純相位全息圖優(yōu)化算法

卜浩禎， 焦述銘

(1. 紐約大學(xué) 數(shù)學(xué)系，紐約10003；2. 鵬城實驗室，深圳 518055)

1 引 言

三維立體顯示技術(shù)在近年來得到了飛速發(fā)展，其在娛樂、醫(yī)學(xué)、研究、軍事等領(lǐng)域的應(yīng)用也層出不窮，如視覺研究、醫(yī)學(xué)成像、科學(xué)可視化、虛擬原型展示、防偽水印等[1-3]。目前有多種可以實現(xiàn)三維顯示的技術(shù)，如基于顯示屏的虛擬現(xiàn)實技術(shù)以及基于雙目視差的立體顯示技術(shù)等。然而相比于現(xiàn)實場景，以上顯示技術(shù)都存在一定的成像瑕疵。其中一個重要原因是人眼觀看顯示圖像時的輻輳距離(Vergence Distance)與聚焦距離(Focal Distance)不匹配所導(dǎo)致的視覺輻輳調(diào)節(jié)沖突(Vergence-Accommodation Conflict)，會引起觀看者的不適、眩暈及視疲勞等問題[4-7]。

1947年由Gabor發(fā)明的全息成像技術(shù)是一種運(yùn)用光的干涉與衍射來對光場波前進(jìn)行記錄與重建的技術(shù)[8]?！叭ⅰ币鉃椤叭康男畔ⅰ?，指該技術(shù)會記錄原光場的所有振幅及相位信息，并能完全重建物體和場景的波前信息[9-10]。相比于傳統(tǒng)的三維成像技術(shù)，全息成像中的信息載體全息圖包含了物體的全部形狀和深度信息，被認(rèn)為是三維場景重建的終極最佳方法[11-19]。得益于硬件設(shè)施的進(jìn)步，計算機(jī)生成全息圖技術(shù)作為全息成像技術(shù)的一個子領(lǐng)域在近幾年得到快速的發(fā)展。不同于傳統(tǒng)的全息成像技術(shù)，計算機(jī)生成全息圖技術(shù)不需要專門的全息記錄材料，而是利用空間光調(diào)制器加載由計算機(jī)生成的全息圖[20]。正因如此，該技術(shù)帶來了對波前信息前所未有的靈活控制能力，也可以生成并非真實存在的物體的全息圖[21-25]。

在目前的計算機(jī)生成全息圖領(lǐng)域中，空間光調(diào)制器的種類有微機(jī)電系統(tǒng)調(diào)制器(Microelectromechanical Systems Spatial Light Modulators)[26-28]與液晶空間光調(diào)制器(Liquid-Crystal Spatial Light Modulators)[29- 31]等，其中液晶空間光調(diào)制器為目前主流的設(shè)備，能夠提供理想的相位調(diào)制能力。由于在實際應(yīng)用中，絕大多數(shù)可用的空間光調(diào)制設(shè)備只能有效地調(diào)制光波的相位或者振幅之一[32]，因此需要生成的全息圖只包含相位信息或振幅信息，而不能是兩者皆有[33]。使用兩個空間光調(diào)制器分別調(diào)制振幅與相位是一個可行的解決辦法，但是這種方法的實驗裝置十分復(fù)雜且昂貴[34-35]。另外，由于使用空間光調(diào)制器會讓全息圖衍射為三部分：物體像、共軛物體像以及零階(Object Image，Conjugate Object Image，and Zero Order)，大大降低了衍射效率，且由于相較于純振幅空間光調(diào)制器，純相位空間光調(diào)制器擁有理論上的更高衍射效率，因此純相位全息圖是當(dāng)前計算機(jī)生成全息圖的主流編碼方式[36-39]。然而，這種純相位的編碼使得對于全息圖生成問題，并不存在一個簡單準(zhǔn)確的直接解，而是要通過近似去取得最優(yōu)解[40]；而且由于空間光調(diào)制器的分辨率及其每個像素點調(diào)制取值范圍的限制，全息圖在加載時也需要進(jìn)行離散化與量化，所以找出量化誤差最小的最優(yōu)數(shù)值近似也是全息圖計算問題之一[41]。

