基于Chirp-Z變換的結(jié)構(gòu)熱模態(tài)試驗(yàn)方法

宋巧治，李曉東，楊文岐

(中國(guó)飛機(jī)強(qiáng)度研究所，陜西 西安 710065)

1 引 言

高超聲速飛行器在飛行過程中受到嚴(yán)酷的氣動(dòng)加熱，受溫度分布不均引起的熱應(yīng)力以及高溫引起的材料性能變化共同作用，結(jié)構(gòu)的固有振動(dòng)特性發(fā)生改變。同時(shí)，在整個(gè)飛行包線內(nèi)，結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性隨著時(shí)間變化，從而造成結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)及顫振特性的時(shí)變特性，對(duì)結(jié)構(gòu)的動(dòng)穩(wěn)定性及動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性產(chǎn)生明顯影響。為此，需要對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)參數(shù)的時(shí)變特性進(jìn)行分析和測(cè)試。由于分析過程中做了大量簡(jiǎn)化，因此分析結(jié)果無法精確反映結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性以及其時(shí)變特性。當(dāng)前，結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性仍需要依賴試驗(yàn)手段，而時(shí)變結(jié)構(gòu)試驗(yàn)測(cè)試則依賴于時(shí)變參數(shù)識(shí)別算法。

時(shí)變結(jié)構(gòu)實(shí)際上不存在模態(tài)概念，為了對(duì)照時(shí)不變結(jié)構(gòu)，學(xué)者提出了偽模態(tài)參數(shù)的概念，即在一定時(shí)間內(nèi)將結(jié)構(gòu)看作時(shí)不變系統(tǒng)，將模態(tài)參數(shù)的概念應(yīng)用于結(jié)構(gòu)分析中。國(guó)內(nèi)外對(duì)時(shí)變結(jié)構(gòu)偽模態(tài)參數(shù)識(shí)別算法的研究較多，一類是基于傳統(tǒng)頻率方法的改進(jìn)方法，為了突出時(shí)變特性，稱為時(shí)頻方法(Time-frequency analysis，TFA)[1]，其相對(duì)成熟的方法主要包括Gabor展開[2](Gabor expansion)、短時(shí)傅里葉變換(Short Time Fourier Transform，STFT)、小波變換(Wavelet Transform，WT)以及Wigner-Ville分布[3]。另一類是基于Hilbert-Huang變換(HHT)的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法。

經(jīng)典的傅里葉變換無法反映結(jié)構(gòu)的時(shí)變特性，基于傅里葉變換改造的短時(shí)傅里葉變換方法雖然可以獲得信號(hào)的時(shí)頻特性，但是由于時(shí)間分辨率和頻率分辨率相互矛盾，因此獲得的時(shí)頻數(shù)據(jù)無法精確體現(xiàn)參數(shù)的時(shí)變特性。為此，學(xué)者提出了調(diào)頻Z變換(Chirp-Z)方法[4]，該方法具有以下優(yōu)點(diǎn)[5]：

(1)不必增加采樣點(diǎn)數(shù)即可提高頻率分辨率、頻率、幅值及相位精度，非常適合瞬態(tài)和短樣本信號(hào)的頻率細(xì)化。

(2)不需要進(jìn)行濾波等處理，可以避免由濾波等引入的誤差。

(3)輸入點(diǎn)數(shù)和輸出點(diǎn)數(shù)可以不相等，且與頻率分辨率相互獨(dú)立，靈活性好，當(dāng)選帶在頻譜上滑動(dòng)時(shí)，只有部分參數(shù)需要重新計(jì)算。

(4)計(jì)算效率較高，Chirp-Z的基礎(chǔ)運(yùn)算依然是快速傅里葉變換(FFT)，因此FFT加速算法在Chirp-Z方面依然有效，同時(shí)對(duì)于非2的指數(shù)長(zhǎng)度數(shù)據(jù)處理，Chirp-Z效率要高于FFT算法。

國(guó)內(nèi)外對(duì)Chirp-Z變換進(jìn)行了大量研究，并在多個(gè)領(lǐng)域進(jìn)行了實(shí)際應(yīng)用，獲得了良好的應(yīng)用效果，尤其在頻響函數(shù)和頻譜細(xì)化等方面獲得了大量應(yīng)用[6-8]。但是，當(dāng)前的研究主要集中在頻譜細(xì)化等方面[9]，在時(shí)變結(jié)構(gòu)的參數(shù)識(shí)別方面研究較少。

本文基于Chirp-Z變換方法，對(duì)頻響函數(shù)進(jìn)行細(xì)化，解決短時(shí)傅里葉變換的時(shí)間分辨率與頻率分辨率的矛盾，對(duì)時(shí)變結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)參數(shù)識(shí)別方法進(jìn)行了研究，并通過算例對(duì)本文提出的方法進(jìn)行了測(cè)試與驗(yàn)證，對(duì)熱環(huán)境下結(jié)構(gòu)的響應(yīng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了分析，獲得了頻率的時(shí)變特性。

