一類Kadomtsev-Petviashvili和(3+1)維KdV型方程的新行波解

林府標(biāo)，張千宏

(貴州財(cái)經(jīng)大學(xué)數(shù)統(tǒng)學(xué)院，貴州 貴陽 550025)

0 引言

目前雖然已經(jīng)提出了精確求解非線性偏微分方程的許多行之有效的方法，例如齊次平衡法[1-3]，指數(shù)函數(shù)法[4-5]，廣義Tanh函數(shù)法[6-8]，試探函數(shù)法[9-11]等，但是求解非線性偏微分方程并沒有普遍適用的統(tǒng)一方法，而且許多重要的非線性偏微分方程至今還沒有找到精確解.因此，繼續(xù)探索精確求解非線性偏微分方程的新方法和給出新的精確解是一項(xiàng)有實(shí)際意義和探究價(jià)值的工作.下列Riccati方程在流體力學(xué)、彈性振動(dòng)理論、生物學(xué)等眾多領(lǐng)域有著廣泛且重要的應(yīng)用：

(1)

特別地，廣義Tanh函數(shù)法的關(guān)鍵思想就是充分利用Riccati方程(1)進(jìn)行反復(fù)計(jì)算，將φ的所有導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化成關(guān)于φ的代數(shù)多項(xiàng)式，從而把非線性偏微分方程的精確求解問題歸結(jié)為非線性代數(shù)多項(xiàng)式方程根的探究問題.另外，運(yùn)用Riccati方程(1)的一個(gè)好處是參數(shù)b的符號可用于判斷所得行波解的數(shù)量和形狀.

眾所周知，Riccati方程(1)具有三角函數(shù)和有理函數(shù)類型的顯式精確解[6-8].另外，文獻(xiàn)[12]給出了Riccati方程(1)的12種類型的顯式精確解.運(yùn)用試探函數(shù)法結(jié)合Matlab軟件計(jì)算給出 Riccati方程(1)的8種類型的顯式新精確解，其結(jié)果列于表1，而表1中的顯式精確解在文獻(xiàn)[6-8，12]中并沒有給出.

本文首先用試探函數(shù)法結(jié)合Matlab軟件計(jì)算尋找Riccati方程(1)的顯式新精確解；其次運(yùn)用所獲得的Riccati方程(1)的新精確解構(gòu)造精確求解非線性演化偏微分方程的exp(-ψ(ξ))展式法；最后采用廣義Tanh函數(shù)法和exp(-ψ(ξ))展式法求解一類Kadomtsev-Petviashvili方程和(3+1)維KdV型方程的顯式新行波解.

表1 Riccati方程(1)的顯式新精確解

1 exp(-ψ(ξ))展式法的求解步驟

許多非線性偏微分方程[8-11]不能采用廣義Tanh函數(shù)法[6-8]獲得其精確解，例如不易找到精確解的Rosenau方程ut+uxxxxt+ux+uux=0.因此，為了尋找非線性演化偏微分方程的更多精確解，利用表1中Riccati方程(1)的精確解構(gòu)造exp(-ψ(ξ))展式法.事實(shí)上，在Riccati方程(1)中若令φ=exp(ψ(ξ))，則Riccati方程(1)可轉(zhuǎn)化變形為

(2)

其中ψ=lnφ(ξ)，而函數(shù)φ=φ(ξ)為Riccati方程(1)的解，其具體表達(dá)式可根據(jù)b的符號從表1中選取.考慮一般形式的非線性演化偏微分方程

F(u，ut，ux，uy，utt，uxx，uyy，uxt，…)=0.

(3)

其中：u=u(t，x，y)是未知函數(shù)；F是關(guān)于u和它的各階偏導(dǎo)數(shù)的多項(xiàng)式，并且含有最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)和非線性項(xiàng).

第一步 作行波變換ξ=x-ct+ky，其中c，k為常數(shù).假設(shè)方程(3)具有形如u(t，x，y)=v(ξ)的解，從而方程(3)約化變形為常微分方程

F(v，-cv′，v′，kv′，c2v″，v″，k2v″，-cv″，…)=0.

(4)

第二步 若可能，則先對方程(4)兩邊同時(shí)關(guān)于ξ積分1次或多次，然后假設(shè)方程(4)的解的表達(dá)式可寫成

v(ξ)=b0+b1exp(-ψ(ξ))+…+bn(exp(-ψ(ξ)))n.

