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    基于SFS對(duì)雕刻模型高度的優(yōu)化研究

    2021-07-15 02:48:58王嘉琦劉洋趙慶志
    機(jī)械工程師 2021年7期
    關(guān)鍵詞:效果圖表達(dá)式梯度

    王嘉琦,劉洋,趙慶志

    (山東理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,山東淄博 255012)

    0 引言

    Shape from shading(簡稱SFS)算法是由美國麻省理工學(xué)院Horn教授[1]提出的一種單目測距算法。目前SFS算法在恢復(fù)單個(gè)物體外表面上有著重要應(yīng)用,我們?cè)谟?jì)算機(jī)等媒體上所見到的圖像實(shí)際上是由攝像機(jī)捕捉到的通過某一光源對(duì)物體的照射所反射出的能量[2-4]。SFS算法研究的正是輻射度與物體所反射出的能量之間的關(guān)系。

    Ikuechi和Horn首先提出了SFS的變分求解方法[5]。通過將輻射度方程的灰度誤差表達(dá)為一個(gè)泛函,把SFS問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)泛函的極小化問題,然后通過求解這個(gè)泛函極小化問題從而得到SFS問題的解[6-7]。Horn引入了光滑約束保證得到唯一的解使得恢復(fù)表面更加光滑的同時(shí)卻也變得更加扁平[8]。所以本文引入了綜合約束模型:在光滑約束的基礎(chǔ)上,增加了表面梯度約束和灰度梯度約束,改善了傳統(tǒng)變分法實(shí)驗(yàn)結(jié)果過于光滑和扁平的問題。

    1 模型高度獲取

    SFS技術(shù)是通過圖像的灰度值來計(jì)算物體實(shí)際高度的,所以物體顏色的不同會(huì)對(duì)高度獲取造成相當(dāng)大的影響,因此我們首先需要通過PhotoShop、Illustrator等專業(yè)圖像處理軟件對(duì)物體原圖進(jìn)行處理,處理之后獲得一張深度圖,再由深度圖通過轉(zhuǎn)換顏色空間得到圖像亮度,然后根據(jù)清晰度評(píng)價(jià)函數(shù)(TenenGrad)得到圖像塊(5×5)的清晰度,獲取到可靠性更高的深度灰介圖。

    1.1 顏色空間轉(zhuǎn)換

    為使得圖像具有視覺統(tǒng)一性,需要將圖像轉(zhuǎn)換至LUV顏色空間,在LUV顏色空間中L代表亮度,U、V代表色度,本文通過利用XYZ顏色空間實(shí)現(xiàn)RGB顏色空間到LUV顏色空間的過渡,具體方法如下:

    1)首先通過矩陣實(shí)現(xiàn)RGB顏色空間到XYZ顏色空間的轉(zhuǎn)換:

    2)通過公式實(shí)現(xiàn)XYZ顏色空間到LUV顏色空間的轉(zhuǎn)換:

    式中:

    選擇標(biāo)準(zhǔn)光源D65作為參考光源,則Xn=95.047,Yn=100.000,Zn=108.883。代入上式可得:

    由此便完成了由RGB顏色空間到XYZ顏色空間再到LUV顏色空間的轉(zhuǎn)換。

    1.2 約束模型和泛函表達(dá)

    通過綜合約束條件解決SFS問題首先要建立約束模型和泛函表達(dá),輻射度方程的灰度誤差表達(dá)式為

    由表達(dá)式可知,求解SFS問題就等同于求解F1(p,q)極小條件下的p和q。

    假設(shè)重建表面光滑,且光滑約束表達(dá)式為

    式中,px、py、qx、qy為表面梯度的偏導(dǎo)數(shù)。

    為使所獲圖像在高度表達(dá)上更加理想,在光滑約束的基礎(chǔ)上再引入表面梯度約束和灰度梯度約束,表面梯度約束表達(dá)式為

    式中,zx、zy為表面高度的偏導(dǎo)數(shù)。

    灰度梯度約束表達(dá)式為

    綜合以上可以得出綜合約束表達(dá)式為

    式中,λ、μ、ν均為加權(quán)系數(shù)。由于高度z直接出現(xiàn)在表達(dá)式中,所以通過求上述泛函的極小化解,就可以直接得到z值,避免了從梯度到高度的積分過程中可能出現(xiàn)的振蕩。

    1.3 變分求解

    由變分原理可知,方程的解等價(jià)于下面歐拉方程的解:

    圍繞p和q進(jìn)行泰勒展開,有:

    其余項(xiàng)同理展開后整理可得

    其中:

    于是有:

    式中:δp為泰勒展開中的p-p0項(xiàng);δq、δz相同。這里將其定義為迭代一次后的增量,于是可建立如下迭代公式關(guān)系:

    式中,k為迭代次數(shù)。

    由于要在計(jì)算機(jī)中編程實(shí)現(xiàn),還需要應(yīng)用有限差分法對(duì)偏導(dǎo)數(shù)等一些非離散量進(jìn)行離散化處理。將圖像區(qū)域Ω按圖像本身像素進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)劃分。以px為例,離散化形式為

    式中,i、j表示像素在圖像中所處的行列數(shù),其他與此相同。

    2 迭代算法的實(shí)現(xiàn)

    2.1 建立迭代過程

    根據(jù)以上分析和推導(dǎo),建立迭代過程如下:給出光源入射方向(ps,qs,-1);給定初值p0、q0、z0,加權(quán)系數(shù)λ、μ、ν,并令k=0。

    計(jì)算δp、δq、δz并令:

    給定光源入射方向(0,0,-1),通過實(shí)驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證,經(jīng)對(duì)比可知,前4次迭代,模型還原度逐步提高,直到第5次時(shí)模型高度出現(xiàn)了與加工要求所不符的噪聲。

    圖1 原圖

    圖2 迭代1次效果圖

    圖3 迭代2次效果圖

    圖4 迭代3次效果圖

    圖5 迭代4次效果圖

    圖6 迭代5次效果圖

    2.2 高度變換

    由于通過SFS算法獲取的模型高度在z軸之上不能直接參與浮雕加工,因此還需要對(duì)模型高度進(jìn)行平移和縮放變換。具體過程如下:

    1)整體平移處理。假設(shè)模型進(jìn)行變換前的高度為zq,變換后的高度為zh,將生成的浮雕模型整體沿Z軸方向下移Hmax,則

    2)高度縮放變換。設(shè)縮放比例為p,則

    圖7 高度變換

    因此可以根據(jù)模型原高度zq求出模型在每一點(diǎn)處的加工深度zh:

    實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖8所示,左邊通過直方圖與原始圖像的截面誤差分析對(duì)比表明迭代誤差滿足要求,右邊為仿真的圖像,結(jié)果顯示重建圖像還原度高,實(shí)驗(yàn)結(jié)果理想。

    圖8 仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果

    3 結(jié)語

    本文基于SFS技術(shù)通過數(shù)學(xué)演繹實(shí)現(xiàn)了對(duì)雕刻模型高度獲取的優(yōu)化。使得所獲產(chǎn)品在三維空間中的立體還原度進(jìn)一步改良。通過顏色空間的轉(zhuǎn)換獲取圖像每個(gè)像素點(diǎn)處的亮度,用圖像像素點(diǎn)處的亮度代替圖像像素強(qiáng)度。通過在光滑約束的基礎(chǔ)上引入表面梯度約束和灰度梯度約束實(shí)現(xiàn)綜合約束下變分法求解SFS問題,再根據(jù)所得結(jié)果和實(shí)際加工要求通過平移、縮放等方法調(diào)節(jié)浮雕模型,最終達(dá)到加工要求。

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