考慮壓力與溫度影響的螺桿馬達(dá)過盈量設(shè)計(jì)方法

鐘良春，況雨春，舒 峰，張 聰

（1.西南石油大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，四川 成都 610500；2.中建環(huán)能科技股份有限公司，四川 成都 610500）

螺桿鉆具廣泛應(yīng)用于各個(gè)行業(yè)。馬達(dá)作為其核心部件，常在高溫、高壓和高應(yīng)力循環(huán)的惡劣條件下工作［1-3］。為使螺桿鉆具能夠在惡劣條件下正常工作并保證其使用壽命，合理設(shè)計(jì)馬達(dá)定子與轉(zhuǎn)子之間的過盈量十分必要。

Ba等［4］提出了一種新的螺桿馬達(dá)設(shè)計(jì)與測試方法，但并未考慮實(shí)際工況下螺桿馬達(dá)過盈量的變化。曹剛等［5］建立了螺桿泵的三維有限元模型，并采用單向解耦方法分析了過盈量對其定子溫度場的影響。柳歡歡和鄭道寬［6-7］通過建立螺桿馬達(dá)的三維流固耦合模型，分析了馬達(dá)輸出扭矩與過盈量的關(guān)系。Alvarez等［8］預(yù)測了螺桿馬達(dá)在工作過程中的過盈量變化情況，并分析了過盈量對馬達(dá)工作性能的影響。

目前，螺桿馬達(dá)過盈量的設(shè)計(jì)大多根據(jù)經(jīng)驗(yàn)展開。筆者提出一種考慮工作壓力和井下溫度的螺桿馬達(dá)過盈量設(shè)計(jì)方法，并通過螺桿鉆具整機(jī)臺架試驗(yàn)來驗(yàn)證所提出方法的可行性，旨在為螺桿馬達(dá)過盈量以及其余參數(shù)的設(shè)計(jì)提供參考。

1 螺桿馬達(dá)有限元模型及參數(shù)

以4-5頭普通內(nèi)擺線馬達(dá)為例，建立其定子與轉(zhuǎn)子的二維嚙合有限元模型，如圖1所示。其中：定子的材料為丁腈橡膠，轉(zhuǎn)子的材料為鍍鉻合金鋼，在建模時(shí)將轉(zhuǎn)子視作剛體處理。該螺桿馬達(dá)定子的大、小徑分別為：Rs=101.88 mm，rs=74.76 mm，定子的最小厚度d=15 mm。轉(zhuǎn)子的大、小徑分別為：Rr=90 mm，rr=60 mm。

圖1 螺桿馬達(dá)定子與轉(zhuǎn)子的二維嚙合有限元模型Fig.1 Two-dimensional meshing finite element model of stator and rotor of screw motor

橡膠作為一種超彈性材料，具有高度非線性和幾乎不可壓縮等特征。常用的橡膠材料本構(gòu)模型包括Ogden 模型、Mooney-Rivlin（M-R）模型和Yeoh 模型［9-11］。鑒于螺桿馬達(dá)中定子的變形小于150%，選擇M-R模型。

M-R模型的一般形式為：

式中：W為應(yīng)變能密度函數(shù)；Cij為材料常數(shù)；I1、I2、I3分別為材料的第一、第二和第三應(yīng)力不變量；k為體積模量。

當(dāng)N=1 時(shí)，上述模型即為常用的兩參數(shù)模型。假定橡膠為不可壓縮材料，則其M-R模型可表示為：

根據(jù)橡膠材料的硬度Hr與彈性模量E0的試驗(yàn)值［12-13］以及計(jì)算得到的C10、C01，通過擬合可得：

通過硬度計(jì)測得丁腈橡膠試樣的邵氏硬度為75，聯(lián)立式（3）和式（4）可得C01/C10=0.015，則丁腈橡膠的本構(gòu)參數(shù)為：C10=1.302，C01=0.020。

