基于螺旋理論的管道蠕動并聯(lián)機構(gòu)的奇異性研究

朱錦翊，張春燕，盧晨暉

（上海工程技術(shù)大學(xué)機械與汽車工程學(xué)院,上海 201620）

機構(gòu)奇異位形通常指機構(gòu)失穩(wěn)、其運動學(xué)及動力學(xué)性能發(fā)生瞬時突變或傳遞運動及動力的能力失常時機構(gòu)的位形［1］。多年來許多學(xué)者對機構(gòu)奇異進(jìn)行了大量研究，其中典型的研究方法有Gosselin等［2］提出的基于機構(gòu)輸入輸出速度的分析法、Kumar［3］提出的基于對偶螺旋的概念法、Ma 等［4］提出的機構(gòu)特征法和Collins 等［5］提出的代數(shù)法。另外，針對不同類型的并聯(lián)機構(gòu)，Joshi等［6］討論了少自由度并聯(lián)機構(gòu)的雅可比矩陣，并分析了3-RPS 和3-UPU 機構(gòu)的奇異位形；Wu等［7］提出了可以避免密集的雅可比矩陣計算和方程求解的方法來得到機構(gòu)奇異位形。上述的分析方法普遍基于代數(shù)理論對機構(gòu)奇異位形進(jìn)行分類和定義，或基于機構(gòu)的一些特殊性質(zhì)對其奇異位形進(jìn)行求解。由于代數(shù)法自身的復(fù)雜性及機構(gòu)的多樣性，有些學(xué)者采用空間幾何解析方法來快速分析機構(gòu)奇異位形。如：Merlet［8］在并聯(lián)機構(gòu)研究中引入線幾何法；Zhang等［9］采用線幾何法來分析3-RSR多模式移動并聯(lián)機構(gòu)在運動過程中的奇異問題；Alamdar等［10］提出在不求解運動學(xué)方程的基礎(chǔ)上采用幾何解析方法求解5R球形并聯(lián)機構(gòu)的奇異位形。

輸流或傳質(zhì)管道是工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中重要的物質(zhì)輸送工具，近年來得到大量應(yīng)用。輸送管道在使用過程中會產(chǎn)生管道堵塞、管道泄漏等問題，需要配套的巡檢和清理裝備［11］。管道機器人正是隨著輸送管道的大量應(yīng)用而得以快速推廣和應(yīng)用的。研發(fā)性能優(yōu)良的管道機器人具有工程迫切性［12］。本文提出一種可在管道內(nèi)進(jìn)行監(jiān)測和探傷的管道蠕動并聯(lián)機構(gòu)，并研究其在移動過程中的奇異問題。奇異是機構(gòu)的固有特性，處于奇異位置的機構(gòu)的運動與力學(xué)特性均會改變［13］，因此分析機構(gòu)尤其是移動機構(gòu)的奇異性具有重要意義［14］。并且，管道蠕動并聯(lián)機構(gòu)在結(jié)構(gòu)及蠕動方式上的特殊性使得其一旦發(fā)生奇異就會使管道和機構(gòu)本身不可避免地受到損傷和破壞，尤其是在彎管中，奇異可能會導(dǎo)致機構(gòu)堵塞或卡死在管道內(nèi)。因此，采取措施預(yù)防機構(gòu)在管道內(nèi)移動時發(fā)生奇異是十分必要的。由于管道蠕動并聯(lián)機構(gòu)在移動過程中的雅可比矩陣十分復(fù)雜且求解效率較低，用代數(shù)方法求解并不適合。故本文主要通過螺旋理論結(jié)合線幾何方法，在Fang 等［15］提出的奇異分類的基礎(chǔ)上提出并聯(lián)機構(gòu)在移動過程中的奇異分析方法。首先分析機構(gòu)自身支鏈間的關(guān)系，得到其相應(yīng)的奇異幾何關(guān)系，再進(jìn)一步分析機構(gòu)在移動時發(fā)生奇異的約束情況，從而得出相應(yīng)的機構(gòu)奇異位形和奇異軌跡，以期為后續(xù)機構(gòu)軌跡的規(guī)劃提供參考，為樣機制作提供理論依據(jù)。

