對(duì)稱(chēng)因子表的快速形成及直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)PQ分解法的比較

陳 懇，丁 戈，3，唐婧璇，萬(wàn)新儒

(1.南昌大學(xué)信息工程學(xué)院，江西 南昌 330031；2.江西電力職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江西 南昌 330032；3.國(guó)網(wǎng)睢寧縣供電公司，江蘇 徐州 221200)

因子表法一般用于求解常系數(shù)線性方程[1-7]。不少文獻(xiàn)提及求取因子表時(shí)一般均采用“按行消元，逐行規(guī)格化”的過(guò)程[1,5]。對(duì)于對(duì)稱(chēng)矩陣，按行消元的方式并不利于根據(jù)元素的對(duì)稱(chēng)性進(jìn)行計(jì)算。文獻(xiàn)[1-2]雖提及利用對(duì)稱(chēng)性簡(jiǎn)化下三角元素計(jì)算，或僅存儲(chǔ)和計(jì)算上三角元素。但在按行消元的前代計(jì)算中，獲取下三角元素并不方便，而僅存儲(chǔ)和使用上三角元素也會(huì)增加對(duì)對(duì)角元的反復(fù)乘除計(jì)算。此外，文獻(xiàn)[1-6]中都是在形成因子表后再對(duì)對(duì)角元取倒數(shù)，無(wú)形增加了程序的除法運(yùn)算，降低了計(jì)算速度。

在牛頓-拉夫遜法(牛頓法)潮流計(jì)算基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的PQ分解法(PQ法)是電力系統(tǒng)中廣泛使用的潮流計(jì)算方法，其特點(diǎn)是將牛頓法潮流中變系數(shù)、不對(duì)稱(chēng)的雅可比矩陣簡(jiǎn)化成常系數(shù)、對(duì)稱(chēng)的系數(shù)矩陣，從而將有功無(wú)功分開(kāi)迭代[1-8]。然而當(dāng)系統(tǒng)中有PV節(jié)點(diǎn)時(shí)，直角坐標(biāo)牛頓法的方程數(shù)多于極坐標(biāo)牛頓法，且前者的潮流迭代次數(shù)有時(shí)也會(huì)多于后者。但在實(shí)際潮流計(jì)算中，一般前者的計(jì)算速度快于后者，主要原因是受后者三角函數(shù)計(jì)算的影響[12]。受極坐標(biāo)牛頓法的修正方程數(shù)及潮流迭代次數(shù)均少于直角坐標(biāo)牛頓法等表象的影響，極坐標(biāo)PQ法的應(yīng)用極為廣泛，而直角坐標(biāo)PQ法幾乎沒(méi)有被介紹和應(yīng)用。

本文對(duì)傳統(tǒng)因子表的形成過(guò)程進(jìn)行改進(jìn)，包括：規(guī)格化前就對(duì)對(duì)角元取倒，而不是在形成因子表后才將對(duì)角元取倒；采用逐行規(guī)格化按列消元的方式、利用對(duì)稱(chēng)矩陣的特點(diǎn)按對(duì)稱(chēng)算法形成因子表。分別將這些方法用于IEEE-30～-118節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)，可大大減少因子表的形成時(shí)間，提高計(jì)算速度。

通過(guò)比較系統(tǒng)中PV節(jié)點(diǎn)數(shù)、方程數(shù)、三角函數(shù)等對(duì)潮流迭代次數(shù)和計(jì)算速度的影響，對(duì)直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)PQ分解法的計(jì)算原理進(jìn)行了詳細(xì)地對(duì)比分析可發(fā)現(xiàn)，盡管極坐標(biāo)PQ法中的方程數(shù)和迭代次數(shù)均少于直角坐標(biāo)PQ法，但由于前者三角函數(shù)的計(jì)算，其潮流計(jì)算速度仍比后者慢很多。

1 對(duì)稱(chēng)因子表法

1.1 按行消元形成因子表的問(wèn)題

設(shè)n階線性方程組為AX=F。傳統(tǒng)因子表法對(duì)A陣采用“按行消元，逐行規(guī)格化”，對(duì)第k行元素消元后的A(k)′陣為式(1)。

(1)

(1)第1～k-1各行中僅一個(gè)元素與第k行中ak1～ak,k-1的一個(gè)元素對(duì)應(yīng)，其對(duì)應(yīng)元素的尋找、行列的變化均過(guò)于復(fù)雜。

(3)由于在形成整個(gè)因子表后才將所有的對(duì)角元取倒，在其規(guī)格化計(jì)算式如式(2)中仍然有不少除法計(jì)算而影響計(jì)算速度。

(2)