2 壓力和溫度對螺桿馬達(dá)過盈量的影響

2.1 壓力的影響

對螺桿馬達(dá)二維有限元模型的內(nèi)腔表面施加20 MPa 的均勻壓力，暫不考慮溫度的影響，通過仿真計(jì)算得到其定子的位移云圖，如圖2所示。由圖2可以看出，螺桿馬達(dá)定子小徑處（即橡膠層較厚處）的變形大，大徑處（即橡膠層較薄處）變形?。欢ㄗ咏孛娴慕Y(jié)構(gòu)對稱，其位移均沿圓周方向呈周期性變化，最大位移位于定子大徑處，為0.18 mm，小徑處的位移為0.1 mm。在該工況下，若要保證螺桿鉆具正常工作，即確保其馬達(dá)的各個(gè)密封腔之間不互相串通、泄漏（螺桿鉆具正常工作時(shí)允許一定的泄漏存在），則要保證馬達(dá)的過盈量大于0.28 mm。

圖2 20 MPa均勻壓力下螺桿馬達(dá)定子的位移云圖Fig.2 Displacement nephogram of screw motor stator under 20 MPa equalizing pressure

在螺桿鉆具鉆進(jìn)過程中，不同井段的工作壓力不同。分別取均勻壓力為20，30，40和50 MPa，對不同均勻壓力下螺桿馬達(dá)的定子進(jìn)行仿真分析，得到其位移變化曲線（因定子截面的結(jié)構(gòu)對稱，僅取1/10定子進(jìn)行分析），如圖3所示。由圖3可以看出，不同壓力下螺桿馬達(dá)定子位移的變化規(guī)律基本相同，但隨著壓力的增大，定子大徑與小徑處的位移差越來越大，即壓力越大，定子變形程度越大。當(dāng)壓力達(dá)到50 MPa時(shí)，定子大、小徑處的位移差達(dá)到了0.24 mm，由此可知傳統(tǒng)的均勻過盈量設(shè)計(jì)方法是不合理的。

圖3 不同均勻壓力下螺桿馬達(dá)定子的位移變化曲線Fig.3 Displacement curves of screw motor stator under different equalizing pressures

此外，由于螺桿馬達(dá)內(nèi)各個(gè)密封腔的壓力不同，不同腔室之間會相互擠壓，從而導(dǎo)致定子產(chǎn)生變形。根據(jù)螺桿馬達(dá)定子與轉(zhuǎn)子的嚙合關(guān)系，選擇極限嚙合位置，此時(shí)定子與轉(zhuǎn)子之間形成了5個(gè)密封腔，如圖4所示。從螺桿馬達(dá)的入口處到出口處，工作壓力逐級降低，這也是螺桿鉆具使用一段時(shí)間后出現(xiàn)“喇叭口”的重要原因。因此，第1級螺桿馬達(dá)定子的變形最大且最易失效，則只須取第1級螺桿馬達(dá)的截面作為研究對象，即可確定整個(gè)馬達(dá)的過盈量。假定螺桿馬達(dá)入口處的工作壓力為20 MPa，定子與轉(zhuǎn)子的單級工作壓差為0.60 MPa，轉(zhuǎn)子按順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動。隨著轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動，腔室面積減小的密封腔為排出腔且為增壓腔。第1級螺桿馬達(dá)截面處有5個(gè)密封腔，其中腔室1，2為排出腔，腔室4，5為吸入腔。對各腔室加載的壓力如下：對腔室1加載20.60 MPa壓力，對腔室2加載20.45 MPa壓力，對腔室3加載20.30 MPa壓力，對腔室4 加載20.15 MPa 壓力，對腔室5 加載20.00 MPa壓力。

在壓差作用下螺桿馬達(dá)定子的Mises 應(yīng)力及位移云圖分別如圖5和圖6所示。從圖5中可以看出，應(yīng)力集中主要出現(xiàn)在嚙合點(diǎn)A附近，位于A點(diǎn)高壓側(cè)的交界點(diǎn)處，最大Mises應(yīng)力為0.372 MPa，說明該處最易磨損［14-16］。從圖6中可以看出，在嚙合點(diǎn)附近，高壓側(cè)橡膠明顯被擠向低壓側(cè)，定子最大變形也出現(xiàn)在嚙合點(diǎn)A的高壓側(cè)，這是因?yàn)楦邏呵皇?與低壓腔室5 的工作壓差為0.60 MPa，且A點(diǎn)處的橡膠層最厚。壓差作用下螺桿馬達(dá)定子位移的變化曲線如圖7所示。從圖7中可以看出，在最大壓差的兩側(cè)（即廓線相角為36°處），定子的最大位移達(dá)到了0.977 mm。