2 算法原理

線性Chirp-Z變換算法可以密集計(jì)算局部頻譜，提高局部頻譜分辨率。根據(jù)單頻信號(hào)加窗理論，頻譜幅值最大點(diǎn)出現(xiàn)在真實(shí)頻點(diǎn)上。因此，在高分辨率下，找到頻譜的極大值，即可認(rèn)為其是真實(shí)頻點(diǎn)。Chirp-Z變換算法分析如下：

設(shè)x(n)表示N點(diǎn)序列，0≤n≤N-1，其Z變換為：

(1)

式中：

zk=AW-kk=0,1,…,M-1

(2)

A=A0ejθ0

(3)

W=W0e-jφ0

(4)

其中，A0是第一個(gè)抽樣點(diǎn)的矢量半徑的長(zhǎng)度，θ0為起始抽樣點(diǎn)的相角，φ0為相鄰抽樣點(diǎn)的角度差。φ0取值不同時(shí)代表的方向不同，φ0>0時(shí)為逆時(shí)針，φ0<0時(shí)為順時(shí)針。W0為螺線的伸展率，W0>1時(shí)螺線內(nèi)縮，W0<1時(shí)螺線外伸，W0=1時(shí)則表示半徑為A0的一段圓弧。如果A0=1，則表示單位圓上的一段圓弧。若有θ0=0,φ0=2π/N，M=N，即為序列的DFT[10]。Chirp-Z變換在單位圓上的螺旋采樣點(diǎn)如圖1所示。

圖1 Chirp-Z變換在單位圓上的螺旋采樣點(diǎn)

將式(2)-式(4)代入式(1)中，可以得到：

(5)

由布魯斯坦公式可以得到：

(6)

式(5)可以轉(zhuǎn)化為：

(7)

令：

(8)

(9)

則有：

(10)

式(10)可以寫作卷積形式：

(11)

Chirp-Z變換的運(yùn)算流程如圖2所示。

圖2 Chirp-Z變換流程圖

3 算例驗(yàn)證

為了驗(yàn)證算法的精度，本文采用一個(gè)三自由度系統(tǒng)進(jìn)行分析(如圖3所示)。三自由度系統(tǒng)的質(zhì)量陣是隨時(shí)間變化的，以此來模擬時(shí)變結(jié)構(gòu)的時(shí)變特性。結(jié)構(gòu)質(zhì)量陣、剛度陣以及阻尼陣由式(12)描述，其中，ω為結(jié)構(gòu)質(zhì)量陣變化頻率，本文中采用0.1257，對(duì)應(yīng)質(zhì)量陣變化頻率0.02Hz。

圖3 三自由度系統(tǒng)圖示

(12)

采用白噪聲信號(hào)作為系統(tǒng)激勵(lì)，對(duì)圖3所示的質(zhì)量塊1進(jìn)行激勵(lì)，其余兩個(gè)質(zhì)量塊激勵(lì)為0，激勵(lì)時(shí)域信號(hào)如圖4所示。對(duì)系統(tǒng)的位移響應(yīng)進(jìn)行分析求解，獲得了3個(gè)質(zhì)量塊的響應(yīng)時(shí)間歷程，如圖5所示。

圖4 在質(zhì)量塊1上施加的隨機(jī)信號(hào)

圖5 3個(gè)質(zhì)量塊的位移響應(yīng)信號(hào)

通過時(shí)間凍結(jié)法，將系統(tǒng)響應(yīng)劃分為若干區(qū)間，并認(rèn)為在一定時(shí)間內(nèi)，結(jié)構(gòu)的頻率變化不大?；谝陨霞僭O(shè)，對(duì)每個(gè)區(qū)間，利用Chirp-Z變換對(duì)響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行處理，獲得頻率細(xì)化的響應(yīng)頻譜，通過分析可以獲得結(jié)構(gòu)的頻率變化情況，并與理論結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。圖6給出了結(jié)構(gòu)三階頻率的理論值以及Chirp-Z變換辨識(shí)值的對(duì)比，可以看出，兩者吻合很好，證明了該方法在時(shí)變系統(tǒng)參數(shù)識(shí)別方面具有較高的識(shí)別精度。