過去的幾十年間，計算機(jī)生成純相位全息圖算法層出不窮，其核心就是純相位全息圖優(yōu)化問題：給定一個復(fù)振幅全息圖(Complex-Amplitude Hologram)，將其編碼成為一個純相位全息圖(Phase-Only Hologram)，使得用該純相位全息圖進(jìn)行光學(xué)重建所得到的圖像要盡可能還原原始圖像。這些方法主要分為3類：迭代方法、非迭代方法與其他方法。迭代算法通常由一個對目標(biāo)全息圖的近似出發(fā)，經(jīng)過一系列的重復(fù)操作不斷優(yōu)化這個近似全息圖，直到該近似所得到的重建圖像滿足一定的誤差要求；非迭代算法不需要重復(fù)的大量優(yōu)化計算，會根據(jù)指定步驟一次性給出近似解。由于較低的計算負(fù)荷，非迭代算法更符合實時全息顯示的要求，而代價是這類方法的重建質(zhì)量不如迭代算法；其他方法種類繁多，各有特點。本文將總結(jié)目前主要的純相位全息圖生成的迭代方法、非迭代方法以及其他方法。

2 迭代性算法

2.1 Gerchberg-Saxton類算法

在計算機(jī)生成全息顯示場景中，給定任意二維或三維圖像，首先利用計算機(jī)生成全息圖算法在全息圖平面生成一幅全息圖[42-44]，再利用空間光調(diào)制器加載這幅全息圖，之后通過激光照射，在全息圖上發(fā)生衍射形成衍射圖案，便可以在重建圖像平面對原始圖像進(jìn)行光學(xué)重建(圖1)。

圖1 計算機(jī)生成全息圖的重建Fig.1 Reconstruction of a computer-generated hologram

可以生成純相位全息圖的迭代算法中，迭代傅立葉變換算法(Iterative Fourier Transform Algorithm)是一種比較具有代表性的算法，該類算法的特點是通過傅立葉變換在兩個平面中的反復(fù)傳遞[45-49]。迭代傅立葉變換算法，或稱誤差減少算法(Error Reduction Algorithm)在20世紀(jì)70年代早期被作為數(shù)字全息的一種算法而提出，后來被Gerchberg與Saxton修改并運(yùn)用在相位提取領(lǐng)域，成為了迭代算法中最著名也可能是被運(yùn)用最多的方法——Gerchberg-Saxton(GS)算法[50]。該算法中，根據(jù)全息圖平面與重建圖像平面的振幅分布，通過迭代進(jìn)行正逆向的光波傳遞以及施加在兩個平面上的限制條件(Constraint)，進(jìn)而求得全息圖平面中光場的相位信息(圖2)。該方法在計算純相位全息圖場景中十分適用，可以使用菲涅爾變換或者傅立葉變換來進(jìn)行光場傳播的計算。以用傅立葉變換的GS算法為例，首先對相位分布進(jìn)行一個估計φ(0)，之后算法的每次迭代包含以下步驟：

圖2 Gerchberg-Saxton算法流程圖Fig.2 Flowchart of Gerchberg-Saxton algorithm

(1)

(2)限制條件：以所要求的對象光場振幅分布替換第一步中傳遞至圖像重建平面的光場的振幅分布:

(2)

Atarget為目標(biāo)圖像振幅。

(3)計算第二步中光場由物體圖像平面至全息圖平面的傳遞:

(3)

(4)限制條件：將第三步中傳遞至全息圖平面的光場振幅設(shè)為單位1，得到純相位全息圖P(n+1)

(4)

P(n+1)=exp(iφ(n+1)).

(5)