圖4 螺桿馬達(dá)密封腔二維模型（處于極限嚙合位置）Fig.4 Two-dimensional model of screw motor seal cavity(in the limit meshing position)

圖5 壓差作用下螺桿馬達(dá)定子的Mises應(yīng)力云圖Fig.5 Mises stress nephogram of screw motor stator under the action of pressure difference

圖6 壓差作用下螺桿馬達(dá)定子的位移云圖Fig.6 Displacement nephogram of screw motor stator under the action of pressure difference

2.2 溫度的影響

在鉆井工作中，鉆井液循環(huán)使用。因黏性滯后及摩擦而產(chǎn)生的熱量可被不斷循環(huán)使用的鉆井液帶走。本文在采用有限元仿真分析溫度對螺桿馬達(dá)定子的影響時(shí)忽略了該因素，即視井下溫度場為均勻溫度場且不考慮壓力的影響。

圖7 壓差作用下螺桿馬達(dá)定子的位移變化曲線Fig.7 Displacement curve of screw motor stator under the action of pressure difference

在對螺桿馬達(dá)定子的溫度場進(jìn)行有限元分析時(shí)，作如下基本假設(shè)：1）橡膠的材料參數(shù)和熱力學(xué)參數(shù)不隨溫度變化；2）定子與轉(zhuǎn)子在軸向上沒有熱傳導(dǎo)作用（即馬達(dá)軸向上無溫度梯度）。因此，螺桿馬達(dá)定子的三維熱分析問題可簡化為二維平面熱分析問題。

在考慮熱效應(yīng)后，彈性體的正應(yīng)變分為兩部分：1）因溫度改變，彈性體內(nèi)各點(diǎn)自由膨脹（或自由收縮）所引起的正應(yīng)變ε(T)；2）彈性體內(nèi)各部分之間的相互約束所引起的正應(yīng)變ε(S)。則彈性體的總正應(yīng)變ε可表示為：

正應(yīng)變ε(T)具有各向同性的（為相似應(yīng)變），即同一點(diǎn)在每個(gè)方向上產(chǎn)生的壓縮和伸長線應(yīng)變相等，且不存在切應(yīng)變。若溫度變化量為ΔT，彈性體的熱膨脹系數(shù)為α，在二維平面中，則有：

正應(yīng)變ε(S)與由溫度引起的應(yīng)力之間服從Hooke定律，可表示為：

則熱彈性體的本構(gòu)方程為：

其中：

式中：σx、σy分別為x、y方向的總正應(yīng)力；εx、εy分別為x、y方向的總正應(yīng)變；τxy為總切應(yīng)力；γxy為總切應(yīng)變。

由上述本構(gòu)方程可知，溫升對熱彈性體的正應(yīng)力有影響，對其切應(yīng)力無影響。設(shè)螺桿馬達(dá)定子的初始溫度為20 ℃，某井段的溫度為50 ℃。基于上述本構(gòu)方程，將井下溫度作為螺桿馬達(dá)有限元模型單元節(jié)點(diǎn)處的載荷并進(jìn)行仿真分析，得到其定子的Mises 應(yīng)力和位移云圖，分別如圖8 和圖9 所示。從圖8 和圖9 中可以看出，螺桿馬達(dá)定子小徑處的應(yīng)力小、位移大，大徑處的應(yīng)力大、位移小；當(dāng)溫度為50 ℃時(shí)，定子的最大Mises 應(yīng)力為0.026 MPa，最大位移為0.096 mm。

圖8 溫度為50 ℃時(shí)螺桿馬達(dá)定子的Mises應(yīng)力云圖Fig.8 Mises stress nephogram of screw motor stator with temperature of 50 ℃

