一個(gè)無限維弱余分裂李代數(shù)

吳怡晗, 張 姣

(上海大學(xué) 數(shù)學(xué)系, 上海 200444)

0 引 言

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[12]對(duì)于域F上向量空間L中的一個(gè)運(yùn)算μ:L×L→L, 記為μ(x,y)=[xy], 如果其滿足下列條件:

1) 方括號(hào)運(yùn)算是雙線性的;

2) 對(duì)L內(nèi)所有的x, 均有[xx]=0;

3) 對(duì)所有的x,y,z∈L, 均有[x[yz]]+[y[zx]]+[z[xy]]=0.

則稱該運(yùn)算為向量x和y的方括號(hào)或換位子(也稱為李乘運(yùn)算), 稱(L,μ)為F上的李代數(shù).

對(duì)于域F上的有限維向量空間V, 定義F-線性映射τV:V?FV→V?FV, 若對(duì)所有向量u,v∈V都有τV(u?v)=v?u, 則稱τV為扭映射.定義F-線性映射ξV:V?FV?FV→V?FV?FV, 若對(duì)所有向量u,v,w∈V, 都有ξV(u?v?w)=v?w?u, 則稱ξV為線性循環(huán)置換映射.

定義2[13]對(duì)于域F上向量空間L中的一個(gè)線性運(yùn)算δ:L→L?FL, 如果其滿足下列條件：

1) (idL?L+τL)°δ=0;

則稱該運(yùn)算為李余乘運(yùn)算, 稱(L,δ)為域F上的李余代數(shù).

定義3[1]對(duì)于域F上向量空間L中的兩個(gè)線性運(yùn)算μ:L?FL→L和δ:L→L?FL, 如果其滿足下列條件:

1) (L,μ)是一個(gè)李代數(shù);

2) (L,δ)是一個(gè)李余代數(shù);

3)μ°δ=idL.

則稱δ為L(zhǎng)的余分裂運(yùn)算, 稱(L,μ,δ)為域F上的余分裂李代數(shù).

若相容條件中的恒等變換idL弱化為L(zhǎng)上非退化的對(duì)角變換, 則(L,μ,δ)稱為弱余分裂李代數(shù).

2 Witt代數(shù)的弱余分裂性質(zhì)

定理1若L為復(fù)數(shù)域上的Witt代數(shù), 則L=span{xi|i∈,i≥-1},μ(xi,xj)=[xi,xj]=(j-i)xi+j是弱余分裂李代數(shù).

證明: 首先, 定義一個(gè)線性映射δ:L→L?L, 對(duì)于任意的向量xk∈L(k≥-1), 使得

其次, 驗(yàn)證(L,δ)是李余代數(shù).對(duì)任意的xk∈L(k≥-1), 只需證明xk滿足李余代數(shù)的定義.由定義2中條件1)知,

由定義2中條件2)可得

所以(L,δ)是李余代數(shù).

最后, 驗(yàn)證μ°δ滿足相容性.由任意的xk∈L(k≥-1), 可知

因此μ°δ(xk) 是xk的非零常數(shù)倍, 從而μ°δ是L的非退化對(duì)角線性變換.

綜上可知, (L,μ,δ)是復(fù)數(shù)域上的弱余分裂李代數(shù).證畢.