代數(shù)的認知與應用教學研究

郭薇

（安遠縣東江源小學，江西 贛州 342100）

[摘 要] “數(shù)”與“代數(shù)”是解決基本數(shù)學問題必不可少的支柱。從小學四年級起，代數(shù)已經(jīng)走進數(shù)學教材，豐富著學生的數(shù)學方法和思想。如何理解、運用好代數(shù)成為學生學習的一大瓶頸。從數(shù)學學習的角度看，學生需要深入了解代數(shù)，運用代數(shù)解決數(shù)學難題；從培養(yǎng)創(chuàng)新思維的角度看，學生以代數(shù)形式和思想為基礎，進行自主學習，不斷擴展自己的認知，建立數(shù)學知識之間的聯(lián)系。

[關鍵詞] 代數(shù)理論；數(shù)學思想；教學研究；功能作用

隨著數(shù)學問題的復雜化，小學高年級部分問題需要利用代數(shù)才可以得到快速解決。從廣義上看，代數(shù)涉及數(shù)、圖形、概率等領域；從狹義上看，代數(shù)可以解決同時存在兩個變量的問題，可以將問題的求解過程進行反向思維，利用代數(shù)的便捷性將求解思路簡化。從數(shù)學學習的角度看，學生需要深入了解代數(shù)，運用代數(shù)解決數(shù)學難題；從培養(yǎng)創(chuàng)新思維的角度看，學生以代數(shù)形式和思想為基礎，進行自主學習，不斷擴展自己的認知，建立數(shù)學知識之間的聯(lián)系。小學高年級學生對基本數(shù)學知識的理解和運用達到了一定高度，具備了研究代數(shù)的能力。因此，教師應利用好課堂時間，增強學生對代數(shù)的認識和應用能力，系統(tǒng)性地解決復雜問題。

一、小學階段的“代數(shù)理論”

小學生對代數(shù)的理解一般停留在“x、y”等感性符號的層次上。對小學階段的整個代數(shù)體系所知甚少，甚至很多教師沒有向?qū)W生明確提出代數(shù)概念。根據(jù)實際教學情況，學生將精力集中在代數(shù)應用上，而沒有深入思考和研究自己的學習方法和應用原理，使得學生無法及時運用代數(shù)知識解決問題。簡單地說，代數(shù)是利用特殊符號指代變量，利用變量的特性簡化整個求解思路和過程。通過對高年級教材內(nèi)容的整合會發(fā)現(xiàn)，代數(shù)用來表示公式、運算規(guī)律、方程式、不等式以及簡單函數(shù)。在學習“代數(shù)”知識的過程中，學生對“數(shù)”的認知提升了一個層次，培養(yǎng)了學生的符號意識和估算能力，將現(xiàn)實問題抽象為數(shù)學問題或數(shù)學模型，利用代數(shù)進行探究性思考。

二、小學階段“代數(shù)”知識背后的數(shù)學思想

代數(shù)知識和代數(shù)理論是潛藏于數(shù)學體系之中的，涉及多方面的知識，具有分散、靈活的特征。把握好代數(shù)教學的基礎是弄明白代數(shù)知識背后的數(shù)學思想。從本質(zhì)上去了解代數(shù)在數(shù)學學科中的作用，才能更加準確地把握代數(shù)教學課堂。

1.轉(zhuǎn)化思想

數(shù)學是為了解決現(xiàn)實問題而產(chǎn)生的科學，數(shù)學家布魯納提出：“代數(shù)就是將已知數(shù)與未知數(shù)按照數(shù)學規(guī)則排列，使得未知數(shù)成為已知數(shù)的表示方式。”從這句話中可以體會到代數(shù)理論中高深的轉(zhuǎn)化思想，這種轉(zhuǎn)化思想體現(xiàn)在數(shù)學問題的方方面面。

例如：師生十分熟悉的交換律、結(jié)合律、分配律等運算法則的表達方式為：a+b=b+a，（a+b）+c=a+（b+c），（a+b）c=ac+bc。如果采用文字或者數(shù)字表示這些法則，學生會陷入疲憊之中，而采用代數(shù)符號表示后，這個運算法則簡潔明了。漢字到符號的轉(zhuǎn)化、具體的現(xiàn)實問題到抽象的數(shù)學模型都是代數(shù)理論轉(zhuǎn)化思想的具體體現(xiàn)，幫助學生快速理解數(shù)學問題的處理方法，形成代數(shù)思維的意識。

2.替代思想

“數(shù)”是抽象的概念，“圖形”是具體的概念。利用“圖形”代替“數(shù)”，利用具體的概念代替抽象的概念用于幫助學生理解數(shù)學問題。一般情況下，我們利用抽象的符號來代替具體內(nèi)容，抽離出問題中的數(shù)學模型，方便找出條件之間的關系，但是，在具體的數(shù)值運算中，更需要培養(yǎng)學生“圖形”代替“數(shù)”的能力，提高計算的準確性和正確性。