1.2 按列消元形成因子表的優(yōu)勢(shì)

如果對(duì)A陣采用“逐行規(guī)格化，按列消元”，且在每行元素規(guī)格化前將對(duì)角元取倒，則對(duì)第k列元素消元后得的A(k)′陣為式(3)。

(3)

(4)

(5)

比較“按行消元，逐行規(guī)格化”和“逐行規(guī)格化，按列消元”的計(jì)算過(guò)程可看出，后者在對(duì)應(yīng)元素的尋找、程序中行列的變化以及元素對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用上均有極大的優(yōu)勢(shì)。如果再考慮元素規(guī)格化前將對(duì)角元取倒，則還可進(jìn)一步提高計(jì)算速度。實(shí)際上，在形成因子表后對(duì)F陣的前代過(guò)程中，不少文獻(xiàn)均采用按行消元的計(jì)算方式[4]，如果該過(guò)程也用按列消元方式，同樣可大大提高計(jì)算速度。

1.3 對(duì)稱(chēng)因子表法

根據(jù)式(3)可看出，“逐行規(guī)格化，按列消元”是用第k行對(duì)角元及其以右的元素對(duì)對(duì)角元以下元素進(jìn)行消元。而對(duì)對(duì)稱(chēng)矩陣，其第k行對(duì)角元以右的元素與第k列對(duì)角元以下的元素僅相差其對(duì)角元。因此，在形成因子表的消元計(jì)算過(guò)程中，可僅計(jì)算上三角元素，而將規(guī)格化前對(duì)角元以右元素賦值給對(duì)角元以下相應(yīng)的元素獲得下三角元素。

根據(jù)上述計(jì)算規(guī)律，對(duì)稱(chēng)因子表的形成過(guò)程可歸納如下：

(1)將對(duì)第k行規(guī)格化前的元素賦值給第k列對(duì)角元以下的元素，再將對(duì)角元取倒后對(duì)第k行規(guī)格化，然后對(duì)第k列元素消元，且僅計(jì)算各行中的上三角元素；

(2)將對(duì)第k+1行規(guī)格化前的元素賦值給第k+1列元素，再將對(duì)角元取倒后對(duì)第k+1行規(guī)格化，再對(duì)第k+1列元素消元，且僅計(jì)算各行的上三角元素；

(3)依此循環(huán)。

對(duì)稱(chēng)因子表法是通過(guò)規(guī)格化前的上三角元素賦值得到，因而可省去所有下三角元素的計(jì)算，并由于對(duì)角元在規(guī)格化前取倒，可大大減少規(guī)格化的除法計(jì)算，從而加速因子表的形成。

1.4 對(duì)稱(chēng)因子表法中四角規(guī)則應(yīng)用

用四角規(guī)則可直接完成消元的前代計(jì)算而無(wú)需應(yīng)用消元計(jì)算公式[13]，大大簡(jiǎn)化程序的編制。

對(duì)第k列元素消元前后其簡(jiǎn)化矩陣如圖1所示。

用四角規(guī)則只要根據(jù)相應(yīng)元素在矩陣中的位置就可直接寫(xiě)出計(jì)算元素的表達(dá)式，而無(wú)需使用消元計(jì)算公式。且在對(duì)稱(chēng)因子表法中，只需計(jì)算所有的上三角元素，其下三角元素可通過(guò)規(guī)格化前的元素直接賦值得到。四角規(guī)則可大大簡(jiǎn)化編程計(jì)算。

2 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)PQ法的比較

2.1 極坐標(biāo)PQ法

極坐標(biāo)PQ法修正方程如式(6)、(7)。

[ΔP/V]=[B′][VΔδ]

(6)

[ΔQ/V]=[B″][ΔV]

(7)

展開(kāi)式(6)、(7)可得

(8)

(9)

2.2 直角坐標(biāo)PQ法

直角坐標(biāo)牛頓法修正方程式如式(10)。

(10)

由于電力網(wǎng)絡(luò)中各元件的電抗x遠(yuǎn)大于電阻r，因此有功功率Pi變化主要受電壓虛部fj影響，無(wú)功功率Qi和電壓幅值Vi變化主要受電壓實(shí)部ej影響，為此可略去式(10)中N、M、R子陣。再根據(jù)fi?ei、Gij?Bij，可得Gijfi≈0，并忽略接地支路。對(duì)式(10)中H、L、S子陣簡(jiǎn)化后可得直角坐標(biāo)PQ法修正方程如式(11)、(12)。

[ΔP/e]=[B′][Δf]

(11)

(12)

展開(kāi)式(11)、(12)可得式(13)、(14)

(13)

(14)

