從培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng)角度談高中數(shù)學(xué)教學(xué)

葉世雄

摘要：邏輯推理素養(yǎng)是高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要構(gòu)成部分。在教學(xué)中注重該素養(yǎng)的培養(yǎng)，不僅有助于學(xué)生更好地掌握所學(xué)知識(shí)點(diǎn)，而且能夠幫助學(xué)生掌握相關(guān)的推理技巧與方法，為學(xué)生開(kāi)展探究活動(dòng)奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。因此，在教學(xué)中，教師既要注重邏輯推理理論知識(shí)的講解，又要圍繞具體的例題，為學(xué)生剖析不同推理類型，把握邏輯推理的一些細(xì)節(jié)，保證推理過(guò)程嚴(yán)謹(jǐn)，推理結(jié)論正確。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)? 教學(xué)? 邏輯推理素養(yǎng)

邏輯推理是指從一些事實(shí)與命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題的素養(yǎng)。課程標(biāo)準(zhǔn)中將邏輯推理分為兩類：一類為從特殊到一般的推理，包括歸納、類比;一類為從一般到特殊的推理，包括演繹。高中數(shù)學(xué)授課中應(yīng)做好教學(xué)內(nèi)容的分析，制訂合理的邏輯推理素養(yǎng)培養(yǎng)計(jì)劃，按部就班地開(kāi)展培養(yǎng)工作。

一、講解例題，感受邏輯推理

邏輯推理對(duì)學(xué)生的思維能力要求較高，因此，教學(xué)中應(yīng)注重講解相關(guān)的例題，增強(qiáng)學(xué)生的推理自信。當(dāng)然在選擇例題時(shí)既要注重結(jié)合學(xué)生所學(xué)，又要控制例題難度，以激發(fā)學(xué)生主動(dòng)思考的熱情，讓學(xué)生更加全身心地投入到學(xué)習(xí)中。例如，復(fù)合函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)，需要學(xué)生深入理解，尤其在解答相關(guān)問(wèn)題時(shí)需要進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评?。教學(xué)中可為學(xué)生講解如下例題，使其認(rèn)真感受邏輯推理過(guò)程。

已知f（x）=x1+x，f1（x）=f（x），fn+1（x）=f（fn（x））（n∈N*），則f2020（x）的表達(dá)式為 ??。

由于經(jīng)驗(yàn)函數(shù)f（x）的表達(dá)式會(huì)表現(xiàn)出一定的周期性或存在可循的規(guī)律，因此，找到周期或其內(nèi)在規(guī)律成為解題的關(guān)鍵。講解該例題時(shí)啟發(fā)學(xué)生先不要著急，應(yīng)根據(jù)已知條件進(jìn)行推理，嘗試著寫(xiě)出前幾項(xiàng)：

f2（x）=f（f1（x））=f1（x）1+f1（x）=x1+2x，

f3（x）=f（f2（x））=f2（x）1+f2（x）=x1+3x，

…

推出fn（x）=x1+nx，便可得出f2020（x）=x1+2020x。

二、設(shè)計(jì)問(wèn)題，嘗試邏輯推理

教學(xué)中不僅要通過(guò)例題的講解培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理意識(shí)，而且應(yīng)注重為學(xué)生提供邏輯推理的機(jī)會(huì)，即圍繞學(xué)生所學(xué)知識(shí)點(diǎn)設(shè)計(jì)經(jīng)典的問(wèn)題，在課堂上給學(xué)生留下一定的空白，要求其積極思考，認(rèn)真推理，使其體會(huì)推理的具體過(guò)程，積累相關(guān)的邏輯推理經(jīng)驗(yàn)，遇到類似問(wèn)題能夠迅速解題。數(shù)列在高中數(shù)學(xué)中占有重要地位，教學(xué)中應(yīng)注重設(shè)計(jì)如下問(wèn)題，鼓勵(lì)學(xué)生嘗試著進(jìn)行邏輯推理。

如圖1所示，在等腰直角三角形ABC中，斜邊BC=22過(guò)點(diǎn)A作BC的垂線垂足為A1;過(guò)點(diǎn)A1作AC的垂線垂足為A2;過(guò)點(diǎn)A2作A1C的垂線垂足為A3，依次類推，設(shè)BA=a1，AA1=a2，A1A2=a3，…，A5A6=a7，則a7=??? 。

該題目難度并不大，之所以要在課堂上為學(xué)生展示該題，主要是使其體驗(yàn)邏輯推理的過(guò)程，增強(qiáng)學(xué)生的邏輯推理自信。推理過(guò)程中先引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真觀察圖1，找到角與角、線段與線段之間的關(guān)系，以提高邏輯推理效率。