(5)

其中：ψ=ψ(ξ)滿足方程(2)；正整數(shù)n可利用齊次平衡原理[1-3]通過方程(4)中最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)和非線性項(xiàng)得到；bi(i=0，1，…，n)為待定實(shí)參數(shù).

第三步 將v=v(ξ)的表達(dá)式(5)代入方程(4)，反復(fù)采用方程(2)結(jié)合Matlab軟件計(jì)算整理可得到關(guān)于exp(ψ(ξ))的多項(xiàng)式.因此分別令(exp(ψ(ξ)))j(j=0，1，…)的各項(xiàng)系數(shù)為零，即可獲得關(guān)于bi(i=0，1，…，n)，b，c，k的代數(shù)方程組.

第四步 利用吳消元法[13]結(jié)合Matlab軟件計(jì)算將求出的常數(shù)bi(i=0，1，…，n)，b，c，k代入方程(5)，可寫出方程(3)的新行波解，其中ψ=lnφ(ξ)，而函數(shù)φ=φ(ξ)可根據(jù)b的符號從表1中選取.

注1 對于未知函數(shù)u=u(t，x)，u=u(t，x，y，z)的情形，可類似地寫出exp(-ψ(ξ))展式法的求解步驟.

2 Kadomtsev-Petviashvili方程的新行波解

先考慮(2+1)維常系數(shù)Kadomtsev-Petviashvili(KP)方程：

(6)

其中α，β，γ均為自由參數(shù).KP方程(6)可看作KdV方程在高維情形的推廣，它可用于描述水波的運(yùn)動(dòng).作行波變換，令ξ=x-ct+ky，其中c，k為常數(shù)，且假設(shè)u(t，x，y)=v(ξ)為方程(6)的解.則方程(6)可約化為常微分方程βv″″+(γk2-c)v″+α(v′2+vv″)=0，于是對此方程兩邊同時(shí)關(guān)于ξ積分1次，并令積分常數(shù)為零得到

βv?+(γk2-c)v′+αvv′=0.

(7)

根據(jù)exp(-ψ(ξ))算法(5)的核心思想和齊次平衡原理[1-3]，在方程(7)中平衡v?和vv′項(xiàng)得到n=2.因此，假設(shè)方程(7)的解的表達(dá)式可寫成

v(ξ)=b0+b1exp(-ψ(ξ))+b2(exp(-ψ(ξ)))2.

(8)

其中:b0，b1，b2為待求常數(shù)；函數(shù)ψ=ψ(ξ)滿足方程(2).于是把(8)式代入方程(7)，反復(fù)利用方程(2)計(jì)算整理得關(guān)于exp(ψ(ξ))的多項(xiàng)式，分別令(exp(ψ(ξ)))j(j=0，1，…，5)的系數(shù)為零得到關(guān)于b0，b1，b2，b，α，β，γ，c，k的代數(shù)方程組：

bb2(αb2+12b2β)=0，bb1(αb2+2b2β)=0，b1(αb0+2bβ-c+γk2)=0，

(9)

其中：b0為自由常數(shù)；ψ=lnφ(ξ)，而函數(shù)φ=φ(ξ)可從表1中根據(jù)b的符號依次選取.進(jìn)而可寫出行波解(9)的具體表達(dá)式，但文獻(xiàn)[14]并沒有給出精確解.

類似地，利用廣義Tanh函數(shù)法[6-8]結(jié)合齊次平衡原理[1-3]，假設(shè)方程(7)的解的表達(dá)式可寫成

v(ξ)=b0+b1φ(ξ)+b2φ2(ξ).

(10)

其中：b0，b1，b2為待求常數(shù)；函數(shù)φ=φ(ξ)滿足Riccati方程(1).于是把(10)式代入方程(7)，反復(fù)利用Riccati方程(1)計(jì)算整理得關(guān)于φ的多項(xiàng)式，因此分別令φj(j=0，1，…，5)的系數(shù)為零得到關(guān)于b0，b1，b2，b，α，β，γ，c，k的代數(shù)方程組：

b2(αb2+12β)=0，b1(αb2+2β)=0，bb1(αb0+2bβ-c+γk2)=0，

(11)

其中：b0為自由常數(shù)；函數(shù)φ=φ(ξ)可根據(jù)b的符號從表1中依次選取.從而可寫出行波解(11)的具體表達(dá)式，但文獻(xiàn)[14]并沒有給出精確解.