2.3 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)PQ法的比較分析

雖然極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)PQ法的計(jì)算原理接近，但仍有以下幾點(diǎn)主要不同：

(1)比較式(8)、(9)和式(13)、(14)可看出，與牛頓法類(lèi)似，極坐標(biāo)PQ法的方程數(shù)比直角坐標(biāo)PQ法更少。

極坐標(biāo)PQ法的式(8)、(9)中，B′陣為(n-1)階，B″陣為m階，且均為對(duì)稱(chēng)陣；直角坐標(biāo)PQ法的式(13)、(14)中，B′陣和B″陣均為(n-1)階，前者為對(duì)稱(chēng)陣，后者為不對(duì)稱(chēng)陣。

(2)雖然直角坐標(biāo)PQ法的式(14)中階數(shù)為(n-1)階，但由于其與PV節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的方程中僅其對(duì)角元為-2，其它元素均為零。因此式(14)中可只對(duì)第1～m個(gè)方程消元，而對(duì)第m+1～n-1個(gè)方程無(wú)需消元。因此可將式(14)方程簡(jiǎn)化為式(15)。

(15)

(3)分別比較式(8)、(9)和式(13)、(15)可看出，直角坐標(biāo)PQ法的有功迭代過(guò)程略簡(jiǎn)單，極坐標(biāo)PQ法的無(wú)功迭代過(guò)程略簡(jiǎn)單。

(4)極坐標(biāo)PQ法中在節(jié)點(diǎn)電流或節(jié)點(diǎn)功率的計(jì)算中需使用大量三角函數(shù)，而直角坐標(biāo)PQ法沒(méi)有。

3 算例分析

不考慮稀疏性時(shí)，對(duì)IEEE-30～-118節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)用傳統(tǒng)因子表法、規(guī)格化之前先對(duì)對(duì)角元取倒的改進(jìn)因子表法以及對(duì)稱(chēng)因子表法形成因子表時(shí)間的比較結(jié)果如表1；且在均用對(duì)稱(chēng)因子表法時(shí)，直角坐標(biāo)PQ法和極坐標(biāo)PQ法潮流的收斂時(shí)間、迭代次數(shù)等比較結(jié)果如表2。收斂判據(jù)均為ε≤10-5。

表1 不同因子表法形成時(shí)間的比較

表2 PQ法潮流計(jì)算時(shí)間和迭代次數(shù)的比較

根據(jù)表1可看出，與傳統(tǒng)因子表法相比，在規(guī)格化之前先對(duì)對(duì)角元取倒的改進(jìn)因子表法形成因子表的速度對(duì)各個(gè)系統(tǒng)均可提高約4%，而用對(duì)稱(chēng)因子表法形成因子表的速度隨著系統(tǒng)規(guī)模的增加而增加。如對(duì)IEEE-30節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)其速度可提高約20%，而對(duì)IEEE-118節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)可提高約35%。

根據(jù)表2可看出，雖然極坐標(biāo)PQ法的迭代次數(shù)一般均少于直角坐標(biāo)PQ法的迭代次數(shù)，但由于直角坐標(biāo)PQ法中無(wú)三角函數(shù)的計(jì)算，其收斂所需時(shí)間反而比極坐標(biāo)PQ法少很多。如IEEE-118節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)，極坐標(biāo)PQ法的迭代次數(shù)為6/5，直角坐標(biāo)PQ法的迭代次數(shù)為9/8；但直角坐標(biāo)PQ法收斂的計(jì)算時(shí)間僅為極坐標(biāo)的32.84%，且該優(yōu)勢(shì)隨著系統(tǒng)規(guī)模的增加而增加。因此，直角坐標(biāo)PQ法比極坐標(biāo)PQ法可能有更好的應(yīng)用前景。

4 結(jié)論

本文在規(guī)格化之前將對(duì)角元取倒，可進(jìn)一步減少除法計(jì)算；利用元素對(duì)稱(chēng)性，僅計(jì)算上三角元素，下三角元素按列通過(guò)賦值上三角規(guī)格化前的元素得到，可大大提高因子表的形成速度；用四角規(guī)則可直接完成相應(yīng)的消元計(jì)算，而無(wú)需應(yīng)用消元計(jì)算公式，極大地便于編程。提出直角坐標(biāo)PQ法，盡管其與常用的極坐標(biāo)PQ法相比需求解的方程數(shù)和迭代次數(shù)更多，但由于對(duì)其方程采用特殊解法，且沒(méi)有三角函數(shù)計(jì)算，因此與極坐標(biāo)PQ法相比，其潮流計(jì)算速度大大加快。且隨著系統(tǒng)規(guī)模的增加，優(yōu)勢(shì)更加明顯。