué)生建立良好的分類討論的習(xí)慣。分類思想在方程方面的運用是方程求解過程中的重要部分，這對于學(xué)生方程的學(xué)習(xí)是非常必要的部分，教師應(yīng)該充分重視分類思想在方程求解過程中的運用，從而提高學(xué)生對綜合數(shù)學(xué)分類思想的理解。

二、分類思想在幾何題目中的應(yīng)用

學(xué)生的分類思想不是短時間就可以形成的，教師應(yīng)該在具體的實際過程中教授給學(xué)生，讓學(xué)生學(xué)會在課堂上就逐步利用分類思想去求解問題的好習(xí)慣，使得學(xué)生能夠?qū)τ谝粋€具體的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行深入的分析和理解，幫助學(xué)生建立良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，幫助學(xué)生建立分類思想，從而提高學(xué)生的能力。學(xué)生在課堂上進(jìn)行例題的訓(xùn)練過程中，教師應(yīng)該在教學(xué)的過程中穿插分類思想，使得學(xué)生觀察數(shù)學(xué)問題之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而逐步地細(xì)化數(shù)學(xué)問題，將一個復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，從而使得數(shù)學(xué)問題得以求解，要幫助學(xué)生建立起合理的分類思想習(xí)慣。分類思想在初中例題幾何方面也有著非常重要的作用，通過分類思想，對于一些幾何問題進(jìn)行分類，從而使得問題變得更加簡單，教師應(yīng)該充分重視這種分類思想在數(shù)學(xué)幾何中的應(yīng)用，要讓學(xué)生深入思考一個幾何圖形的求解不單單可以從基礎(chǔ)的思想出發(fā)分析，也可以從分類的角度對于問題進(jìn)行深入地分析和討論，這樣幾何問題的分類解決也能夠極大地提高學(xué)生的綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng)②。

比如，在學(xué)習(xí)初中數(shù)學(xué)解題“x2?9x+18=0的兩個根是等腰三角形的腰和底，求等腰三角形的周長”針對這個問題的求解，就是一個分類討論的過程，針對這個問題的分析，教師應(yīng)該充分分析這個問題的核心部分，幾何問題與方程的結(jié)合，而且還有分類討論的思想，針對x2?9x+18=0 的根可以求出來是x=3或者x=6，但是等腰三角形的特性就需要仔細(xì)分析，那個是底，那個是腰，會分成兩種情況，同時也要考慮三角形的性質(zhì)，依據(jù)分類思想的過程，可以確定這個等腰三角形的過程中邊長可以是3，3，6或者6，6，3這是兩種基礎(chǔ)的情況，但是在分類討論結(jié)束后，還要需要對這個過程的三角形的性質(zhì)進(jìn)行分析，三角形的性質(zhì)兩邊之和大于等于第三邊，最終分析這兩個過程的求解都是成立的，最終求出這兩個過程最終答案，這個三角形的范圍就是12或者15，通過這兩個過程問題的求解和分析，問題的周長就可以得到最終的解決。教師應(yīng)該在這個幾何問題的分析和討論的過程中，要充分結(jié)合幾何圖形的性質(zhì)，分析不同的幾何圖形下滿足的條件，從而最終實現(xiàn)這個問題的合理分析和求解。學(xué)生在分析這個問題的過程中就可以將幾何圖形的性質(zhì)與方程問題進(jìn)行有機地結(jié)合，然后根據(jù)幾何圖形的性質(zhì)最終實現(xiàn)問題的合理分析，求出三角形的范圍。

三、分類思想在分式題目中的應(yīng)用

分類思想的訓(xùn)練需要不斷的實踐，教師應(yīng)該為學(xué)生創(chuàng)造一個良好的數(shù)學(xué)環(huán)境，使得學(xué)生能夠在這個數(shù)學(xué)環(huán)境中進(jìn)行具體的分類思想的訓(xùn)練，從而不斷提升學(xué)生自身的數(shù)學(xué)意識。分類思想的訓(xùn)練不僅僅是運用在分式、方程的例題求解過程中，在分式題目的例題求解過程中，分類思想也會發(fā)揮重要的作用，教師應(yīng)該充分重視分類思想在分式例題過程中的訓(xùn)練。通過這些例題的訓(xùn)練，學(xué)生的分類思想能力也會得到本質(zhì)的提升，分類思想在分式的求解的過程中具有十分重要的作用，教師應(yīng)該充分重視分式題目中的分類思想的運用，使得學(xué)生在求解問題的過程中注重合理的分類，從而保證問題的結(jié)果不會落下，保證數(shù)學(xué)問題求解過程的完整性，最終使得一個數(shù)學(xué)分式問題能夠得到合理的解決。此外，教師在運用分類思想在分式問題求解過程中，要注意一些合理的情況，一些特定的情況，分類的過程中要注意邊界條件的合理界定，這樣邊界條件的合理性才能夠得到合理地區(qū)分，這是分類討論的基礎(chǔ)，只有分類的邊界條件合理地確定，這樣一個數(shù)學(xué)分類討論問題才能夠得到合理的解決。