1 管道蠕動并聯(lián)機構(gòu)的工作原理

本文提出的可折展的管道蠕動并聯(lián)機構(gòu)的結(jié)構(gòu)和結(jié)構(gòu)簡圖分別如圖1 和圖2 所示。其中：機器人主體為3-（P）URU（P）并聯(lián)機構(gòu)，3 根連桿通過3 個移動副P 連接成自由度為1 的等邊三角形，構(gòu)成并聯(lián)機構(gòu)的上下平臺。3 條URU 支鏈分別通過兩等邊三角形頂點對稱相連，形成一個上下結(jié)構(gòu)對稱的3-URU 并聯(lián)機構(gòu)，其中連接支鏈與平臺的是2 個其軸線相互垂直的U 副。6 個驅(qū)動電機分別安裝在與上下平臺平行的UB，i2、UA，i2軸線上，通過對電機的協(xié)調(diào)控制，可實現(xiàn)上平臺（或下平臺）在X、Y向的轉(zhuǎn)動和Z向的移動共3 個自由度的運動，從而實現(xiàn)動平臺位姿的變化。調(diào)節(jié)上下平臺內(nèi)的移動副可改變平臺的大小。機構(gòu)整體為具有5 個自由度的3-（P）URU（P）并聯(lián)機構(gòu)。

圖1 管道蠕動并聯(lián)機構(gòu)的結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of pipeline creeping parallel mechanism

圖2 管道蠕動并聯(lián)機構(gòu)的結(jié)構(gòu)簡圖Fig.2 Schematic diagram of pipeline creeping parallel mechanism

機構(gòu)在管道內(nèi)工作時，通過上下平臺的縮放，使平臺頂點交替與管道內(nèi)壁接觸從而實現(xiàn)機構(gòu)的蠕動。其蠕動過程如圖3 所示。其中：坐標(biāo)系O-XYZ的原點O為下平臺的中心點，X向平行于A1A3，Y向指向A2點，Z向由右手定則確定。上下平臺通過移動副放大尺寸并與管道內(nèi)壁接觸，利用摩擦力使接觸平臺成為定平臺，則另一平臺利用移動副縮小后成為動平臺；確定動定平臺后，機構(gòu)的蠕動則依靠支鏈的運動。驅(qū)動定平臺一側(cè)的電機使得動平臺實現(xiàn)沿X、Y向的轉(zhuǎn)動和沿Z向的移動，因此可以滿足機構(gòu)在管道內(nèi)蠕動的自由度變化的要求［16］。

圖3 管道蠕動并聯(lián)機構(gòu)的蠕動過程Fig.3 Creeping process of pipeline creeping parallel mechanism

機構(gòu)的奇異性會對其蠕動過程造成重要影響，故須分析該機構(gòu)在蠕動過程中的奇異性問題。機構(gòu)的奇異主要是由于受到了支鏈的約束影響且在一次運動周期中動定平臺發(fā)生了轉(zhuǎn)換，為此須先分析3-（P）URU（P）機構(gòu)自身支鏈產(chǎn)生奇異時的幾何關(guān)系，再分析機構(gòu)在管道內(nèi)蠕動時的奇異性。

2 并聯(lián)機構(gòu)奇異分析流程

并聯(lián)機構(gòu)的奇異可分為支鏈奇異、約束奇異和驅(qū)動奇異［15］。通常在機構(gòu)工作空間內(nèi)部發(fā)生約束奇異或驅(qū)動奇異，且其對機構(gòu)的運動性能產(chǎn)生較大的影響，而支鏈奇異一般發(fā)生在機構(gòu)工作空間的邊界區(qū)域，對其運動性能影響較小［17］。若機構(gòu)運動情況特殊，則支鏈奇異造成的影響并不可忽略。

2.1 支鏈奇異

建立機構(gòu)支鏈i的運動螺旋系{$i}，并將其轉(zhuǎn)化為矩陣形式Ai，即：

式中：n為支鏈i中運動螺旋的個數(shù)。

Ai降秩時，支鏈運動螺旋間線性相關(guān)，此時支鏈間的幾何關(guān)系導(dǎo)致機構(gòu)自由度減少，機構(gòu)發(fā)生支鏈奇異［18］。

2.2 約束奇異

根據(jù)螺旋理論得出機構(gòu)支鏈i的所有運動螺旋系{$i}，運用互易積運算求出支鏈i的約束螺旋系{$ri}，則機構(gòu)所有的約束螺旋系構(gòu)成機構(gòu)的約束雅可比矩陣Jr，即：

式中：t為支鏈i的約束螺旋個數(shù)。

Jr降秩時，約束螺旋間線性相關(guān)，動平臺的約束減少，此時支鏈間的幾何關(guān)系導(dǎo)致機構(gòu)自由度增多，機構(gòu)發(fā)生約束奇異［19］。