在GS算法的基礎(chǔ)上有很多改進(jìn)版本[51-52]。加權(quán)GS算法(Gerchberg-Saxton Algorithm with Weight Coefficients)會先進(jìn)行數(shù)輪GS算法迭代，之后會將重建圖像平面中的限制條件替換為目標(biāo)圖像的振幅乘以一個分?jǐn)?shù)形式的權(quán)重系數(shù)[53]，然后繼續(xù)運(yùn)算直到滿足一定的誤差條件。以原始圖像與重建圖像間的歸一化標(biāo)準(zhǔn)差(NSTD)作為評判標(biāo)準(zhǔn)，加權(quán)GS算法比GS算法取得了一定程度的提升[54-55]，且收斂速率會有所提高。然而，加權(quán)GS算法有時會出現(xiàn)無法收斂的問題，而自適應(yīng)加權(quán)GS方法(Adaptive Weighted GS Method)用指數(shù)形式的權(quán)重系數(shù)替代分?jǐn)?shù)形式的權(quán)重系數(shù)可以更好地解決收斂性問題[56]。此外，基于并行結(jié)構(gòu)的相位恢復(fù)算法會以多個初始值為起點進(jìn)行并行運(yùn)算來對GS算法進(jìn)行加速，因此在收斂速率方面與針對灰階圖像的重建質(zhì)量方面也有提高[57]。GS算法也被改進(jìn)為一系列迭代映射算法，如連續(xù)GS算法(Sequential GS Method)[58]，也稱菲涅爾乒乓算法(Fresnel Ping-Pong Algorithm)[59]，以及全局GS算法(Global GS Method)[60]，這兩種算法可被用于計算能夠進(jìn)行多深度平面圖像重建的純相位全息圖。此外，GS算法還被改進(jìn)為可以用于處理傾斜空間光調(diào)制器(Tilted SLM)的算法[61]以及用于處理三維對象的算法[62-64]。

在GS算法的基礎(chǔ)之上，F(xiàn)ienup提出了Fienup算法以提高算法的收斂速率[65]，該方法與GS算法類似，只是在重建圖像平面上的限制條件有所不同，不再是將該平面上的光波振幅直接限制為目標(biāo)圖像振幅，而是設(shè)為上次迭代結(jié)果與原始圖像振幅的一個函數(shù)與上次迭代結(jié)果之和。在Fienup算法基礎(chǔ)上，研究者還提出自適應(yīng)加法算法(Adaptive-Additive Method)，該方法在重建圖像平面上的限制條件是將振幅分布設(shè)為原始圖像與上次迭代結(jié)果的線性組合。相較于GS算法與GSW算法，F(xiàn)ienup算法與AA算法的重建圖像可以取得更高的準(zhǔn)確度，收斂速率也更快，但是所需的計算資源也會更多一些[54](表1)。

表1 GS算法、GSW算法、Fienup算法與AA算法比較

在GS算法中，初始條件的設(shè)定對于算法收斂速度和結(jié)果質(zhì)量有至關(guān)重要的影響，因此以往不少研究針對迭代初始條件進(jìn)行了優(yōu)化[66-75]。通常，這些算法會在原始圖像之上加一層隨機(jī)相位來使其光場變得分散，避免在全息圖上過度聚集，但是這種方法又會帶來斑點噪聲。為了消除斑點噪聲，有些方法會使用非隨機(jī)相位如二次、線性、常數(shù)或錐形相位作為迭代時的初始相位，另一些方法基于物體圖像適應(yīng)性設(shè)計初始相位[46]。近些年，出現(xiàn)了使用了雙限制(Double Constraints)進(jìn)行斑點噪聲去除的GS算法[76-79]，這種方法在菲涅爾衍射區(qū)域可以取得很好的重建結(jié)果，而由Pang改進(jìn)的采用了基于對象的二次相位(Object-Dependent Quadratic Phase Distribution)的迭代算法可以在遠(yuǎn)場衍射區(qū)域取得很好的噪聲消除效果[80]。此外，還有一些結(jié)合了其他優(yōu)化技術(shù)的GS迭代算法，比如在最初幾次迭代中用直方圖(Histogram)調(diào)整圖像替代約束條件的直方圖補(bǔ)償算法(Histogram Compensation Algorithm)，該方法可以增強(qiáng)全息圖對過亮或過暗像素點的重建質(zhì)量[81]；其他例子包括運(yùn)用了自定成本函數(shù)與非凸優(yōu)化的三維全息圖生成算法[82]，運(yùn)用了最速下降與加權(quán)的混合類GS算法(Hybrid Gerchberg-Saxton-like Algorithm)[83]，可以對重建圖像進(jìn)行縮放的方法[84]，運(yùn)用了壓縮感知理論的傅立葉全息圖計算方法[85]，針對圓柱形全息圖進(jìn)行斑點噪聲減少的自衍射算法(Self-Diffraction Method)[86]，以及運(yùn)用了基于自動控制PID原理的誤差跟蹤控制減少算法(Error Tracking-Control-Reduction Algorithm)來提高衍射效率，并減少量化誤差與斑點噪聲的算法[87]。