比如，在學(xué)習(xí) “分式問題的過程中? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?無解，求a的范圍”針對這個分式問題的分析，也需要分類討論的思想，這個分類討論的過程就是一個界定不同取值的條件，教師應(yīng)該首先根據(jù)題目的假設(shè)條件給學(xué)生合適的引導(dǎo)，使得學(xué)生清楚這個分式問題是需要進(jìn)行分類討論的，首先，教師應(yīng)該幫助學(xué)生進(jìn)行合理的問題化解，首先去掉分母，得到3（x+3）+ax=4（x-3），然后進(jìn)一步地化解，得到（a-1）x=-21，針對這個a的取值范圍就要進(jìn)行一定的分類討論，關(guān)于x的無解情況不是唯一的，教師一定要讓學(xué)生清楚這個問題，只有學(xué)生清楚這個x的取值不是唯一的，通過分式的分母不能夠等于零，這個基礎(chǔ)的條件作為基礎(chǔ)的出發(fā)點，從而最終實現(xiàn)問題的合理求解過程，最終幫助學(xué)生建立良好的數(shù)學(xué)問題的分析和理解過程，最終實現(xiàn)問題的合理求解。我們問題的分式進(jìn)行分解，x=-3，x=3的時候這個方程都是無解的，這就是問題的出發(fā)點，分類討論這兩種情況，在分析完這兩種情況之后，教師應(yīng)該幫助學(xué)生理解這個問題的具體分類討論過程，將（a-1）x=-21變成一個分式，就是x=? ? ? ? ?，結(jié)合前面的討論，? ? ? ? =?3或者? ? ? ? ?=3，這兩種結(jié)果，可以求出a的取值范圍，但是這個問題的分析不僅僅就是這兩個取值的，還要考慮一些其他的情況，因為? ? ? ? ? 這個分式的求解過程就應(yīng)該仔細(xì)分析，分母不等于0 的基礎(chǔ)條件不應(yīng)該忘記，那么這個問題的分析過程就應(yīng)該考慮a-1=0，這時候分式的最終答案也是無解的，因此，這個問題的分析和理解過程就是上面討論這三個問題的答案，從而最終得到問題的答案a=8，或者a=-6，或者a=1，從而最終實現(xiàn)這個問題的合理求解，最終實現(xiàn)問題的合理解答。

總之，初中數(shù)學(xué)解題分類思想的教學(xué)對于學(xué)生的能力提高具有重要作用，通過分類思想的學(xué)習(xí)，學(xué)生對于問題的分析和理解都會不斷地深入，對于問題的本質(zhì)也會更加清楚，這對于學(xué)生的發(fā)展和認(rèn)知都會產(chǎn)生不可忽視的作用，分類思想作為初中數(shù)學(xué)解題的重要部分，必須應(yīng)該引起充分的重視，教師不應(yīng)該僅僅局限于初中數(shù)學(xué)解題簡單的例題的分類思想的運用，更應(yīng)該發(fā)散思維，從數(shù)學(xué)問題的分析，模型的檢驗各個方面都應(yīng)該運用，教師應(yīng)該積極尋求方法，提升學(xué)生的分類思想意識和運用分類思想去求解具體數(shù)學(xué)問題的能力，完善學(xué)生的綜合數(shù)學(xué)素質(zhì)。

【注釋】

① 楊建平. 淺談分類討論思想在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J]. 學(xué)周刊，2013.

② 劉英. 淺談分類討論思想在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J]. 陜西教育科研，2003（04）：48-51.

（作者單位：山東省淄博市臨淄區(qū)實驗中學(xué);山東省淄博市臨淄區(qū)雪宮中學(xué)）