圖9 溫度為50 ℃時(shí)螺桿馬達(dá)定子的位移云圖Fig.9 Displacement nephogram of screw motor stator with temperature of 50 ℃

在螺桿鉆具鉆進(jìn)過程中，不同井段的溫度不同。分別取井下溫度為50，60，70，80 和90 ℃，對螺桿馬達(dá)定子進(jìn)行仿真分析，提取其位移變化曲線，如圖10所示。由圖10可以看出，在不同溫度下，螺桿馬達(dá)定子位移的變化規(guī)律基本相同，橡膠層越厚處的位移越大；隨著溫度的升高，定子大、小徑處的位移差增大，即溫度越高定子的變形越大；當(dāng)溫度為90 ℃時(shí)，定子大、小徑處的位移差為0.26 mm。

圖10 不同溫度下螺桿馬達(dá)定子的位移變化曲線Fig.10 Displacement curves of screw motor stator under different temperatures

3 螺桿馬達(dá)過盈量及定子廓線設(shè)計(jì)

3.1 過盈量設(shè)計(jì)

過盈配合是為了使螺桿馬達(dá)定子和轉(zhuǎn)子之間形成連續(xù)獨(dú)立的密封腔，并具有一定承壓能力，從而可將鉆井液的液壓能轉(zhuǎn)化為機(jī)械能。因此，螺桿馬達(dá)的過盈量必須合理設(shè)計(jì)，否則會影響螺桿鉆具的工作性能。1）過盈量偏大會導(dǎo)致馬達(dá)轉(zhuǎn)子和定子之間的接觸應(yīng)力和摩擦扭矩增大，從而加速定子的疲勞損壞，縮短螺桿鉆具的使用壽命；2）過盈量偏小會導(dǎo)致螺桿鉆具的承壓能力偏弱，從而導(dǎo)致其工作效率降低。

由密封性能評價(jià)準(zhǔn)則可知［17］：當(dāng)螺桿馬達(dá)定子與轉(zhuǎn)子的接觸應(yīng)力大于相鄰腔室的壓差時(shí)，兩腔室間實(shí)現(xiàn)密封，反之則泄漏。以密封性能評價(jià)準(zhǔn)則為基礎(chǔ)，對螺桿馬達(dá)的過盈量進(jìn)行合理設(shè)計(jì)。假設(shè)螺桿馬達(dá)轉(zhuǎn)子作理想的行星運(yùn)動，忽略其動力學(xué)因素，分別選取過盈量為0.2，0.3，0.4，0.5和0.6 mm，對不同過盈量下定子與轉(zhuǎn)子的接觸應(yīng)力進(jìn)行有限元仿真分析。當(dāng)螺桿馬達(dá)處于極限嚙合位置時(shí)，不同過盈量下其定子與轉(zhuǎn)子的接觸應(yīng)力如表1所示。

若螺桿馬達(dá)定子與轉(zhuǎn)子嚙合的危險(xiǎn)截面（即圖4所示截面）滿足密封條件，則其他截面也滿足。由于螺桿馬達(dá)危險(xiǎn)截面的A點(diǎn)為線接觸，在壓差作用下，定子產(chǎn)生較大的變形，導(dǎo)致該點(diǎn)處的接觸應(yīng)力增大，從而達(dá)到密封條件，而其余各點(diǎn)均為點(diǎn)接觸，因壓差變形而增大的接觸應(yīng)力較小，只有接觸應(yīng)力達(dá)到0.60 MPa才可實(shí)現(xiàn)密封。由表1中可知，只有當(dāng)過盈量不小于0.5 mm時(shí)，螺桿馬達(dá)才能達(dá)到密封條件。

表1 不同過盈量下螺桿馬達(dá)定子與轉(zhuǎn)子的接觸應(yīng)力（處于極限嚙合位置）Table 1 Contact stress between stator and rotor of screwmotor under different interference(in the limit meshing position)

當(dāng)螺桿馬達(dá)轉(zhuǎn)子的公轉(zhuǎn)角為0°時(shí)，定子與轉(zhuǎn)子的線密封長度最長，均勻接觸使得定子與轉(zhuǎn)子的接觸應(yīng)力最小，如圖11所示。