2.2 誤差擴(kuò)散算法

誤差擴(kuò)散算法(Error Diffusion Method)是另一種類型的迭代算法，該算法是在全息圖平面的各個像素之間依次迭代，而不是在全息圖平面與物體圖像平面間迭代[88-95]。誤差擴(kuò)散算法與GS類算法的第二個不同在于誤差擴(kuò)散算法不需要物體圖像的任何信息，只需要復(fù)振幅全息圖本身，便可直接在其上操作并計算出一個純相位全息圖。

該方法原理：當(dāng)復(fù)振幅全息圖的振幅信息被直接移除時，每個像素點都會產(chǎn)生誤差，

E(ui,vj)=H(ui,vj)-P(ui,vj)，

(6)

其中：H(ui,vj)為點(ui,vj)的復(fù)振幅像素值，P(ui,vj)為該點舍棄振幅信息后的純相位像素值，E(ui,vj)為所產(chǎn)生的誤差。而誤差擴(kuò)散算法將逐行從左向右依次掃描每個像素點，并將每個像素點的誤差按照一定的比重向尚未掃描到的像素點擴(kuò)散(圖3(a))。雙向誤差擴(kuò)散算法的奇數(shù)行與偶數(shù)行的掃描方向是相反的(圖3(b))，這種雙向掃描方式會抵消部分由單向掃描所帶來的相關(guān)性誤差，進(jìn)而取得更高的重建準(zhǔn)確度[96](圖4)。通常，誤差擴(kuò)散方法中的權(quán)重參數(shù)是經(jīng)驗性地按照Floyd-Steinberg系數(shù)設(shè)置的[97]，然而在一些問題上這樣的權(quán)重設(shè)置并非最優(yōu)解。雙系數(shù)誤差擴(kuò)散在抑制斑點噪聲方面取得了不錯的提高[98]，另外由Yang改進(jìn)地運(yùn)用了遺傳算法的誤差擴(kuò)散方法，其權(quán)重參數(shù)可以根據(jù)不同的全息圖自適應(yīng)性地調(diào)整，在重建準(zhǔn)確度上取得了進(jìn)一步的提高[99]。由周婷婷改進(jìn)的結(jié)合了分層角譜算法的誤差擴(kuò)散算法可以生成三維對象的純相位全息圖，即首先利用分層角譜算法計算三維物體的復(fù)振幅光場，再利用誤差擴(kuò)散算法計算純相位全息圖，取得了不錯的重建質(zhì)量[100]。近期，Liu提出的方法在誤差公式中的第二項前加入了一個調(diào)制因子，使得振幅信息被移除時所帶來的誤差可以針對不同圖像適應(yīng)性地調(diào)整。通過找到最佳調(diào)制因子，該方法可以提高純相位全息圖的重建質(zhì)量[101]。

圖3 (a)誤差從左向右掃描擴(kuò)散；(b)誤差與從右向左掃描的擴(kuò)散。Fig.3 (a)Error diffusion from left to right; (b) Error diffusion from right to left.

圖4 利用雙向誤差擴(kuò)散方法進(jìn)行純相位全息圖生成及仿真全息圖像重建。(a)原始圖像；(b)重建圖像。Fig.4 Generation of phase-only hologram and simulated reconstruction using bi-directional error diffusion. (a) Original image; (b) Reconstructed image.

3 非迭代性算法

3.1 隨機(jī)相位方法

相較于迭代算法，非迭代算法的特點是無需任何優(yōu)化過程、僅用一步計算得到所要的全息圖，正因如此，非迭代算法的運(yùn)算速度更快、更符合實時顯示的需求，但是其重建圖像的質(zhì)量通常不如迭代算法。最簡單直接的一種純相位全息圖生成方法是振幅信息移除(Direct Amplitude Truncation)，即直接移除由原始圖像生成的復(fù)全息圖中的振幅部分，然而這種方法會導(dǎo)致極大的誤差。同時，由于純相位全息圖實際上是一種高頻濾波器，重建圖像只是原始圖像的邊界與線條部分[102]。因此需要引入隨機(jī)相位掩膜(Random Phase Mask)使原始圖像的波前分散至整幅全息圖以提高重建質(zhì)量[103-108]，如一步相位提取方法(One-Step Phase retrieval)中，在生成全息圖之前會先在原圖像前加一個隨機(jī)相位掩膜，之后僅保留該全息圖的相位部分用以重建圖像[109-110]。該方法很快速，但是重建圖像的線條和邊緣參差不齊，而且隨機(jī)相位掩膜的使用又會導(dǎo)致斑點噪聲的產(chǎn)生[111]。