考慮(3+1)維Kadomtsev-Petviashvili(KP)方程[15]

(12)

作行波變換ξ=x-ct+ky+λz，其中c，k，λ為常數(shù)，且假設(shè)u(t，x，y，z)=v(ξ)是方程(12)的解.則方程(12)可約化為常微分方程v″″+(c+k2+λ2)v″-6v′2-6vv″=0，對此方程兩邊同時(shí)關(guān)于ξ積分1次，并取積分常數(shù)為零得到

v?+(c+k2+λ2)v′-6vv′=0.

(13)

依據(jù)exp(-ψ(ξ))展式法(5)和齊次平衡原理[1-3]，在方程(13)中平衡v?和vv′項(xiàng)得到n=2.因此，方程(13)的解的表達(dá)式可假設(shè)寫為

v(ξ)=d0+d1exp(-ψ(ξ))+d2(exp(-ψ(ξ)))2.

(14)

其中：d0，d1，d2為待定常數(shù)；函數(shù)ψ=ψ(ξ)滿足方程(2).把(14)式代入方程(13)，反復(fù)利用方程(2)結(jié)合Matlab軟件計(jì)算得關(guān)于exp(ψ(ξ))的多項(xiàng)式，分別令(exp(ψ(ξ)))j(j=0，1，…，5)的系數(shù)為零，得到關(guān)于d0，d1，d2，c，k，λ，b的代數(shù)方程組：

bd2(d2-2b2)=0，bd1(3d2-b2)=0，-8b2-bc+6bd0-bk2-bλ2+18d2=0，

(15)

其中：d0，c，k，λ為常數(shù)；ψ=lnφ(ξ).根據(jù)b的符號，從表1中選取函數(shù)φ=φ(ξ)可寫出解(15)的具體表達(dá)式，但文獻(xiàn)[15-18]并沒有給出精確解.

同理，依據(jù)廣義Tanh函數(shù)法[6-8]結(jié)合齊次平衡原理[1-3]可設(shè)方程(13)的解的表達(dá)式為

v(ξ)=d0+d1φ(ξ)+d2φ2(ξ).

(16)

其中：d0，d1，d2為待定常數(shù)；函數(shù)φ=φ(ξ)滿足Riccati方程(1).把(16)式代入方程(13)，反復(fù)利用Riccati方程(1)結(jié)合Matlab軟件計(jì)算得關(guān)于φ的多項(xiàng)式，分別令φj(j=0，1，…，5)的系數(shù)為零，得到關(guān)于d0，d1，d2，c，k，λ，b的代數(shù)方程組：

d1(-18bd2+8b+c-6d0+k2+λ2)=0，bd1(2b+c-6d0+k2+λ2)=0，

(17)

其中d0，c，k，λ為常數(shù).根據(jù)b的符號，從表1中選取函數(shù)φ=φ(ξ)可寫出解(17)的具體表達(dá)式，但文獻(xiàn)[15-18]并沒有給出精確解.

3 (3+1)維KdV型方程的新行波解

考慮(3+1)維KdV型方程[19]

(18)

作行波變換ξ=x-ct+ky+λz，c，k，λ為常數(shù)，且假設(shè)u(t，x，y，z)=v(ξ)是方程(18)的解.則方程(18)可約化為常微分方程

λv(5)+kv?+30λv′v?+60λv′3-cv′+6kv′2=0.

(19)

類似地，利用廣義Tanh函數(shù)法[6-8]和exp(-ψ(ξ))展式法(5)求解方程(19)可獲得方程(18)的行波解.為了行文簡潔，省略其求解過程，僅給出方程(18)行波解的結(jié)果：

其中：c0，c，k，λ為常數(shù)，且k2+4cλ≥0；ψ=lnφ(ξ)，而函數(shù)φ=φ(ξ)可根據(jù)b的符號從表1中選取.上述找到的精確解文獻(xiàn)[18-19]并沒有給出.

4 結(jié)論

找到了Riccati方程的8種類型的新精確解，利用Riccati方程的新精確解構(gòu)造了exp(-ψ(ξ))展式法，此方法可用于求解非線性偏微分方程.采用廣義Tanh函數(shù)法和exp(-ψ(ξ))展式法獲得了(2+1)和(3+1)維Kadomtsev-Petviashvili方程及(3+1)維KdV型方程的新行波解.把Riccati方程的顯式新精確解結(jié)合廣義Tanh函數(shù)法和exp(-ψ(ξ))展式法可用于求解其他一些非線性演化偏微分方程的新精確解，例如文獻(xiàn)[15]中求解的Potential Kadomtsev-Petviashvili(PKP)方程uxt+3/2uxuxx+1/4uxxxx+3/4uyy=0.