公理演繹體系對初中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的啟發(fā)

晉家奎

摘要： 數(shù)學(xué)思維是指通過大腦而實現(xiàn)對于現(xiàn)實存在物體及其他空間屬性對象間的一種數(shù)量關(guān)系和本質(zhì)特征的理論反映。筆者認為，數(shù)學(xué)課堂應(yīng)該是美麗且合乎理性的。初等階段的數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)尤其重要，其作為建立在數(shù)學(xué)大廈底層的基石，決定著未來各類學(xué)科取得巨大成就的上限。然而，許多初中生在研究和學(xué)習(xí)語文數(shù)學(xué)這一一門理論性極強的綜合型學(xué)科時，往往都存在著兩個重要問題：一就是其認知能力水平的限制，使其認知思維過程中形成了一個邏輯閉環(huán); 二是其心智的不成熟使其易受到情緒影響。因此，亟待從理論層面論述公理演繹體系和良好的心態(tài)對初中生進行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的啟發(fā)式作用，從而對其學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識起到極大的幫助。

關(guān)鍵詞：初中生 公理演繹體系 鄧寧-克魯格心理效應(yīng) 中學(xué)數(shù)學(xué)

如何學(xué)好中學(xué)數(shù)學(xué)？我想這是許多家長和學(xué)生都在思考的一個問題。對于成績的提高，和絕大多數(shù)事情一樣，老師只是外因，但最重要的是學(xué)生自己（內(nèi)因）。有兩種孩子我是不太愿意在他們身上浪費時間的：1. 懶惰，自己不想學(xué)習(xí)的孩子。有一句話叫做“天助自助者”，如果一個人自己不愿意改變，沒有人能夠幫得了他。2. 自以為是。有些孩子掃一眼別人的中肯建議，然后不加以嘗試和實踐，便說“這個方法不適合我”。不好意思，你沒有那么特別。人的共性遠遠大于個性，這是教育有存在必要的邏輯基石。我不相信“適合你的方法”，只相信科學(xué)的方法。以升學(xué)考試為例，數(shù)學(xué)是其中最容易拉開差距的一門課程?；A(chǔ)扎實，認真踏實的學(xué)生往往能考到近乎滿分;而普通學(xué)生可能被其甩開二三十分。因此有言：得數(shù)學(xué)者得中考。筆者認為，學(xué)好數(shù)學(xué)的兩大關(guān)鍵在于：1.扎實的理論基礎(chǔ)、清晰的邏輯體系;2.正確的心態(tài)?；谏鲜?，以公理演繹體系為主進行理論知識的學(xué)習(xí)與思維框架的搭建;輔之以鄧寧的心理效應(yīng)積極調(diào)節(jié)心態(tài)，自信面對困難，對初中生數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)將會有著極大的幫助與啟發(fā)。受之認知水平的局限性，初中生在思維上常常陷入邏輯閉環(huán)，對某個知識往往只停留在表面的理解層面，認為自身已經(jīng)真正掌握了這個知識點。這種假象使自己進一步陷入盲目自信之中，即鄧寧-克魯格心理效應(yīng)中所描繪的“自信之巔“。然而，這種缺乏邏輯思維體系和盲目自信的心態(tài)不利于中學(xué)生進行數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)。因此，亟待從理論層面論述公理演繹體系和良好的心態(tài)對初中生進行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的啟發(fā)式作用。

談方法論：公理化演繹法及其體系

演繹方法是指從對于事物進行概括的一般性前提中推論得出具有個別性的結(jié)論[1]。其主要特點之一就是滿足下列條件：1）若經(jīng)過的為正確的推理過程2）如果所得到的結(jié)論也都是正確的。演繹法的基本格式為三段論：若 s （集合）具有 p 的性質(zhì)（集合共性），且 s （ x ）為 s 的子集，則 s （ x ）具有 p 的性質(zhì)。簡化為，若大的前提成立，且小的前提也成立的話，得出的結(jié)論可以作為正命題。在科學(xué)中，最直接使用公理化的演繹方式就是對這種公理化的演繹。公理化的演繹主要是從一個或少數(shù)幾個人的基本概念，公理，公設(shè)角度出發(fā)，通過邏輯的演繹推理，得出一系列的結(jié)論，建立起一套理論體系的方法。這些基本概念，公理，公式具有兩個特點：1）最基礎(chǔ)，不能被推導(dǎo)出 2）無需證明自證為真，為真命題。同時，由于演繹法的特點，在建立公理化理論的時候，需要盡可能的要求前提的正確性，既公理體系內(nèi)部的無矛盾性與完備性。同時也需要要求推理過程的正確性。但是，公理并非真理，不能用靜止的眼光去看待公理，科學(xué)往往是在公理體系理論內(nèi)部的矛盾中突破而發(fā)展出新的理論。例如愛因斯坦根據(jù)伽利略相對性原理與經(jīng)典電磁學(xué)的矛盾，提出新的公設(shè)，演繹推導(dǎo)，建立起狹義相對論。另一方面，隨著人的認識不斷進步，認識到更深一步的客觀規(guī)律，舊的公理也可能不再是最基礎(chǔ)不證自明的存在，例如由否定歐式幾何的第五公設(shè)，而建立起的非歐集合。