圖5顯示了隨機(jī)相位在純相位全息圖重建中的作用。圖5(a)是原始圖像；圖5(b)是不使用隨機(jī)相位的重建場景，其中黃色平面代表原始圖像，該平面發(fā)出的光場夾角很小，很難被全息圖記錄到，因此下面的重建圖像中很難看清原始圖像的輪廓；圖5(c)顯示的是使用隨機(jī)相位的重建場景，由于疊加了隨機(jī)相位，原始圖像平面發(fā)出的光場得以分散，重建圖像質(zhì)量也有了很大提升，然而隨之而來的斑點噪聲也十分明顯。為了減少這種斑點噪聲，近期有一種新的隨機(jī)相位方法，該方法會針對不同的圖像，引入具有不同頻率的隨機(jī)相位掩膜以進(jìn)一步減少信息損失、提高重建質(zhì)量[112]。

圖5 隨機(jī)相位對純相位全息圖重建結(jié)果的作用示例。(a)原始圖像；(b)未添加隨機(jī)相位掩膜；(c)添加隨機(jī)相位掩膜。Fig.5 Effect of using random phase on reconstruction of phase-only hologram. (a)Original image; (b)Reconstruction without random phase; (c) Reconstruction with random phase.

3.2 采樣類方法

除了隨機(jī)相位掩膜方法以外，還有很多可以用于減少斑點噪聲的非迭代方法，如采用下采樣的采樣純相位全息圖(Sampled-Phase-only Hologram)方法[113-116]，該方法首先會以一個均勻網(wǎng)格對物體的振幅分布進(jìn)行下采樣，然后生成復(fù)全息圖的相位值將被保留作為純相位全息圖。該方法可以保證重建圖像的質(zhì)量，但下采樣過程本身會造成原物體圖像的信息損失，導(dǎo)致一定程度的質(zhì)量減損。該下采樣掩膜的部分如圖6所示，其中黑色點表示的是采樣點，白色點表示的是非采樣點。

圖6 下采樣點示意圖Fig.6 Illustration of down-sampling

另一種采樣方法是互補(bǔ)純相位全息圖(Complementary phase-only hologram)[117]，該方法通過在兩個不同的下采樣網(wǎng)格中快速切換，可以進(jìn)一步提高重建質(zhì)量，然而該方法使得計算量翻倍，且對SLM切換全息圖的速度有很高的要求。該方法的互補(bǔ)采樣點如圖7所示，左側(cè)的兩幅采樣點圖可以合成為等式右側(cè)的采樣點圖，其中黑點為采樣點，白點為非采樣點。類似采用SLM高速切換顯示不同全息圖來進(jìn)行圖像重建的方法還有時分復(fù)用方法(Time-Division Multiplexing

圖7 互補(bǔ)采樣點示意圖Fig.7 Illustration of complementary sampling

Method)[118-121]，然而這類方法都需要高性能的SLM，因此在動態(tài)實時全息顯示的場景下并不十分適用。此外，還可以采用自適應(yīng)性下采樣掩膜(Adaptive Down-Sampling Mask)，該方法會在圖片中的平緩區(qū)域進(jìn)行稀疏采樣，而在圖像邊界等快速變化的區(qū)域進(jìn)行密集采樣[122]。