圖6 結(jié)構(gòu)三階模態(tài)頻率理論與識(shí)別結(jié)果對(duì)比

4 熱環(huán)境下結(jié)構(gòu)模態(tài)測(cè)試

切尖三角形翼面結(jié)構(gòu)是現(xiàn)代高超聲速飛行器常用的一種翼面結(jié)構(gòu)形式，本文對(duì)一個(gè)鈦合金三角翼結(jié)構(gòu)進(jìn)行了測(cè)試與分析。結(jié)構(gòu)尺寸如下：根弦長(zhǎng)1800mm，梢弦長(zhǎng)150mm，半展長(zhǎng)1200mm，前緣線與根弦的夾角為31°，厚度9mm。翼面結(jié)構(gòu)的材料為TA15鈦合金，試驗(yàn)件及夾具如圖7所示。

圖7 試驗(yàn)件及夾具

為模擬氣動(dòng)加熱效應(yīng)，本文采用石英燈輻射加熱的方式對(duì)試驗(yàn)件進(jìn)行加熱，同時(shí)將試驗(yàn)件劃分為6個(gè)溫區(qū)，模擬飛行器的溫度分布。每個(gè)溫區(qū)進(jìn)行單獨(dú)溫度控制，試驗(yàn)件兩面對(duì)稱加熱，結(jié)構(gòu)溫度分布及溫控點(diǎn)布置如圖8所示，試驗(yàn)加熱現(xiàn)場(chǎng)如圖9所示。

圖8 結(jié)構(gòu)溫度分區(qū)

圖9 試驗(yàn)加熱現(xiàn)場(chǎng)

對(duì)6個(gè)溫區(qū)進(jìn)行獨(dú)立溫度控制，試驗(yàn)中最高溫度為500℃，總加溫時(shí)長(zhǎng)為200s。圖10給出了1#溫區(qū)預(yù)設(shè)的溫升曲線和實(shí)際溫升曲線，可以看出，實(shí)際溫升與預(yù)設(shè)值吻合很好。

圖10 預(yù)設(shè)溫升與實(shí)際溫升對(duì)比(1#溫區(qū))

為了對(duì)高溫環(huán)境下結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性進(jìn)行測(cè)試，本文采用激振器對(duì)試驗(yàn)件進(jìn)行激勵(lì)。激勵(lì)采用白噪聲信號(hào)，利用激光測(cè)振儀測(cè)試結(jié)構(gòu)響應(yīng)，記錄結(jié)構(gòu)的響應(yīng)速度信號(hào)，并通過對(duì)速度信號(hào)進(jìn)行Chirp-Z變換獲得結(jié)構(gòu)的細(xì)化頻譜特性，利用模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法獲得結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性參數(shù)。圖11為測(cè)試獲得的結(jié)構(gòu)速度響應(yīng)信號(hào)。

圖11 測(cè)試結(jié)構(gòu)速度響應(yīng)時(shí)域信號(hào)

利用Chirp-Z變換對(duì)響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行處理，設(shè)置分析頻率帶寬，分析獲得結(jié)構(gòu)的頻率變化情況，圖12給出了結(jié)構(gòu)三階頻率識(shí)別結(jié)果。從圖中可以看出，結(jié)構(gòu)前三階模態(tài)頻率在加熱過程中一直下降，而氣動(dòng)加熱會(huì)從兩個(gè)方面對(duì)結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性產(chǎn)生影響：(1)結(jié)構(gòu)材料模量的下降；(2)結(jié)構(gòu)內(nèi)應(yīng)力分布不均。一般來講，結(jié)構(gòu)模量下降會(huì)使得頻率下降，結(jié)構(gòu)內(nèi)應(yīng)力分布不均會(huì)導(dǎo)致結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率升高，部分情況下會(huì)導(dǎo)致結(jié)構(gòu)頻率下降。

圖12 結(jié)構(gòu)前三階模態(tài)頻率隨時(shí)間變化情況

5 結(jié) 論

本文采用Chirp-Z變換實(shí)現(xiàn)了受熱結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)參數(shù)識(shí)別，有效解決了短時(shí)傅里葉變換的時(shí)間分辨率和頻率分辨率的矛盾問題，為受熱結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性測(cè)試參數(shù)識(shí)別提供了一種有效方法，具體結(jié)論如下：

(1)與傅里葉分析相比，在相同時(shí)間序列長(zhǎng)度情況下，Chirp-Z變換可以得到更加精細(xì)的頻響特性，因此頻率分析精度更高；

(2)Chirp-Z變換基于FFT技術(shù)，可以利用現(xiàn)有的FFT加速算法，因此具有較高的計(jì)算效率；

(3)對(duì)于時(shí)變結(jié)構(gòu)，Chirp-Z變換可以不必增加采樣點(diǎn)數(shù)即可提高頻率分辨率、頻率、幅值及相位精度，非常適合瞬態(tài)和短樣本信號(hào)的頻率細(xì)化；

(4)由于Chirp-Z變換需要一定的數(shù)據(jù)長(zhǎng)度計(jì)算頻譜數(shù)據(jù)，因此該方法僅適用于緩變信號(hào)，不適用于突變信號(hào)。