一種求解冗余機(jī)械臂逆運(yùn)動學(xué)的自適應(yīng)動態(tài)差分進(jìn)化算法

東輝， 李晨， 姚立綱， 郭金泉， 孫浩

(福州大學(xué)機(jī)械工程及自動化學(xué)院, 福建 福州 350108)

0 引言

冗余機(jī)械臂逆運(yùn)動學(xué)求解是利用機(jī)械臂末端執(zhí)行器位置及姿態(tài)反向求解各關(guān)節(jié)角的過程， 具有非線性、 高耦合的特點， 直接求解存在難度. 目前， 相關(guān)求解方法主要分為三類： 幾何法、 代數(shù)數(shù)值解法和智能算法.

幾何法通常是通過分析機(jī)械臂幾何結(jié)構(gòu)， 結(jié)合空間幾何知識與逆運(yùn)動學(xué)方程來求解逆運(yùn)動學(xué)解. 針對S-R-S構(gòu)型七自由度機(jī)械臂， 胡奎等[1]引入臂角變量， 推導(dǎo)出含有臂角的逆運(yùn)動學(xué)封閉解， 并將關(guān)節(jié)限位與臂角可行范圍進(jìn)行映射， 定義一種避免關(guān)節(jié)限位目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)， 最后將臂角和關(guān)節(jié)角關(guān)系進(jìn)行線性化展開， 提出一種冗余機(jī)械臂逆運(yùn)動學(xué)優(yōu)化算法. Kofinas等[2]把整個NAO類機(jī)械臂劃分為頭部、 兩只手、 兩只腳一共5個部分， 使用Denavit-Hartenberg(D-H)參數(shù)， 對系統(tǒng)非線性方程以及身體和關(guān)節(jié)對稱性進(jìn)行分析， 提出一種高效、 準(zhǔn)確并且能夠避奇異的逆運(yùn)動學(xué)求解方法. Faria等[3]通過求取自運(yùn)動范圍邊界與當(dāng)前自運(yùn)動位置距離最小值來實現(xiàn)避關(guān)節(jié)限位并求逆運(yùn)動學(xué)解， 可實現(xiàn)避奇異以及軌跡規(guī)劃. 霍希建等[4]把七自由度冗余機(jī)械臂簡化結(jié)構(gòu)為肩、 肘、 腕， 新定義避關(guān)節(jié)限位評價函數(shù)， 提出一種關(guān)節(jié)角評價體制和逆運(yùn)動學(xué)求解算法. 然而， 幾何法雖求解速度快、 精度高且不存在誤差積累， 但對不同構(gòu)型機(jī)械臂， 幾何算法需重新推導(dǎo)計算， 其通用性存在一定局限.

代數(shù)數(shù)值解法包括雅可比矩陣偽逆法、 增廣雅可比法、 梯度投影法、 加權(quán)最小范數(shù)法等. Ignacy等[5]以雅可比矩陣為基礎(chǔ)， 對比雅可比矩陣轉(zhuǎn)置法和雅可比矩陣偽逆法， 此外還基于接近目標(biāo)點短距離進(jìn)行評估， 改進(jìn)Levenberg-Marquardt方法， 提出了可靠且計算量較小的算法. Ayusawa等[6]利用迭代法去迭代梯度向量得到近似逆運(yùn)動學(xué)解， 精度較高且求解速度較快. 東輝等[7-8]首先利用平面冗余機(jī)械臂結(jié)構(gòu)參數(shù)結(jié)合傅里葉變換和卷積定理， 構(gòu)建非線性工作空間密度函數(shù)， 再以該密度函數(shù)作為目標(biāo)函數(shù)， 提出一種迭代的逆運(yùn)動學(xué)求解算法. Wan等[9]在原有最小二乘范數(shù)法基礎(chǔ)上增加一個彈性場函數(shù)， 提出一種改進(jìn)最小二乘范數(shù)法. 陽方平等[10]基于加權(quán)最小范數(shù)法， 推導(dǎo)出一種避免計算雅可比矩陣偽逆優(yōu)化方法， 通過七自由度冗余機(jī)械臂證明了該算法在精度、 避免關(guān)節(jié)限位等方面效果. 代數(shù)數(shù)值法盡管精度高且較為可靠， 但計算量巨大且求解過程復(fù)雜， 其所需的雅克比偽逆矩陣計算困難.

