關于模糊映射的LgH-方向可微性問題的研究

李婷婷，包玉娥

（內蒙古民族大學 數(shù)理學院，內蒙古 通遼 028043）

關于模糊映射的可微性問題的研究中，有利用模糊數(shù)的H-差運算［1］給出的H-可微性概念［2］和利用模糊數(shù)的gH-差運算［3］給出的gH-可微性概念［4］.2003年，WANG等［5］給出了模糊映射的H-方向可微性概念，研究了凸模糊映射的方向導數(shù)的刻劃和存在性問題.2013年，BEDE等［4］給出了模糊映射的gH-可微性和LgH-可微性（gH-截可微性）概念及一系列相關性質，討論了模糊映射的gH-可微性與積分之間的關系.文獻［6］和文獻［7］分別討論了區(qū)間值映射的gH-方向可微性和模糊映射的gH-方向可微性問題，給出了區(qū)間值映射的gH-方向可微性概念和模糊映射的gH-方向可微性概念，得到了一些有意義的結論.在此基礎上，給出了模糊映射的LgH-方向可微、LgH-偏導數(shù)和LgH-梯度的概念，討論了模糊映射的LgH-方向可微性與區(qū)間值映射的gH-方向可微性以及端點函數(shù)的方向可微性之間的關系，證明了模糊映射的LgH-導數(shù)和LgH-偏導數(shù)均為模糊映射沿坐標軸方向的LgH-方向導數(shù).

1 預備知識

定義1.1［8］設R為實數(shù)集，如果模糊集u:R→[0,1]滿足下列4個條件：

（1）u是正規(guī)模糊集，即存在x∈R使得u(x)=1；

（2）u是上半連續(xù)函數(shù)；

（3）u是凸模糊集，即對任意的x,y∈R，λ∈[0,1]，有

（4）u的承集是緊集.

則稱u為R上的模糊數(shù)，記?為R上的所有模糊數(shù)構成的集合（即模糊數(shù)空間）.對u∈?，u的α-截集（α∈[0,1]）是一個有界閉區(qū)間

對于u,v∈?及r∈R，模糊數(shù)空間?上的加法運算和數(shù)乘運算定義如下：

對于u,v∈?，采用的u與v之間的距離公式為

設M為Rn中的一個非空子集.將M到?的映射稱為模糊映射，記為F:M→?.對α∈[]0,1，可以得

到與模糊映射F:M→?相對應的一族區(qū)間值映射x∈M.

其中，（1）[R]表示R上的所有有界閉區(qū)間構成的區(qū)間數(shù)空間；

定義1.2［3］對于u,v∈?，如果存在w∈?，使得u=v+w或v=u+(-1)w，則稱u與v的廣義H-差（即gH-差）存在，記為w=u?gHv.

如果u?gHv存在，則對α∈[]0,1，有

性質1.1［3］對于，如果ugHv存在，則對r∈R，有ru?gHrv也存在，且

對y∈Rn，記ye為y的單位向量.

定義1.3［7］設為模糊映射，x∈M.如果對y∈Rn，存在δ>0，使得對任意h∈()0,δ，有x+hye∈M(x-hye∈M)且gH-差存在，同時存 在使得

則稱F在x處沿y方向右（左）gH-方向可微，稱u+(u-)為F在x處沿y方向的右（左）gH-方向導數(shù)，并記為

定義1.4［6］設f:M→[R]為區(qū)間值映射，x∈M.如果對y∈Rn，存在δ>0，使得對任意h∈(0,δ)，有且存在，使得

則稱f在x處沿y方向右（左）gH-方向可微，并稱A+(A-)為f在x處沿y方向的右（左）gH-方向導數(shù)，記為

定理1.1［6］設f:M→[R]為區(qū)間值映射，.如果f在x處沿y方向gH-方向可微，并且存在δ>0，使得對h∈(0,δ)，有則，其中和分別為和在x處沿y方向的方向導數(shù).

定義1.5［4］設F:(a,b)→?為模糊映射，x∈(a,b)且x+h∈(a,b).如果存在u∈?，使得

則稱F在x處LgH-可微，且u稱為F在x處的LgH-導數(shù)，并記為FLgH(x)=u.

2 主要結果

定義2.1設F：M→?為模糊映射，x∈M.如果對y∈Rn，存在δ>0，使得對h∈(0,δ)，有x+hye∈M(x-hye∈M)且gH-差存在，同時存在u+∈?(u-∈?)使得對α∈[0,1]有

則稱F在x處沿y方向右（左）截gH-方向可微（簡記為LgH-方向可微），稱u+(u-)為F在x處沿y方向的右（左）截gH-方向導數(shù)，并記為

定理2.1設F:M→?為模糊映射，x∈M，y∈Rn.

（1）如果F在x處沿y方向右（左）gH-方向可微，則F在x處沿y方向右（左）LgH-方向可微且

（2）如果F在x處沿y方向gH-方向可微，則F在x處沿y方向LgH-方向可微且

證明（1）設F在x處沿y方向右（左）gH-方向可微，則對x∈M，y∈Rn，存在δ>0，使得對h∈(0,δ)，有x+hye∈M(x-hye∈M)且gH-差存在，同時存在，使得對α∈[0,1]有

所以，根據(jù)定義2.1可得F在x處沿y方向右（左）LgH-方向可微且

（2）設F在x處沿y方向gH-方向可微，則有.又 由（1）知.于是有.所以，F(xiàn)在x處沿y方向LgH-方向可微且

定理2.2設F:M→?為模糊映射，x∈M，y∈Rn，α∈[0,1].

