外磁場(chǎng)對(duì)Casimir效應(yīng)的影響

關(guān)仙為，龍玉梅，巴合提古麗·阿斯里別克，劉輝，羅筱璇，張 雪，鄭泰玉

(1.東北師范大學(xué)物理學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130024； 2.新疆伊犁師范大學(xué)電子與信息工程學(xué)院，新疆 伊犁 135000)

零點(diǎn)漲落是電磁場(chǎng)量子描述的一個(gè)顯著特點(diǎn)，也是真空中導(dǎo)體板之間的Casimir力和原子與導(dǎo)體板之間的Casimir-Polder力產(chǎn)生的根源[1-2].此后科學(xué)家又做了很多有益工作，包括將Casimir-Polder力廣泛應(yīng)用在物理精密儀器及在不同材料中，如金屬、石墨烯[3]、超導(dǎo)材料[4].

Casimir力在納米結(jié)構(gòu)材料中發(fā)揮了重要作用，2013年Thompson提出利用聚焦的光學(xué)鑷子束[5]捕獲單個(gè)Rb原子，并將其耦合到固態(tài)器件上，即納米級(jí)光子晶體腔.該裝置也可用于測(cè)量基態(tài)原子和導(dǎo)體板之間的Casimir-Polder力.2018年科學(xué)家研究了原子與石墨烯片之間的Casimir-Polder相互作用及與環(huán)境的熱平衡理論[6]，并基于非零溫度下量子電動(dòng)力學(xué)原理，給出了Casimir-Polder自由能和力的表達(dá)式.

區(qū)域Ⅰ充滿電介質(zhì)；區(qū)域Ⅱ真空態(tài)圖1 理論模型示意圖

近年來(lái)越來(lái)越多的科學(xué)家研究排斥力，希望能夠克服納米技術(shù)中的靜摩擦問(wèn)題.理論研究已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了3種可以實(shí)現(xiàn)排斥力的方法，其中2種已經(jīng)被實(shí)驗(yàn)所證實(shí)[7-8].第3種方法要利用磁場(chǎng)獲得[9]，但是沒(méi)有實(shí)驗(yàn)?zāi)軌蜃C明.為了在理論上證明第3種方法，本文選擇不受電場(chǎng)影響，在磁場(chǎng)作用下得到自旋能級(jí)分裂的中子，將其放在一維介質(zhì)腔中，如圖1所示.本文首先得到腔壁之間Casimir力的表達(dá)式，然后通過(guò)改變參量研究外部磁場(chǎng)大小、腔長(zhǎng)、中子在腔中位置對(duì)力的影響.

1 理論模型

如圖1所示，本文將一個(gè)受外部磁場(chǎng)調(diào)控的中子置于腔中位置x0處，x<0空間內(nèi)充滿透明的電介質(zhì)，x>0空間內(nèi)為真空.腔的兩端x=-l和x=L(L→∞)處分別放置理想導(dǎo)體板，且在x=0處沒(méi)有涂層，允許其兩邊的場(chǎng)相互耦合[10].主要研究初態(tài)為裸基態(tài)時(shí)腔壁之間的動(dòng)態(tài)Casimir力.

哈密頓量寫(xiě)成

H=HN+HF+HI.

(1)

其中HN是中子的自由哈密頓量，在外部磁場(chǎng)的作用下中子的自旋態(tài)發(fā)生分裂，因此中子的自由哈密頓量可以寫(xiě)成

(2)

用HF表示有介質(zhì)存在時(shí)的電磁場(chǎng)哈密頓量，公式為

(3)

(4)

這樣相互作用哈密頓量的表達(dá)式為

(5)

2 腔壁之間的Casimir力

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

運(yùn)用微擾理論計(jì)算初態(tài)為裸基態(tài)系統(tǒng)的二階能移為

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

通過(guò)求能量的導(dǎo)數(shù)得到腔壁之間的Casimir力為

(16)

將(13)—(15)式代入到(16)式中，得到外磁場(chǎng)影響下的腔壁之間的Casimir力的表達(dá)式

(17)

其中：

(18)

(19)

用Si(x)和Ci(x)分別表示正弦積分函數(shù)和余弦積分函數(shù)[15].并引入輔助函數(shù)：

(20)

h2(x，t)=sin(x)[Ci(x+ω0t)+Ci(ω0t-x)]+cos(x)[Si(x+ω0t)-Si(ω0t-x)]；

(21)

(22)

(23)

3 Casimir力的討論

為了進(jìn)一步研究在外磁場(chǎng)作用下，含有中子的一維介質(zhì)腔腔壁之間Casimir力的特點(diǎn)以及中子位于腔中的位置和微腔尺寸對(duì)力產(chǎn)生的影響，進(jìn)行數(shù)值分析.

不同腔長(zhǎng)情況下力隨磁感應(yīng)強(qiáng)度大小變化關(guān)系示意圖見(jiàn)圖2.圖2中子在腔中位置x0、相對(duì)介電常數(shù)εr取固定值，微腔長(zhǎng)度l取不同值.從圖2中可以看出該力為正值，即為排斥力，且隨著磁感應(yīng)強(qiáng)度的增大，力逐漸增大.這說(shuō)明磁場(chǎng)對(duì)該力的大小有調(diào)控作用.在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相同時(shí)，微腔的長(zhǎng)度越小，力的數(shù)值越大.可以推測(cè)當(dāng)腔的長(zhǎng)度足夠長(zhǎng)時(shí)，由電磁場(chǎng)的零點(diǎn)漲落引起的Casimir力將會(huì)消失.

x0=-0.5×10-7 m，εr=1.44，t=1×10-13 s圖2 不同腔長(zhǎng)情況下力隨磁感應(yīng)強(qiáng)度大小變化關(guān)系示意圖

=2×10-7 m，εr=1.44，t=1×10-13 s圖3 中子位于腔中不同位置情況下力隨磁感應(yīng)強(qiáng)度大小變化關(guān)系示意圖

圖3表示微腔長(zhǎng)度l、相對(duì)介電常數(shù)εr取固定值，中子在腔中位置取不同值的情況下力隨磁感應(yīng)強(qiáng)度大小的變化趨勢(shì).由圖3可知，力仍隨磁感應(yīng)強(qiáng)度的增大而增大.磁感應(yīng)強(qiáng)度相同時(shí)，x0越小，即中子越靠近x=-l處的理想導(dǎo)體板，力的數(shù)值越大，這與二能級(jí)原子與腔壁之間的Casimir-Polder力的相關(guān)結(jié)論是相似的[16].

4 結(jié)論

本文在海森堡表象中運(yùn)用微擾理論得到含有中子的一維介質(zhì)腔壁之間的Casimir力[17].通過(guò)數(shù)值分析得到了不同因素對(duì)力的影響.結(jié)果表明，腔壁之間的力是排斥力，其大小受到外部磁場(chǎng)的調(diào)控，且隨微腔長(zhǎng)度的增加而減小.這說(shuō)明中子距離理想導(dǎo)體板越近作用力越明顯.該結(jié)果為實(shí)驗(yàn)中測(cè)得Casimir力提供了理論參考.