3.逆向思維思想

在高年級數(shù)學教學中，代數(shù)知識得以運用最廣泛的部分為一元一次方程。在方程中，未知項不再是直接求解的對象，轉(zhuǎn)變?yōu)榻?shù)學等式的一個條件，利用數(shù)學等式上的關系進行反向求解。這種反向求解的思維方式和方法將逆向思維運用到了極致。學生在運用方程方法求解問題時，先找組成等式的條件，然后將未知項以x、y的符號形式進行帶入，最后，利用等式關系得出最終的結(jié)果。

三、代數(shù)知識在教材中的具體應用

以上兩個章節(jié)從代數(shù)理論和代數(shù)理論背后的思想兩個層面對代數(shù)進行了全面的分析和講解。代數(shù)的特征和思想并不能通過直接講解使學生獲得深入的體會，還需要結(jié)合教材中的具體內(nèi)容進行應用分析，讓學生從實踐中體會代數(shù)數(shù)學思想的優(yōu)越性。

1.“簡易方程”中的代數(shù)應用

按照教材的講解順序，從代數(shù)意識的培養(yǎng)做出，比較月球和地球舉重的數(shù)量關系，比較兩個人的年齡關系，定義周長、面積的表達方式；然后，提出了等式和等式關系概念，讓學生體會問題包含的內(nèi)在等價公式；緊接著，提出方程概念，將代數(shù)、等式、數(shù)值運算法則等內(nèi)容應用到組建方程的體系中，最后，利用方程解決現(xiàn)實問題。從整個知識體系可以看出，方程是由代數(shù)思想發(fā)展而來的，為學生解決現(xiàn)實應用問題提供了新途徑。

為了將方程、代數(shù)、數(shù)、圖形建立其緊密聯(lián)系，讓學生對數(shù)學知識形成全面理性的認識。教師應該抓住教材中的資源，進行深入講解和通透，確保學生數(shù)學知識的聯(lián)合、統(tǒng)一。

2.將代數(shù)應用于“運算結(jié)果奇偶性”的判斷

小學高年級對數(shù)的分類具有多種標準，包括奇偶性、質(zhì)數(shù)與合數(shù)等。對數(shù)的分類方便了數(shù)學計算的過程，對處理較大數(shù)值的乘除運算具有很大幫助。在教學中發(fā)現(xiàn)，學生對數(shù)的認知不夠深刻，對自己明顯的計算錯誤無法進行及時有效的檢驗。如果將代數(shù)引入其中，就可以幫助學生進行及時有效地檢驗。

通過運用知識巧妙地幫助學生得出“偶偶相加得偶，奇奇相加得奇，奇偶相加得奇”的結(jié)論。在數(shù)學中還有更多的結(jié)論可以通過代數(shù)進行推算出來，而不需要學生死記硬背。代數(shù)知識可以幫助學生從抽象的層面理解數(shù)學結(jié)論，重新認識數(shù)學教材中的法則和規(guī)律。教師應引導學生不斷探索數(shù)學世界的潛在規(guī)律，培養(yǎng)學生思考問題的能力，幫助學生快速成長。

3.符號在數(shù)學知識串聯(lián)中的應用

小學高年級數(shù)學知識具有總結(jié)性和延伸性，同時，淡化了數(shù)學知識板塊之間的界限，增加了數(shù)學知識之間的聯(lián)系。未知項代號可以幫助學生將不同知識串聯(lián)起來，實現(xiàn)不同板塊之間的溝通。其中最重要的部分是數(shù)學知識與方程關系的建立。

例如：在六年級接觸到的“百分制”知識。雖然百分制的形式是x%，但其與小數(shù)、分數(shù)的關系緊密，大多可以相互替代表達。當問題中涉及百分制數(shù)值時，可以將其轉(zhuǎn)化為分數(shù)，分出分子項和分母項，利用等式關系求出分子，得到所求比例。此外，六年級教材中延伸了坐標內(nèi)方向的表達，讓學生根據(jù)文字描述，分析出坐標內(nèi)的實際情況，確定好兩者之間的位置關系。在文字轉(zhuǎn)化為圖形的過程中，需要根據(jù)已知條件建立其對應等式，將未知項與已知內(nèi)容排列起來，進而求解出最終的答案。在小學數(shù)學知識總結(jié)和歸納階段，教師應該淡化知識板塊的界限，從組建整個數(shù)學體系的角度上，分析各部分知識的具體使用方法。代數(shù)可以將數(shù)學中大部分知識串聯(lián)起來，從逆向思維的角度去重新認識學過的內(nèi)容，重新構(gòu)造自己的學習框架。

小學數(shù)學代數(shù)知識和理論可以幫助學生深入理解數(shù)學法則、概念，探索數(shù)學運算中的規(guī)律，逆向思考數(shù)學問題，甚至利用方程式將加減乘除、分數(shù)和百分數(shù)、概率和數(shù)值關系等進行整合，進而解決數(shù)學中的復雜問題。教師應該認識到代數(shù)知識和思想的重要性，不斷滲透理論背后的數(shù)學思想，讓學生的數(shù)學素養(yǎng)得到有效提升。

參考文獻

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責任編輯 王 慧