（1）如果F在x處沿y方向右（左）LgH-方向可微，則區(qū)間值映射Fα:M→[R]在x處沿y方向右（左）gH-方向可微且

（2）如果F在x處沿y方向LgH-方向可微，則區(qū)間值映射Fα:M→[R]在x處沿y方向gH-方向可微且

證明（1）設F在x處沿y方向右（左）LgH-方向可微，則對x∈M，y∈Rn，存在δ>0，使得對h∈(0,δ)，有且gH-差存在，同時存在，使得對α∈[0,1]有

由定義1.2有

所以，根據(jù)定義1.4可得區(qū)間值映射Fα在x處沿y方向右（左）gH-方向可微且

（2）設F在x處沿y方向LgH-方向可微，則對x∈M，y∈Rn，存在δ>0，使得對h∈(0,δ)，有，且gH-差存在，同時存在，使得對α∈[0,1]有

由定義1.2有

所以，根據(jù)定義1.4可得區(qū)間值映射Fα在x處沿y方向gH-方向可微且

定理2.3設F:M→?為模糊映射，

（1）如果F在x處沿y方向右LgH-方向可微，并且存在δ>0，使得對h∈(0,δ),α∈[0,1]有，則區(qū)間值映射Fα的兩個端點函數(shù)和在x處沿y方向的右方向導數(shù)均存在，并且，其中和分別為和在x處沿y方向的右方向導數(shù).

（2）如果F在x處沿y方向左LgH-方向可微，并且存在δ>0，使得對h∈(0,δ),α∈[0,1]有，則區(qū)間值映射Fα的兩個端點函數(shù)和在x處沿y方向的左方向導數(shù)均存在，并且，其中和分別為和在x處沿y方向的左方向導數(shù).

（3）如果F在x處沿y方向LgH-方向可微，并且存在δ>0，使得對h∈(0,δ),α∈[0,1]有則區(qū)間值映射Fα的兩個端點函數(shù)和在x處沿y方向的方向導數(shù)均存在，并且，其中和分別為和在x處沿y方向的方向導數(shù).

證明（1）設F在x處沿y方向右LgH-方向可微，則對x∈M，y∈Rn，存在δ>0，使得對h∈(0,δ)，有x+hye∈M且gH-差存在，同時存在，使得對α∈[0,1]有

由定義1.2及性質1.1有

（2）和（1）的證明相同，從略.

（3）設F在x處沿y方向LgH-方向可微，則對x∈M，y∈Rn，存在δ>0，使得對h∈(0,δ)，有x+hye,x-hye∈M且gH-差存在，同時存在，使得對α∈[0,1]有

定理2.4設F:(a,b)→?為模糊映射，則F在x處沿y=1方向LgH-方向可微當且僅當F在x處LgH-可微且FLgH(x)=FLgH(x,1).

證明必要性 設F在x處沿y=1方向LgH-方向可微，則存在δ>0，使得對h∈(0,δ)，有x+h,x-h∈(a,b)且gH-差存在，同時存在FLgH(x,1)∈?使得對α∈[0,1]有

由于

于是有

從而有

所以，根據(jù)定義1.5可得F在x處LgH-可微且

充分性 設F在x處LgH-可微，則存在，使得對α∈[0,1]有

即存在δ>0，使得對h∈(0,δ)，有x+h,x-h∈(a,b)且gH-差存在，由必要性的證明過程可知

于是有

從而有

所以，根據(jù)定義2.1可得F在x處沿y=1方向LgH-方向可微且

定義2.2設F:M→?為模糊映射，.如果模糊映射在xi處LgH-可微，則稱F在x0處關于xi的LgH-偏導數(shù)存在，記為，且

定理2.5設F:M→?為模糊映射，.如果F在x0處沿ei方向LgH-方向可微，則F在x0處關于xi的LgH-偏導數(shù)存在，且

證明設，則對α∈[0,1]有

由F在x0處沿ei方向LgH-可微，則有

于是有

所以，根據(jù)定義2.2有F在x0處關于xi的LgH-偏導數(shù)存在，且

定義2.3設F:M→?為模糊映射，.如果F在x0的鄰域內關于xi的所有LgH-偏導數(shù)都存在且連續(xù)，則稱F在x0處LgH-可微，且其LgH-梯度為

推論2.1設F:M→?為模糊映射，.如果F在x0處LgH-可微，則

證明設F在x0處LgH-可微，則

所以，根據(jù)定義2.3可得F在x0處的LgH-梯度可記為

3 結論

模糊映射的可微性是模糊分析學的重要概念之一，對模糊優(yōu)化問題及模糊微分方程的研究起著關鍵的作用.對模糊映射的LgH-方向可微性問題進行了研究，討論了模糊映射的LgH-方向可微性與區(qū)間值映射的gH-方向可微性以及端點函數(shù)的方向可微性之間的關系，得到了模糊映射LgH-方向可微的幾個必要條件.將在接下來的研究工作中繼續(xù)討論模糊映射的gH-可微性及其在模糊規(guī)劃中的應用問題.