隨著計算機(jī)技術(shù)發(fā)展， 許多智能算法也被應(yīng)用到冗余機(jī)械臂逆運(yùn)動學(xué)求解問題上， 其中很多源于自然生物規(guī)律， 比如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法(NN)、 遺傳算法(GA)、 蟻群算法(ACO)等. K?ker等[11]利用10組神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和對應(yīng)數(shù)據(jù)組對一冗余機(jī)械臂進(jìn)行逆運(yùn)動學(xué)求解， 提出一種基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法的冗余機(jī)械臂逆運(yùn)動學(xué)求解機(jī)制. 此外， K?ker還分別融合使用遺傳算法[12]與模擬退火算法[13]對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法進(jìn)行優(yōu)化并用于冗余機(jī)械臂逆運(yùn)動學(xué)求解. Parker等[14]較早使用遺傳算法求解逆運(yùn)動學(xué)問題. 謝習(xí)華等[15]利用改進(jìn)差分進(jìn)化算法求解冗余機(jī)械臂逆運(yùn)動學(xué)， 并與基本差分進(jìn)化算法進(jìn)行比較. Huang等[16]利用粒子群算法求解七自由度冗余機(jī)械臂逆運(yùn)動學(xué)解， 展示了粒子群算法強(qiáng)大粒子間合作及更新能力. Bayati等[17]提出基于布谷鳥算法和帝國主義算法的混合方法解決機(jī)械臂逆解問題. 智能算法具有精度高且速度較快等優(yōu)勢. 但是， 對于冗余機(jī)械臂， 常規(guī)啟發(fā)式搜索算法易陷入局部搜索， 難以尋得最優(yōu)解， 最終將影響逆運(yùn)動學(xué)求解精度. 由此可知， 盡管多種方法成功應(yīng)用于冗余機(jī)械臂逆運(yùn)動學(xué)求解中， 但仍有完善空間.

本研究針對差分進(jìn)化算法易陷入局部搜索等問題， 在基本差分進(jìn)化算法模型基礎(chǔ)上引入自適應(yīng)變異操作與隨機(jī)變動交叉操作, 改進(jìn)了逆運(yùn)動學(xué)算法適應(yīng)度函數(shù)與邊界處理方法， 根據(jù)迭代進(jìn)程調(diào)整搜索強(qiáng)度. 同時, 兼顧機(jī)械臂末端執(zhí)行器位置與姿態(tài)兩類誤差， 借助改進(jìn)后的自適應(yīng)動態(tài)差分進(jìn)化算法在關(guān)節(jié)空間范圍內(nèi)進(jìn)行可行解搜索， 以達(dá)到高效求解冗余機(jī)械臂逆運(yùn)動學(xué)的研究目標(biāo). 應(yīng)用KUKA LBR iiwa七自由度機(jī)械臂模型， 采用自適應(yīng)動態(tài)差分進(jìn)化算法對其進(jìn)行逆運(yùn)動學(xué)求解， 在仿真實驗中重點研究和定量評價了求解精度和穩(wěn)定性. 計算結(jié)果表明， 位置求解精度最高可達(dá)10-7mm， 姿態(tài)誤差不超過10-5rad， 200次迭代計算僅需0.93 s. 在30次重復(fù)定位實驗中， 最低位姿綜合誤差和最高位姿綜合誤差分別是10-7和2.5×10-5， 平均位姿綜合誤差為1.6×10-5. 求解精度和穩(wěn)定性結(jié)果數(shù)據(jù)驗證了方法可行性. 此外， 本方法具有良好普適性， 僅由機(jī)械臂D-H參數(shù)即可求解機(jī)械臂逆運(yùn)動學(xué)問題， 而無需機(jī)械臂結(jié)構(gòu)分解與處理. 因此， 本方法可推廣至多領(lǐng)域內(nèi)相關(guān)機(jī)械臂運(yùn)動分析與控制研究.

1 機(jī)械臂運(yùn)動學(xué)分析

機(jī)械臂運(yùn)動學(xué)包含正運(yùn)動學(xué)以及逆運(yùn)動學(xué)， 正運(yùn)動學(xué)是利用已知的各關(guān)節(jié)角值求取機(jī)械臂末端執(zhí)行器位姿. 使用D-H方法建立機(jī)械臂模型， 以KUKA LBR iiwa 七自由度機(jī)械臂為研究對象， 如圖1所示， 其D-H參數(shù)如表1所示.