2.3 驅(qū)動奇異

Jq降秩時，支鏈間的幾何關(guān)系導(dǎo)致機構(gòu)仍存在自由度，機構(gòu)發(fā)生驅(qū)動奇異［20］。

由Jr與Jq組合可得機構(gòu)的完整雅可比矩陣J［9］：

綜上可知，并聯(lián)機構(gòu)在移動過程中的奇異分析流程如圖4所示。

3 3-(P)URU(P)并聯(lián)機構(gòu)奇異位形分析

3-（P）URU（P）關(guān)聯(lián)機構(gòu)動平臺的自由度主要由URU支鏈決定，上下平臺的P副只改變平臺的大小，對機構(gòu)的約束沒有影響。分析機構(gòu)奇異位形時先分析3條支鏈間的幾何關(guān)系。并聯(lián)機構(gòu)在管道內(nèi)的蠕動是一個連續(xù)過程，即使在蠕動剛開始時機構(gòu)奇異對其運動性能影響較小，但在后續(xù)的蠕動中該影響會累加，因此須分析機構(gòu)的3種奇異位形。

3.1 支鏈奇異位形分析

3-（P）URU（P）機構(gòu)的支鏈螺旋如圖5 所示。建立支鏈坐標(biāo)系oi-xiyizi，支鏈軸線交匯點為原點oi，xi向平行于$i2軸線方向，zi向為$i1軸線方向，yi向按右手定則選取。

機構(gòu)支鏈運動螺旋系為：

圖4 并聯(lián)機構(gòu)奇異分析流程Fig.4 Singularity analysis process of parallel mechanism

圖5 3-(P)URU(P)并聯(lián)機構(gòu)支鏈螺旋示意Fig.5 Schematic diagram of branched chain helix of 3-(P)URU(P)parallel mechanism

式中：b2、b3、b4、c3、c4、m5、n5為不等于0的螺旋參數(shù)。

URU 支鏈軸線上的特殊性導(dǎo)致式（5）中第4 列元素全部為零，所以Ai就簡化為5×5 的矩陣M，其秩r(Ai)的變化就可以通過detM來求解。

則：

根據(jù)式（7），可知detM=0有2種情況。

情況1：當(dāng)m5=0時，$i5=( 0 0n5；0 0 0 )，可以看出$i1與$i5線性相關(guān)，支鏈幾何關(guān)系為$i1與$i5的軸線重合，如圖6（a）所示。

圖6 3-(P)URU(P)并聯(lián)機構(gòu)支鏈奇異位形Fig.6 Branch chain singularity configuration of 3-(P)URU(P)parallel mechanism

3.2 約束奇異位形分析

以機構(gòu)定平臺為下平臺、動平臺為上平臺為例分析機構(gòu)約束奇異位形。機構(gòu)約束力方向為圖7中約束螺旋方向，代表支鏈i所受的約束力，平面S為約束力平面。根據(jù)式（2）建立機構(gòu)的約束雅可比矩陣：

圖7 3-(P)URU(P)并聯(lián)機構(gòu)各支鏈約束螺旋Fig.7 Constraint screw of each branch chain of 3-(P)URU(P)parallel mechanism

由螺旋理論可知，3條力線矢只有共軸或共面交匯或共面平行時才線性相關(guān)［21］，如圖8所示。而機構(gòu)的$ri1一旦發(fā)生線性相關(guān)，Jr一定發(fā)生降秩，此時機構(gòu)支鏈間的幾何關(guān)系如圖9所示。

圖8 3條力線矢線性相關(guān)的幾何條件Fig.8 Geometric conditions for linear correlation of three force line vectors

圖9 3-(P)URU(P)并聯(lián)機構(gòu)約束奇異位形Fig.9 Constraint singular configuration of 3-(P)URU(P) parallel mechanism

3.3 驅(qū)動奇異分析

如上所述，鋼化支鏈i的驅(qū)動副$i2。鋼化后機構(gòu)支鏈約束如圖10所示。

圖10 鋼化后支鏈約束Fig.10 Branch chain constraint after toughening

如圖10所示，設(shè)驅(qū)動副的輸入角度為θi，連桿長度為d，則支鏈運動螺旋系為：

約束螺旋系為：

一旦Jq降秩，則會發(fā)生驅(qū)動奇異。根據(jù)式（8），可得機構(gòu)6×6的完整雅可比矩陣J：

由螺旋的空間幾何性質(zhì)可得機構(gòu)雅可比矩陣中螺旋空間位置，如圖11所示。由此可得Jq中所有約束螺旋的空間位置，如圖12所示，表明各螺旋的方向均垂直于約束力平面S，其相互平行。