圖11 過盈量為0.5 mm、轉(zhuǎn)子公轉(zhuǎn)角為0°時(shí)螺桿馬達(dá)定子與轉(zhuǎn)子的接觸應(yīng)力分布Fig.11 Contact stress distribution of stator and rotor of screw motor with interference of 0.5 mm and rotor common angle of 0°

對于常規(guī)螺桿鉆具而言，在相同過盈量下其馬達(dá)定子大、小徑處的接觸應(yīng)力不同，小徑處的接觸應(yīng)力必然小于大徑處?；诖?，提出螺桿馬達(dá)定子大、小徑處采用不同過盈量的設(shè)計(jì)方法，在保證密封性的同時(shí)盡可能使大、小徑處的接觸應(yīng)力均衡。經(jīng)過對不同過盈量組合下的螺桿馬達(dá)進(jìn)行有限元仿真分析發(fā)現(xiàn)，當(dāng)定子大徑處過盈量為0.2 mm，小徑處過盈量為0.5 mm，大、小徑間過盈量采用線性插值時(shí)，定子與轉(zhuǎn)子之間既能實(shí)現(xiàn)密封，又能良好地接觸。不同過盈量設(shè)計(jì)方法下螺桿馬達(dá)定子與轉(zhuǎn)子的最大接觸應(yīng)力和Mises 應(yīng)力分別如圖12 和圖13 所示。由圖12 和圖13 可以看出，相較于過盈量均勻設(shè)計(jì)（過盈量為0.5 mm）的螺桿馬達(dá)，過盈量非均勻設(shè)計(jì)的螺桿馬達(dá)的定子與轉(zhuǎn)子的最大接觸應(yīng)力整體減小，減小了0.115 MPa，最大接觸應(yīng)力的平均值由0.904 MPa 減小為0.813 MPa，減小了10.1%，這在一定程度上減輕了定子的接觸磨損。同時(shí)，定子的最大Mises應(yīng)力在整體上也有所減小，最大Mises 應(yīng)力的平均值由1.106 MPa 減小為0.980 MPa，減小了11.2%，這可使定子處的擠壓、剪切作用有所減輕，在一定程度上降低了定子的疲勞損壞速度。

圖12 不同過盈量設(shè)計(jì)方法下螺桿馬達(dá)定子與轉(zhuǎn)子的最大接觸應(yīng)力變化曲線Fig.12 Maximum contact stress curves of stator and rotor of screw motor under different interference design methods

圖13 不同過盈量設(shè)計(jì)方法下螺桿馬達(dá)定子的最大Mises應(yīng)力變化曲線Fig.13 Maximum Mises stress curves of screw motor stator under different interference design methods

3.2 定子廓線設(shè)計(jì)

在壓差作用下，螺桿馬達(dá)危險(xiǎn)截面法向位移的波動較大，且不具有周期對稱性。若按該法向位移曲線對螺桿馬達(dá)過盈量進(jìn)行補(bǔ)償設(shè)計(jì)，則在其他截面下定子與轉(zhuǎn)子嚙合時(shí)會產(chǎn)生較大的接觸應(yīng)力。因此，取壓差作用下螺桿馬達(dá)定子的最大法向位移為臨界值，按照均勻壓力作用下定子的法向位移曲線，對螺桿馬達(dá)的過盈量進(jìn)行設(shè)計(jì)。假設(shè)均勻壓力作用下螺桿馬達(dá)定子的最大法向位移為s1，壓差作用下定子的最大法向位移為s2，將均壓作用下定子的預(yù)補(bǔ)償量放大s2/s1倍，此時(shí)處于危險(xiǎn)截面的定子與轉(zhuǎn)子也能實(shí)現(xiàn)有效密封。在某一特定井段內(nèi)，必然同時(shí)存在壓力和溫度的影響，對此工況下螺桿馬達(dá)的過盈量進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)，假設(shè)壓力與溫度對螺桿馬達(dá)定子廓線的影響是相互獨(dú)立的，耦合壓力和溫度這2種因素引起的變形量，得到所需的定子廓線，如圖14所示，其原點(diǎn)為定子的形心。