3.3 模式化掩膜與二次相位掩膜方法

模式化相位掩膜(Patterned Phase-Only Hologram)方法可以在有限計算量下提高重建質(zhì)量[123]，該方法在原始圖像上填加了一層由一致的相位模式區(qū)塊(Phase Pattern Block)拼接而成的相位掩膜，這種重復(fù)拼接的相位掩膜會使光場振幅趨于均勻。由于原始圖像中均勻分布的每個局部區(qū)域都被加上了相同的相位模式，重建圖像中將呈現(xiàn)出有規(guī)律的像素化噪聲。還有一些非迭代方法會采用二次相位掩膜(Quadratic Phase)與快速傅立葉變換，由于沒有使用隨機(jī)相位掩膜，該類方法可以取得較低的斑點噪聲與較高的峰值信號噪聲比(PSNR)[124-126]。

3.4 雙相位方法

其他能夠減少斑點噪聲的非迭代純相位全息圖生成算法還有雙相位方法(Double-Phase Method)[127-134]。該方法首先將原始圖像的振幅信息編碼為兩個純相位值，然后使用兩個棋盤形狀的互補(bǔ)二元濾波器將這兩個相位分布組合為一個純相位全息圖[135]，之后通過閃耀光柵來將未被衍射光波從重建圖像中分離出去，以達(dá)到減少噪聲的目的[136]。然而，采用二維棋盤狀函數(shù)會導(dǎo)致能量的大量損失[137]，而采用一維光柵函數(shù)編碼則能大幅提高一級衍射分量所攜帶的能量[138]。另一種減少噪聲的方法是通過使用帶寬限制函數(shù)(Band-Limiting Function)的雙相位算法，帶寬限制函數(shù)可以有效地移除復(fù)振幅雙相位化時產(chǎn)生的噪聲[139]。

3.5 非隨機(jī)相位方法

為了減少斑點噪聲，不使用隨機(jī)相位掩膜的方法(Random Phase-Free Method)也有很多[140-145]。該方法旨在用可控的相位處理光波，如同心球面波(Spherical Concentric Wave)，替代隨機(jī)相位掩膜，這種收斂的光波可以將原始圖像的光波均勻地擴(kuò)散至整幅全息圖，然而這種方法更適用于純振幅全息圖，若用于生成純相位全息圖則需要與誤差擴(kuò)散算法結(jié)合[146]。

4 其他算法

4.1 直接算法

除了迭代算法與非迭代算法，有一種直接算法可以用于計算純相位全息圖。假設(shè)純相位全息圖有M×N個像素，每個像素點的相位值有Q種可能取值，則純相位全息圖生成問題的搜索空間為M×N×Q，目標(biāo)是找到重建圖像與原始圖像誤差最小的全息圖所有像素值。直接算法主要有3類：直接搜索算法(Direct Search Algorithm)、模擬退火算法(Simulated Annealing Algorithm)以及遺傳算法(Genetic Algorithm)。

直接搜索算法會隨機(jī)選取一個全息圖像素點，然后改變其相位值，若改變后得全息圖重建準(zhǔn)確度更高則保留，否則放棄這次改變。這種方法十分簡單易操作，然而它所計算出的結(jié)果只是局部最優(yōu)解[147-151]。模擬退火算法采用的是隨機(jī)搜索辦法，該方法計算量大且耗時很長，但是其優(yōu)點是可以得到接近全局最優(yōu)解的結(jié)果[152-153]。遺傳算法采用了全局搜索(Crossover)和局部搜索(Mutation)，需要極大的儲存空間，而該方法的優(yōu)點是它可以與其他算法很好地結(jié)合，并且是一種并行算法[154-156]。這3種方法的優(yōu)缺點總結(jié)如表2所示。直接算法相比于迭代法和非迭代法，總體上計算成本明顯更高。

表2 三種直接算法的比較Tab.2 Comparison of three direct methods

4.2 迭代與非迭代結(jié)合類算法

還有一種新的純相位全息圖生成算法于近年被提出，該類方法處于迭代算法與非迭代算法兩種分類之間。2018年，Alejandro提出了一種簡單有效的算法，該算法利用傳統(tǒng)的GS迭代，首先針對一個光學(xué)系統(tǒng)的分辨率、像素點尺寸以及對象尺寸去計算出該系統(tǒng)一個最優(yōu)化的相位掩膜(Optimized Random Phase，ORAP)，之后再用該系統(tǒng)與其對應(yīng)的最優(yōu)化掩膜去計算其他任意對象圖像的純相位全息圖而不再需要迭代[157]。相較于GS算法，該算法的缺陷在于需要知道對象圖像的尺寸及分辨率信息，然而該方法節(jié)省了大量的計算時間，同時保持著較高的重建準(zhǔn)確度，因此十分適合全息電影或動態(tài)實時顯示等應(yīng)用。