圖11 螺旋的空間位置Fig.11 Spatial position of the screw

圖12 約束螺旋$r,2i 的空間位置Fig.12 Space position of constraint screw

由螺旋理論可知［22］，此時最大線性無關(guān)組數(shù)為3。對機構(gòu)而言，X、Y方向的轉(zhuǎn)動和Z方向的移動都受到限制。Jq不存在降秩情況，機構(gòu)支鏈不存在發(fā)生驅(qū)動奇異的位置關(guān)系。

4 3-(P)URU(P)并聯(lián)機構(gòu)在管道蠕動過程中的奇異分析

3-（P）URU（P）并聯(lián)機構(gòu)在管道內(nèi)的一次蠕動通過交替放大、縮小動定平臺，用其頂點與管道內(nèi)壁接觸產(chǎn)生的摩擦力將定平臺固定，動平臺在3條支鏈的共同驅(qū)動下向前運動而得以實現(xiàn)。其中動定平臺發(fā)生了1次轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換后其自身結(jié)構(gòu)沒有發(fā)生變化，動平臺的移動依然由在定平臺一側(cè)的電機驅(qū)動，機構(gòu)支鏈間的奇異性質(zhì)沒有隨著平臺的轉(zhuǎn)換而發(fā)生變化，機構(gòu)依然等效為3-URU并聯(lián)機構(gòu)，驅(qū)動副在定平臺上。

機構(gòu)在蠕動過程中的奇異情況會隨著管道環(huán)境的不同而不同，因此分在直管和彎管內(nèi)蠕動兩種情況分析機構(gòu)的奇異位形。建立3-（P）URU（P）并聯(lián)機構(gòu)的結(jié)構(gòu)示意圖，如圖13 所示。其中：K為A2A3的中點，B為上平臺的中心點；RA，RB分別為AA2、BB2的長度；Ai、Ci的坐標(biāo)分別為(xAi，yAi，zAi)和(xCi，yCi，zCi)。

圖13 3-(P)URU(P)并聯(lián)機構(gòu)的結(jié)構(gòu)示意圖Fig.13 Schematic diagram of the structure of 3-(P)URU(P)parallel mechanism

4.1 機構(gòu)在彎管內(nèi)蠕動

當(dāng)機構(gòu)在彎管內(nèi)蠕動時，協(xié)調(diào)控制定平臺一側(cè)的電機，使得動平臺中心點可有效地沿彎管中心軸線移動。在機構(gòu)蠕動過程中動平臺位姿發(fā)生變化，而且由于彎管存在X、Y兩個方向的空間變化，機構(gòu)在沿彎管中心軸線移動時只可能發(fā)生支鏈奇異。其奇異位形如圖14所示。

由上述分析可得，當(dāng)機構(gòu)支鏈位形如圖6（a）所示而Jr降秩時，支鏈運動的反螺旋系為式（13），其奇異位形如圖14（a）所示。

按照圖6（a）所示的幾何約束，則圖13 中A1、C1、B1三點形成一條直線。動平臺中心B所能形成的幾何約束方程是以B1為球心、半徑為RB的球面f(B1，RB)與動平面SB1B2B3相交所得的方程f（B1）。依據(jù)d、RB和θ1=60°可得B1的坐標(biāo)。A1A′1為SB1B2B3的法向量，A1的坐標(biāo)已知，A1在SB1B2B3上的投影點A′1可通過式（14）求得。在得知A′1坐標(biāo)后，可求得平面方程f(B1，B2，B3)。

圖14 機構(gòu)在彎管內(nèi)蠕動時的支鏈奇異位形Fig.14 Branched chain singular configuration of mechanism creeping in elbow

式中：n為平面SA1B1K的法向量。

由此可得f（B1）的方程式，結(jié)合式（16），求解f(B1)即得此時機構(gòu)奇異位形的奇異軌跡。

當(dāng)機構(gòu)支鏈位形如圖6（b）所示而Jr降秩時，支鏈運動的反螺旋系為式（17），其奇異位形如圖14（b）所示。

按照圖6（b）所示的幾何約束，則圖13中A1、B1兩點重合，而由于2個U副的間隙導(dǎo)致只能$2與$4重合。動平臺中心B所能形成的幾何約束方程是以B1為球心、半徑為RB的球面f(B1，RB)與平面SA1B1K相交所得的方程f(B2)。已知Ai的坐標(biāo)且SA1B1K為過A1的中垂面，得平面SA1B1K的方程f(A1，B1，K)。由此可得f(B2)的方程式，結(jié)合式（19），求解f(B2)即得此時機構(gòu)奇異位形的奇異軌跡。