根據(jù)已知條件不難推出，BA=2，認(rèn)真觀察可知AA1/BA=a2/a1=cos45°=22;A1A2/AA1=a3/a2=cos45°=22，…，各線段長(zhǎng)度構(gòu)成以BA=a1=2為首項(xiàng)，以22為公比的等比數(shù)列，則an=2×22n-1，因此，a7=2×226=2×18=14。

三、反思過(guò)程，把握推理細(xì)節(jié)

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)時(shí)，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生不要滿足于得出正確結(jié)果，而應(yīng)做好推理過(guò)程的反思，把握邏輯推理的細(xì)節(jié)，在以后的推理過(guò)程中少走彎路，進(jìn)一步提升學(xué)生的邏輯推理能力。導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)點(diǎn)，在講解該部分知識(shí)時(shí)可選擇相關(guān)的習(xí)題要求學(xué)生作答，并鼓勵(lì)其認(rèn)真反思，把握推理細(xì)節(jié)。

已知（x2）′=2x，（x4）′=4x3，（cosx）′=-sinx，由歸納推理可得，若定義在R上的函數(shù)f（x），滿足f（-x）=f（x），記g（x）為f（x）的導(dǎo)數(shù)，則g（-x）=（? ）

A.f（x）???? B.-f（x）

C.g（x）?? D.-g（x）

該題目難度并不大，需要學(xué)生認(rèn)真觀察，找到題干中給出的細(xì)節(jié)合理推理。但很多學(xué)生看到題目后抓不住重點(diǎn)，不知道如何下手，導(dǎo)致解題出錯(cuò)。根據(jù)給出的已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及題干中“f（-x）=f（x）”這一提示，可知需要分析函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)的奇偶性。給出的函數(shù)均為偶函數(shù)，而其對(duì)應(yīng)的導(dǎo)數(shù)為奇函數(shù)，顯然當(dāng)f（x）為偶函數(shù)時(shí)，其導(dǎo)數(shù)應(yīng)為奇函數(shù)，即，g（x）=-g（-x），因此，正確選項(xiàng)為D。

四、加強(qiáng)訓(xùn)練，提升推理技能

數(shù)學(xué)歸納法是高中數(shù)學(xué)中的重要推理方法，常被應(yīng)用于證明題中。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，為使學(xué)生熟練地應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法解答相關(guān)問(wèn)題，提高其解題水平，應(yīng)通過(guò)篩選代表性較強(qiáng)的習(xí)題，組織學(xué)生開(kāi)展相關(guān)的訓(xùn)練活動(dòng)，并鼓勵(lì)其相互交流解題經(jīng)驗(yàn)與技巧，使其能夠及時(shí)發(fā)現(xiàn)與彌補(bǔ)邏輯推理中的不足，促進(jìn)學(xué)生邏輯推理技能的提升。訓(xùn)練中可向?qū)W生展示如下習(xí)題。

已知數(shù)列{an}滿足Sn+an=2n+1。（1）寫(xiě)出a1、a2、a3、并推測(cè)an的表達(dá)式;（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明推測(cè)的結(jié)論。

學(xué)生對(duì)該類題目并不陌生，主要考查其運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法推理的能力。學(xué)生只要牢牢記住數(shù)學(xué)歸納法的推理步驟，便不難證明。

對(duì)于問(wèn)題（1），經(jīng)計(jì)算a1=32=22-12，a2=74=23-122，a3=158=24-123。綜上可猜測(cè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=2n+1-12n=2-12n（n∈N*）。

對(duì)于問(wèn)題（2），運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：

①當(dāng)n=1時(shí)，a1=32結(jié)論成立;

②假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N*）時(shí)結(jié)論成立，即ak=2-12k（k∈N*）。

③當(dāng)n=k+1時(shí)，∵Sn+an=2n+1，∴a1+a2+a3+…+ak+ak+1+ak+1=2（k+1）+1，

∵a1+a2+a3+…+ak+ak=2k+1，∴a1+a2+a3+…+ak=2k+1-ak，

將上式減下式，得到2ak+1=ak+2=4-12k，∴ak+1=2-12k+1（k∈N*），因此，當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論成立。綜上可知對(duì)任意的正整數(shù)n，結(jié)論均成立。

培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)是新課改的重要任務(wù)，而培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)是踐行核心素養(yǎng)培養(yǎng)工作的具體體現(xiàn)。因此，高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)積極踐行核心素養(yǎng)培養(yǎng)工作，結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容，做好相關(guān)例題習(xí)題的篩選，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理意識(shí)，并設(shè)計(jì)相關(guān)習(xí)題使學(xué)生親身體驗(yàn)邏輯推理過(guò)程，增強(qiáng)學(xué)生的邏輯推理自信，尤其通過(guò)針對(duì)性的訓(xùn)練，使學(xué)生熟練掌握邏輯推理的技巧與方法，提升學(xué)生的邏輯推理水平。

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