在該方法的基礎(chǔ)之上，Alejandro將其改進(jìn)為可以生成三維場景全息圖的算法。首先，通過菲涅爾迭代算法計算出一個最優(yōu)隨機(jī)相位板(Optimized Random Phase Tile)，之后，該隨機(jī)相位板將會像在模式化相位掩膜方法(PPOH)中一樣被拼接成一個掩膜，用于生成全息圖。該方法相比于ORAP方法與PPOH方法可以取得更高的重建質(zhì)量，并且可以減少斑點噪聲以及周期性的模式化噪聲[158]。

由Alejandro提出的這類算法通常會先迭代性地計算出一個最優(yōu)相位掩膜，然后再用非迭代算法去生成全息圖[125,159-160]。該類方法后續(xù)產(chǎn)生了許多衍生算法，比如非迭代多平面全息圖算法(Noniterative Multiplane Hologram)會使用一步連續(xù)GS算法(One-Step Sequential GS Method)和一個混合相位及復(fù)限制條件(Mixed Phase and Complex Constraint)，該限制條件含有一個參數(shù)C，經(jīng)過實驗會得到一個最優(yōu)的C值[161-162]，之后可以用這個C的取值進(jìn)行迭代計算。最終結(jié)果顯示該類結(jié)合迭代與非迭代的方法在衍射平面數(shù)目較多時，在部分平面上可以取得比傳統(tǒng)的迭代性連續(xù)GS算法更好的重建質(zhì)量，同時該類方法會具有更快的收斂速率以及更高的衍射效率[40]。

4.3 基于深度學(xué)習(xí)的計算全息算法

近年來快速發(fā)展的深度學(xué)習(xí)方法也被用于全息圖壓縮[163,164]以及生成全息圖[165-166]。Horisaki于2018年提出的基于深度學(xué)習(xí)的純相位全息圖生成算法，使得光場反向傳遞過程可以由計算生成的斑點數(shù)據(jù)集回歸而得出[167]。由Lee等提出的訓(xùn)練方法在數(shù)據(jù)集中混入特定幾何形狀，可以極大地提高所生成復(fù)振幅全息圖的質(zhì)量[168]。由Eybposh等人提出的DeepCGH方法可以用訓(xùn)練出來的卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)生成一個復(fù)振幅全息圖可行解，之后再對該可行解的光場反向傳遞進(jìn)行模擬來計算出全息圖平面的純相位全息圖[169]。2020年，由Khan等提出的GAN-HOLO運(yùn)用了生成對抗網(wǎng)絡(luò)，取得了不錯的實驗結(jié)果[170]；另外由Peng等人提出了一個高質(zhì)量實時計算機(jī)生成純相位全息圖算法，該算法基于最速下降法(Steepest-Gradient-Descent Method)，并且運(yùn)用了Camera-In-The-Loop(CITL)技術(shù)。在每次循環(huán)中，CITL技術(shù)可以直接捕捉到全息圖的光學(xué)而非數(shù)字模擬重建結(jié)果，并且將該結(jié)果用于對全息圖的進(jìn)一步優(yōu)化；另外，該算法可以訓(xùn)練得出一個光場傳遞的可解釋模型，在此基礎(chǔ)之上訓(xùn)練出的HoloNet深度學(xué)習(xí)模型可以做到全彩、高質(zhì)量、高分辨率的實時二維全息顯示[171]。由Horisaki等人提出的基于卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法所生成的全息圖可以進(jìn)行多個平面的圖像重建，對特定種類的三維圖像能夠取得較高的重建質(zhì)量[172]。