式中：T1、T2、T3分別為RA、RB、d的任意值。

由式（13）和式（17）可知，在該支鏈奇異下，支鏈對動平臺的約束增加，機構(gòu)的自由度將減少。機構(gòu)在彎管內(nèi)蠕動時，一旦平臺處于上述奇異位形，則彎管轉(zhuǎn)向與奇異所增加的約束一致會導(dǎo)致機構(gòu)處于卡死位置，極大影響機構(gòu)后續(xù)的蠕動。

4.2 機構(gòu)在直管內(nèi)蠕動

當(dāng)機構(gòu)在直管內(nèi)蠕動時，同步驅(qū)動定平臺一側(cè)的電機，使得動平臺可以沿直管方向移動。同理，在確定動定平臺后機構(gòu)在蠕動過程中同樣存在奇異問題，會影響后續(xù)的蠕動。由于機構(gòu)在直管內(nèi)運動，其在X，Y方向都將受到約束，因此不會發(fā)生支鏈奇異，只可能發(fā)生約束奇異。其約束奇異位形如圖15所示。

圖15 機構(gòu)在直管內(nèi)蠕動時的約束奇異位形Fig.15 Constrained singular configuration of mechanism creeping in straight pipe

按照圖9所示的幾何約束，則圖13中C1、C2、C3三點重合為一點Q。已知|AiBi|=|BiCi|，可得如下約束方程：

d已知，則Ci點坐標(biāo)就能確定，且Ci點坐標(biāo)就是Q點坐標(biāo)，代入式（16）得其幾何約束方程f（B3）。結(jié)合式（22），求解f(B3)即得此時機構(gòu)奇異位形的奇異軌跡。根據(jù)尺寸條件，可求得輸入角度θi=arccos。

4.3 奇異軌跡仿真

圖16 機構(gòu)在工作空間內(nèi)的3種奇異軌跡Fig.16 Three kinds of singular trajectories in mechanism workspace

當(dāng)機構(gòu)在彎管中發(fā)生支鏈奇異時，盡管由式（15）和式（18）可知奇異軌跡呈圓形，但是受到式（16）和式（19）所示的尺寸約束限制，其軌跡只能為圓的一部分，即為弧線，如圖16 中處于工作空間邊緣的f（B1）、f（B2）方程軌跡。當(dāng)機構(gòu)在直管中發(fā)生約束奇異時，圖7中原先轉(zhuǎn)化為一個垂直于約束平面的約束力偶和2個約束力［23］會發(fā)生變化，此時機構(gòu)的約束力偶會消失，機構(gòu)將增加一個沿Z向轉(zhuǎn)動的自由度，并產(chǎn)生繞X、Y、Z三個方向的轉(zhuǎn)動，導(dǎo)致機構(gòu)動平臺中心會形成球面軌跡，即圖16 中f（B3）方程軌跡，其處于工作空間的中心位置。

5 結(jié) 論

1）依據(jù)螺旋理論，提出了一種管道蠕動并聯(lián)機構(gòu)的奇異分析方法，并將此方法應(yīng)用于3-（P）URU（P）并聯(lián)機構(gòu)的奇異分析中。分析了機構(gòu)支鏈間的約束關(guān)系，求解了支鏈矩陣的行列式，從而得到2種矩陣降秩情況，依此得到了機構(gòu)支鏈奇異的2種幾何位置關(guān)系。

2）根據(jù)所提出的方法，建立了機構(gòu)約束雅可比矩陣Jr，并通過線幾何的相關(guān)性得到發(fā)生約束奇異的一種機構(gòu)幾何位形。建立機構(gòu)驅(qū)動雅可比矩陣Jq，并通過分析得出Jq不會降秩，該機構(gòu)支鏈不存在發(fā)生驅(qū)動奇異的幾何位形。依據(jù)Jr和Jq建立了該移動機構(gòu)螺旋形式的完整雅可比矩陣J。

3）在分析了機構(gòu)支鏈存在的奇異幾何位形后，結(jié)合其在管道內(nèi)的蠕動過程，分析了在蠕動過程中機構(gòu)的奇異問題。判斷出機構(gòu)在彎管內(nèi)會發(fā)生支鏈奇異，而在直管內(nèi)會發(fā)生約束奇異，并根據(jù)幾何約束關(guān)系求得奇異約束方程及其軌跡。支鏈奇異軌跡為位于工作空間邊緣的弧線，支鏈奇異會導(dǎo)致機構(gòu)自由度減少，如果位置特殊，會導(dǎo)致機構(gòu)卡死。約束奇異軌跡為位于機構(gòu)工作中心的球面，會導(dǎo)致機構(gòu)蠕動的不確定性，也須避免。研究為后續(xù)機構(gòu)在管道中蠕動步態(tài)的規(guī)劃奠定了理論基礎(chǔ)。