一類擬線性Choquard方程非平凡解的存在性

孫雪琪, 宋玥薔

(長春師范大學 數(shù)學學院, 長春 130032)

1 引言與主要結(jié)果

擬線性Schr?dinger方程[1]

-Δu+V(x)u-[Δ(u2)]u=h(x,u),x∈N

(1)

來源于數(shù)學物理中的許多模型, 關(guān)于其解的存在性與多解性研究目前已得到廣泛關(guān)注[2-8]. 文獻[2]通過一個變量替換, 將擬線性問題轉(zhuǎn)化為半線性問題, 并利用山路引理證明了方程(1)正解的存在性； 文獻[3]用相同的變量替換及對偶方法研究了一類不同的非線項方程; 文獻[4]利用擾動方法和Nehari方法研究了一類擬線性橢圓方程, 并得到了變號解和基態(tài)解的存在性. 另一方面, 關(guān)于Choquard方程[5]

(2)

解的存在性和定性性質(zhì)研究也很廣泛[6]. 對于問題(1)-(2), 文獻[9]考慮如下擬線性Choquard方程:

利用擾法方法得到了其正解、 負解和高能量解的存在性. 但當p≠2時, 對于帶有p-Laplace算子和卷積項方程的研究目前尚未見文獻報道.

本文利用山路引理討論如下擬線性Choquard方程

(3)

本文主要結(jié)果如下:

本文所研究問題的主要難點如下:

1) 由于出現(xiàn)非齊次項Δp(u2)u, 因此一般的臨界點理論無法直接應(yīng)用到相應(yīng)的能量泛函上, 本文通過引入類似文獻[2]的變量替換u=f(v), 將原問題轉(zhuǎn)化到合適空間上進行討論;

2) 方程(1)中的卷積項導(dǎo)致緊性條件不再成立, 本文利用一些精細的分析技巧解決了該問題.

2 預(yù)備知識

方程(3)對應(yīng)的能量泛函為

但泛函J在空間

D1,p(N)∶={u∈Lp*(N):u∈Lp(N)}

上無定義, 為克服該困難, 本文采用類似文獻[2]的方法, 做變量變換v=f-1(u), 當t∈[0,+∞)時, 函數(shù)f由下列方程確定:

當t∈(-∞,0]時,f(t)=-f(-t).

函數(shù)f具有下列性質(zhì)[3,11]:

(i) 對任意的t∈, |f′(t)|≤1;

(ii) 對任意的t∈, |f(t)|≤|t|;

(iv) 對任意的t∈, |f(t)|≤21/(2p);

(vii) 存在正常數(shù)C, 使得當|t|≤1時, |f(t)|≥C|t|; 當|t|≥1時, |f(t)|≤C|t|.

于是, 能量泛函J可改寫為

其中J在空間D1,p(N)上有定義, 利用文獻[12]的證明方法可證J∈C1(D1,p(N),).

定理2(山路引理)[10]設(shè)X為Banach空間,J∈C1(X,)滿足:

1)J(0)=0, 存在ρ>0,α>0, 使得J?Bρ≥α;

2) 存在e∈XBρ, 使得J(e)≤0.

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令Γ是X中連接0與e道路的集合, 即

Γ={γ∈C([0,1],X):γ(0)=0,γ(1)=e}.

記

則c≥α, 且J具有(PS)c序列.如果J滿足(PS)c條件, 則c是J的臨界值.

3 定理1的證明

下面利用山路引理分3步證明方程(3)非平凡解的存在性.

1) 能量泛函J滿足(PS)c條件.

令{vn}為(PS)c序列, 取

則wn∈D1,p(N).由函數(shù)f的性質(zhì)(v)可知

從而有‖wn‖≤c‖vn‖.因此

從而可得

表明序列vn在D1,p(N)中強收斂到v.

2) 能量泛函J滿足定理2中條件1)和2).

由函數(shù)f的性質(zhì)(vii)、 Hardy-Littlewood-Sobolev不等式和Sobolev嵌入定理可知, 存在正常數(shù)c1, 使得

因為p0, 使得當‖v‖=ρ時有J(v)≥α.因此定理2中條件1)成立.

f(tτ(x))≥f(t)τ(x).

從而

利用2q>p和函數(shù)f的性質(zhì)(vi)可推出當t0足夠大時,J(t0τ)<α且t0‖τ‖q>ρ.令e=t0τ, 于是定理2中條件2)成立.

3) 方程(3)存在一個非平凡解.

由于J(0)=0, 結(jié)合定理2可知, 泛函J存在一個非平凡臨界點u且J(u)≥α.于是方程(3)存在一個非平凡的弱解.定理1證畢.