4.4 基于Wirtinger Flow的相位提取方法

Chakravarthy等人提出的基于維爾丁格流(Wirtinger Flow)的相位提取方法可以將相位提取問題轉(zhuǎn)化為可用一階優(yōu)化算法(First-Order Optimization Method)進(jìn)行優(yōu)化的二次問題(Quadratic Problem)。該方法可以靈活地使用各種成本函數(shù)，包括由深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練出的感知損失，并且也可以與隨機(jī)優(yōu)化方法結(jié)合。運(yùn)用該相位提取方法進(jìn)行全息圖優(yōu)化可以使重建質(zhì)量達(dá)到極高的準(zhǔn)確度，而計算成本則僅與GS算法相當(dāng)，并且在進(jìn)行底層代碼以及硬件優(yōu)化之后，有望實現(xiàn)實時全息顯示[173]。

5 結(jié) 論

本文以迭代性算法、非迭代性算法以及其他算法作為分類，總結(jié)了計算機(jī)生成純相位全息圖的主要算法。以Gerchberg-Saxton為代表的迭代性算法的特點是利用傅立葉變換或菲涅爾變換在兩個平面間多次變換，并輔以靈活度極高的限制條件，可以取得很好的重建圖像準(zhǔn)確度。在Gerchberg-Saxton基礎(chǔ)之上的一系列改進(jìn)的迭代算法擁有更高的靈活性，可以更好地消除斑點噪聲并取得更高的重建質(zhì)量，而付出的代價是更高的計算負(fù)荷。作為另一種迭代性方法，誤差擴(kuò)散方法所需的計算量會更小一些，而且無需原始圖像的信息便可以直接由復(fù)振幅全息圖生成純相位全息圖，并能取得不錯的重建質(zhì)量，權(quán)重參數(shù)也給這種方法一定的自由度與提升空間；此外，誤差擴(kuò)散方法與其他算法的結(jié)合適用性很強(qiáng)，可以與各種各樣的相位掩膜方法結(jié)合使用。

作為非迭代性算法，非隨機(jī)相位方法、采樣方法以及雙相位方法都能很好地減少斑點噪聲，而且計算負(fù)荷也很小，十分符合實時全息顯示的需求。

其他類的方法中，直接算法需要極大的運(yùn)算量與儲存空間，因此這些方法在實際應(yīng)用中并不十分常見。而近年提出的作為迭代算法和非迭代算法的結(jié)合類算法，則既能在較小的計算量下通過迭代方法算出一個最優(yōu)相位掩膜，再用這個掩膜去快速地計算出純相位全息圖，同時也能保證較高的重建質(zhì)量和較高的收斂速率，也十分符合動態(tài)實時顯示場景的要求?；谏疃葘W(xué)習(xí)的全息圖生成方法也在幾年來不斷取得突破，CITL技術(shù)的引入也使得全息圖優(yōu)化過程中的光學(xué)重建結(jié)果可以更有效地與深度學(xué)習(xí)或者最速梯度下降等方法結(jié)合，以取得更高的重建質(zhì)量。另外，深度學(xué)習(xí)方法可以在固定的計算復(fù)雜度內(nèi)生成高質(zhì)量的純相位全息圖，并且可以靈活地設(shè)定自定義優(yōu)化目標(biāo)。最后，基于維爾丁格流的全息圖優(yōu)化方法既可以用與傳統(tǒng)GS算法相當(dāng)?shù)挠嬎懔繉⒅亟ㄕ`差減少一個量級，還可以靈活使用不同的成本函數(shù)，并且能與各類一階優(yōu)化算法結(jié)合，具有很大的發(fā)展?jié)摿Α?/p>

目前，傳統(tǒng)的迭代與非迭代的純相位全息圖優(yōu)化算法都已經(jīng)取得了不錯的效果，但需要在計算耗時與重建質(zhì)量間做出取舍，深度學(xué)習(xí)、維爾丁格流等新方法的不斷出現(xiàn)為解決這一問題帶來了新的思路，這些工作都有利于實時、廣視場、高質(zhì)量全息三維顯示的早日實現(xiàn)?，F(xiàn)有不少算法主要針對由二維物體圖像生成的平面純相位全息圖，而由三維物體圖像生成曲面純相位全息圖(如柱面全息圖和球面全息圖)的優(yōu)化算法值得進(jìn)一步研究，此外面向數(shù)字微鏡器件(DMD)等振幅型空間光調(diào)制器的全息圖優(yōu)化算法[174-175]還相對偏少，可以借鑒各種純相位全息圖的優(yōu)化算法進(jìn)行進(jìn)一步探索。