人的共性往往大于個性，這是教育存在必要的邏輯基石?？茖W(xué)的學(xué)習(xí)方法，將對初中生進行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)起到正向促進作用。然而很多學(xué)生基礎(chǔ)不扎實，不會用數(shù)學(xué)語言來學(xué)習(xí)概念，定理。正如我們上面所述，數(shù)學(xué)是一門十分嚴謹?shù)膶W(xué)問。數(shù)學(xué)家們認為日常生活語言（如中文、英文）往往存在歧義，不利于理性思考。他們致力于從理論層面解決這一問題，于是從歐幾里得的幾何原本開始，就引入了幾何語言（數(shù)形結(jié)合等）。而從笛卡爾開始，我們用字母抽象地代表數(shù)，從而誕生了代數(shù)語言（代數(shù)式、方程、不等式和函數(shù)自然隨之誕生）。對于數(shù)學(xué)上的每一個概念，我們都應(yīng)利用數(shù)學(xué)語言對其一絲不茍地理解，這樣才能真正學(xué)好數(shù)學(xué)。例如：

什么叫做有理數(shù)？

許多學(xué)生往往支支吾吾，回答缺乏清晰的邏輯，這就是基礎(chǔ)不扎實的標志。我們應(yīng)當從公理演繹體系出發(fā)，用數(shù)學(xué)語言將其表達出來：

若一個數(shù)Q可以表示為 ，其中m，n均為整數(shù)，且m，n互質(zhì)，則就稱數(shù)Q為有理數(shù)

有了這個嚴格的數(shù)學(xué)語言的定義，并結(jié)合公理演繹體系，我們才能證明以下定理：（1）若p是無理數(shù)，q是有理數(shù)且q不等于0，那么pq是無理數(shù)。（2）若p是無理數(shù)，q是有理數(shù)，那么p與q進行加減運算后是無理數(shù)。請讀者自證。在建立公理演繹體系的基礎(chǔ)上，我們應(yīng)盯住目標，將其和已知相結(jié)合，聯(lián)想相關(guān)的定理，定義、方法，大膽猜測，小心求證！綜上，構(gòu)建公理演繹體系并將其融合到中學(xué)生日常學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，將會增強其思維邏輯性，從而更好地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。

鄧寧心理效應(yīng)在初中生學(xué)習(xí)心態(tài)上的體現(xiàn)

現(xiàn)階段初中生心智的不成熟，認知能力的局限性[2]，使其往往容易受到情緒波動，從而影響自己的日常學(xué)習(xí)。受之認知水平的局限性和心智的不成熟，初中生在思維上常常陷入邏輯閉環(huán)，對某個知識往往只停留在表面的理解層面，認為自身已經(jīng)真正掌握了這個知識點。這種假象使自己進一步陷入盲目自信之中。然而，這種缺乏邏輯思維體系和盲目自信的心態(tài)，將會對日后數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生極大的消極作用。從愚昧之巔到絕望低谷，上面這條曲線被稱之為達克效應(yīng)。這幾乎是每個人認知前進的必經(jīng)之路。簡單點概括這個過程，當我們對某個事物完全不了解的時候，處于坐標系的零點位置，這時候的我們，知道自己不知道。但我們逐漸深入一點時，很快有一個開悟的過程，這種開悟會讓我們覺得自己“都懂了”，“那玩意也不過如此”。這時的我們，就處于愚昧之巔。但打擊就接踵而至，很快會陷入低谷，覺得太難了，這就是絕望低谷。在絕望低谷之后，是緩慢的回升，上圖中叫開悟之坡。為什么會產(chǎn)生這個現(xiàn)象？因為這是認識事物從整體到細節(jié)的過程！整體是宏觀的，簡單的，概念化的，而細節(jié)是繁瑣的，雜亂的，甚至無規(guī)律的。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程亦是如此。

總結(jié)與展望

思維能力的培養(yǎng)和學(xué)生健康的學(xué)習(xí)心態(tài)往往被現(xiàn)階段的中學(xué)老師所忽略，取而代之地是一味刷題、補課。殊不知，唯有將大廈的框架構(gòu)建好、基石打牢，如此才能在數(shù)學(xué)這一美妙的道路上一直走下去。這對于學(xué)生后續(xù)在高中和大學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)十分重要。因此我們在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和解題中必須十分重視嚴謹性這一點，具體就是要做到每一步都要有理有據(jù)[3]。數(shù)學(xué)大多數(shù)的推理需要符合假言推理這種演繹推理模式。我經(jīng)常對學(xué)生說： 學(xué)數(shù)學(xué)不能靠感覺，不允許說“我覺得…”，“我以為…”，每一步都要有理有據(jù)。同時，在知識的學(xué)習(xí)過程中，應(yīng)認真踏實，保持良好、正確的心態(tài)。希望每位同學(xué)都能做到“一日三省”，以公理演繹體系為主進行理論知識的學(xué)習(xí)與思維框架的搭建;輔之以鄧寧的心理效應(yīng)積極調(diào)節(jié)心態(tài)，自信、勇敢地面對困難！在追尋真理的道路上越走越遠！

參考文獻

[1] 數(shù)學(xué)問題解決認知模式及教學(xué)理論研究[D].南京師范大學(xué)

[2] 徐速.《國內(nèi)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理研究的綜述》[J]心理科學(xué)

[3] 史寧中《數(shù)學(xué)課程標準若干思考》[J]數(shù)學(xué)通報1-5