圖14 考慮不同影響因素時(shí)螺桿馬達(dá)定子的廓線對比Fig.14 Comparison of stator profiles of screw motor considering different influence factors

4 試驗(yàn)驗(yàn)證

某公司試制的6根螺桿鉆具馬達(dá)的過盈量設(shè)計(jì)方法如表2所示。通過螺桿鉆具整機(jī)臺架試驗(yàn)（試驗(yàn)現(xiàn)場如圖15 所示），獲得螺桿馬達(dá)的性能曲線，如圖16和圖17所示。同時(shí)，根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)，采用參考文獻(xiàn)［18］中的公式，計(jì)算得到螺桿馬達(dá)的總效率與壓降的關(guān)系，如圖18所示。

圖15 螺桿鉆具整機(jī)臺架試驗(yàn)現(xiàn)場Fig.15 Bench test site of screw drilling tool

由圖16至圖18可知：

1）在相同壓降下，過盈量非均勻設(shè)計(jì)的螺桿馬達(dá)的總效率較過盈量均勻設(shè)計(jì)的螺桿馬達(dá)低，這是因?yàn)檫^盈量非均勻設(shè)計(jì)僅為了改善定子與轉(zhuǎn)子的接觸，延長其使用壽命。

2）6個(gè)螺桿馬達(dá)的轉(zhuǎn)速均隨壓降的增大而下降，其中PDM1和PDM4的過盈量最小，密封性能較差，轉(zhuǎn)速下降最快，總效率也最低；PDM2 和PDM5 在設(shè)計(jì)時(shí)補(bǔ)償了壓力對過盈量的影響，其轉(zhuǎn)速最為穩(wěn)定，總效率也最高；PDM3和PDM6在設(shè)計(jì)時(shí)考慮了壓力和溫度的影響，其過盈量較小，但因試驗(yàn)在常溫下展開，故其轉(zhuǎn)速下降得比PDM1和PDM4快，總效率也比PDM1和PDM4低。

表2 6個(gè)螺桿馬達(dá)的過盈量設(shè)計(jì)方法Table 2 Interference design methods for six screw motors

圖16 螺桿馬達(dá)輸出扭矩隨壓降的變化曲線Fig.16 Change curves of output torque of screw motor with pressure drop

圖17 螺桿馬達(dá)轉(zhuǎn)速隨壓降的變化曲線Fig.17 Change curves of rotating speed of screw motor with pressure drop

圖18 螺桿馬達(dá)總效率隨壓降的變化曲線Fig.18 Change curves of total efficiency of screw motor with pressure drop

5 結(jié) 論

本文通過建立螺桿馬達(dá)定子與轉(zhuǎn)子的二維嚙合有限元模型，以轉(zhuǎn)子為基準(zhǔn)，考慮壓力和溫度對馬達(dá)過盈量的影響，提出了一種過盈量非均勻設(shè)計(jì)的方法，并通過螺桿鉆具整機(jī)臺架試驗(yàn)驗(yàn)證了有限元結(jié)果的準(zhǔn)確性，得到如下結(jié)論。

1）螺桿馬達(dá)過盈量均勻設(shè)計(jì)會使其定子與轉(zhuǎn)子的接觸應(yīng)力過高，而采用過盈量非均勻設(shè)計(jì)方法可改善定子的受力狀況。相較于過盈量為0.5 mm的螺桿馬達(dá)，大徑處過盈量為0.2 mm、小徑處過盈量為0.5 mm 的螺桿馬達(dá)的定子與轉(zhuǎn)子的最大接觸應(yīng)力的平均值由0.904 MPa 減小至0.813 MPa，減小了10.1%；定子的最大Mises 應(yīng)力的平均值由1.106 MPa減小至0.982 MPa，減小了11.2%。

2）考慮壓力和溫度的過盈量非均勻設(shè)計(jì)方法可使螺桿馬達(dá)的效率得到有效提升。

綜上，所提出的過盈量非均勻設(shè)計(jì)方法及試驗(yàn)數(shù)據(jù)為螺桿馬達(dá)過盈量及其余參數(shù)的設(shè)計(jì)提供了參考。