物理非線性材料梁的彎曲變形解析解

吳 曉，羅佑新，李葉林

(湖南文理學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院，湖南 常德 415000)

1 引 言

伴隨著物理非線性材料結(jié)構(gòu)在工程實(shí)際中的推廣應(yīng)用，文獻(xiàn)[1]研究了非線性材料靜不定桿系的內(nèi)力求解；文獻(xiàn)[2]研究了非線性材料靜不定梁的彎曲變形，但沒(méi)有指出非線性材料靜不定梁內(nèi)力有可能是復(fù)數(shù)；文獻(xiàn)[3]研究了非線性材料RC雙曲冷卻塔在風(fēng)作用下的破壞過(guò)程；文獻(xiàn)[4]采用直接強(qiáng)度法研究了非線性金屬結(jié)構(gòu)材料軸壓短柱承載力；文獻(xiàn)[5]采用一種新評(píng)價(jià)方法研究了材料非線性結(jié)構(gòu)的抗震性能；文獻(xiàn)[6]研究了鋼筋混凝土薄板的熱屈曲。文獻(xiàn)[1-6]的研究工作說(shuō)明，物理非線性材料結(jié)構(gòu)已引起科研人員的較多關(guān)注。文獻(xiàn)[7]研究了靜定物理非線性材料結(jié)構(gòu)的變形，文獻(xiàn)[8]研究了非線性材料桿件的位移計(jì)算，文獻(xiàn)[9]研究了物理非線性材料梁的彎曲變形。文獻(xiàn)[7-9]的研究說(shuō)明，物理非線性材料結(jié)構(gòu)計(jì)算已引入高等院校材料力學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)中。文獻(xiàn)[10]研究了靜不定物理非線性材料梁的內(nèi)力計(jì)算，但給出了錯(cuò)誤結(jié)果?；谏鲜鲆蛩?，本文給出了物理非線性材料梁的彎曲變形解析解。

2 彎曲變形微分方程

由材料力學(xué)可知，梁內(nèi)距中性層為y處的應(yīng)變是：

(1)

式中，ρ為曲率半徑，y為任意點(diǎn)至中性層的距離。

假設(shè)應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系為：

(2)

式中，B、n為材料系數(shù)。

由于梁彎曲時(shí)，梁橫截面上的彎矩應(yīng)為：

(3)

把式(1)、式(2)代入式(3)中可得：

(4)

由式(4)可知，物理非線性材料梁的彎曲變形微分方程為：

(5)

假設(shè)以梁撓度向上為正方向，以梁中性軸向右為正方向。當(dāng)梁截面彎矩為正時(shí)，其彎曲曲率也為正，因此無(wú)論n為奇數(shù)還是偶數(shù)，物理非線性材料梁的彎曲變形微分方程皆為式(5)。梁截面彎矩為負(fù)時(shí)，其彎曲曲率也為負(fù)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，物理非線性材料梁的彎曲變形微分方程也為式(5)。梁截面彎矩為負(fù)時(shí)，其彎曲曲率也為負(fù)，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，要使物理非線性材料梁的彎曲變形解析解不出現(xiàn)復(fù)數(shù)，其彎曲變形微分方程應(yīng)為：

(6)

由式(6)可知，梁截面彎矩為負(fù)、彎曲曲率也為負(fù)，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)物理非線性材料梁的彎曲變形微分方程才能左右同號(hào)，物理非線性材料梁的彎曲變形解析解才可以為實(shí)數(shù)解，否則出現(xiàn)復(fù)數(shù)解，與材料力學(xué)不相符。

3 物理非線性材料梁彎曲變形

下面以n=2時(shí)物理非線性材料梁為例，研究梁的彎曲變形。

以圖1所示梁為例，可知梁截面彎矩方程為：

圖1 均布載荷作用下簡(jiǎn)支梁

(7)

由于圖1所示梁截面彎矩皆為正，把式(7)代入式(5)中可得：

(8)

把式(8)對(duì)x連續(xù)積兩次分可得：

(9)

式中，A1、B1為積分常數(shù)。

圖1所示簡(jiǎn)支梁的邊界條件為：

x=0,w(0)=0；x=l,w(l)=0

(10)

由式(9)、式(10)可知，圖1所示簡(jiǎn)支梁撓曲線方程為：

(11)

下面求圖2所示一次靜不定物理非線性材料梁的支撐反力。梁截面彎矩為：

圖2 一次靜不定梁

(12)

由于圖2所示一次靜不定物理非線性材料梁，在0≤x≤a時(shí)截面彎矩為正，在a≤x≤l時(shí)截面彎矩為負(fù)，因此令式(12)等于0，可求得：

(13)

當(dāng)0≤x≤a時(shí)，把式(12)代入式(5)中積分可得梁段轉(zhuǎn)角方程、撓度方程分別為：

(14)

(15)

當(dāng)a≤x≤l時(shí)，把式(12)代入式(6)中積分可得梁段轉(zhuǎn)角方程、撓度方程分別為：

(16)

(17)

圖2所示一次靜不定物理非線性材料梁的邊界條件為：

(18)

圖2所示一次靜不定物理非線性材料梁的0≤x≤a梁段與a≤x≤l梁段的連接條件為：

(19)

利用式(13)-式(19)可得方程：

a6-7.5a2l4+12al5-5l6=0

(20)

利用式(20)可求得：

a1=0.7692l,a2=-1.9648l

(21)

式(21)中，顯然a2=-1.9648l不合理，應(yīng)舍去。把a(bǔ)1=0.7692l代入式(13)中并利用靜力平衡方程可求得：

YA=0.3846ql,YB=0.6154ql,MB=0.1154ql2

(22)

如果圖2所示一次靜不定物理非線性材料梁，在0≤x≤a時(shí)截面彎矩為正、a≤x≤l時(shí)截面彎矩為負(fù)，把(12)代入式(5)中積分可得式(14)、式(15)，再利用邊界條件式(18)可得方程：

(23)

由式(23)可以求得：

(24)

式中，i2=-1，i為虛數(shù)單位。

再利用靜力平衡方程可求得：

(25)

由式(24)、式(25)可知，圖2所示一次靜不定物理非線性材料梁的支撐反力皆為復(fù)數(shù)，這與實(shí)際情況是不相符的。而文獻(xiàn)[10]采用廣義變分原理給出圖2所示一次靜不定物理非線性材料梁的支撐反力為：

(26)

本文作者采用單位載荷法、文獻(xiàn)[10]的廣義變分原理都只能得到方程式(23)，而由方程式(23)只能求得式(24)、式(25)。那么，文獻(xiàn)[10]是如何求得式(26)的呢？本文作者經(jīng)過(guò)反復(fù)演算發(fā)現(xiàn)，文獻(xiàn)[10]作者是采用疊加法得到式(26)的。眾所周知，求解非線性梁內(nèi)力及撓度是不能采用疊加法的，文獻(xiàn)[9]等其他文獻(xiàn)也都明確指出了這一點(diǎn)。所以，文獻(xiàn)[10]作者采用疊加法得到圖2所示一次靜不定物理非線性材料梁的支撐反力為式(26)是錯(cuò)誤的。本文的研究結(jié)果對(duì)實(shí)際工程設(shè)計(jì)及材料力學(xué)教學(xué)都有理論指導(dǎo)意義。

4 結(jié) 論

在假設(shè)以梁撓度向上為正方向，以梁中性軸向右為正方向的前提下，可得以下結(jié)論：