圖1 KUKA LBR iiwa機(jī)械臂及其運(yùn)動學(xué)簡圖Fig.1 KUKA LBR iiwa manipulator and the schematic diagram

表1 機(jī)械臂D-H參數(shù)

在機(jī)械臂每個關(guān)節(jié)處建立坐標(biāo)系， 轉(zhuǎn)角α表示繞Z軸轉(zhuǎn)動量， 關(guān)節(jié)角θ代表繞X軸旋轉(zhuǎn)量， 偏距d和連桿長度a分別代表沿X，Z軸移動量， 相鄰連桿位姿變換可用齊次變換矩陣i-1Ti表示：

(1)

其中： 末端執(zhí)行器位姿由所有關(guān)節(jié)共同作用產(chǎn)生， 故機(jī)械臂末端執(zhí)行器在基座標(biāo)中的位姿0T7可以表示為：

(2)

式中：Px，Py，Pz分別表示末端執(zhí)行器在基坐標(biāo)系中X，Y，Z方向的位置.為簡便表示姿態(tài)， 采用Z-Y-Z歐拉角進(jìn)行定義， 即按順序圍繞基坐標(biāo)系中Z，Y，Z軸分別旋轉(zhuǎn)α，β，γ三個歐拉角得到最終姿態(tài)， 歐拉角計算方法如下式所示.若已知機(jī)械臂各關(guān)節(jié)角度值， 代入運(yùn)動學(xué)方程中即可求得末端執(zhí)行器在此關(guān)節(jié)角組合情況下的位姿 (x,y,z,α,β,γ).

(3)

逆運(yùn)動學(xué)求解則是根據(jù)末端執(zhí)行器位置與姿態(tài)反向求解關(guān)節(jié)角， 與正運(yùn)動學(xué)不同， 冗余機(jī)械臂逆運(yùn)動學(xué)解并不具有唯一性. 由公式(2)、 (3)機(jī)械臂自由度至少含有七個自由度， 則方程數(shù)目至少為7， 故運(yùn)動學(xué)方程中自變量數(shù)量大于因變量數(shù)目， 從而導(dǎo)致逆運(yùn)動學(xué)多解現(xiàn)象， 給冗余機(jī)械臂逆運(yùn)動學(xué)的求解造成一定難度.

2 差分進(jìn)化算法

2.1 基本差分進(jìn)化算法

差分進(jìn)化算法(differential evolution algorithm， DE) 由Storn等學(xué)者于1995年提出， 屬于一種仿生算法， 采用基于群體的全局搜索策略， 利用實數(shù)編碼， 具有較強(qiáng)全局收斂能力以及魯棒性， 常用于解決非線性、 不可微等類型的問題. 目前差分進(jìn)化算法已經(jīng)廣泛應(yīng)用在化工、 電力、 信號處理、 機(jī)械設(shè)計等領(lǐng)域. 差分進(jìn)化算法是基于實數(shù)的演化算法， 主要步驟包括種群初始化、 變異、 交叉、 選擇， 其主要思想是在變化量范圍內(nèi)隨機(jī)生成新的種群并選擇若干個體作為交叉、 變異操作對象， 產(chǎn)生新個體， 接著對新個體進(jìn)行適應(yīng)度計算， 直至找到適應(yīng)度值最符合要求的個體， 從而獲得最優(yōu)解. 算法進(jìn)化流程可分為以下幾個步驟.

1)種群初始化. 種群由一定數(shù)量個體組成， 每個個體可以看作是問題的一個解， 并且個體維度與所求問題維度需保持一致. 假設(shè)待解問題包含m個自變量， 則個體維度也為m.若要生成一個包含N個個體種群， 且其中每個個體都是有m維， 種群初始化操作如下所示：

X(i,j)=Xj, min+(Xj, max-Xj, min)×rand(0, 1)

(4)

其中：i=1, …,N;j=1, …,m;X(i,j)表示種群中第i個個體第j維;Xj, min和Xj, max分別表示j維度取值上限與下限; rand(0, 1)表示在[0, 1]內(nèi)隨機(jī)取值.

2)變異. 變異目的是產(chǎn)生與初始種群不同個體， 增加種群個體多樣性， 可增加尋找最到優(yōu)解的概率和速度. 變異是在已有個體中隨機(jī)取若干各異個體進(jìn)行相互運(yùn)算， 從而產(chǎn)生新個體， 采用DE/best/1/bin變異機(jī)制， 其變異方式為：

Vi=Xbest+F(X1-X2)

(5)

式中：Vi表示第i代一個新個體；Xbest是當(dāng)前種群中最符合適應(yīng)度要求的個體；X1，X2是與Xbest相異的個體；F是變異因子， 用于控制偏差大小， 一般有0 ≤F≤ 2.雖然每個個體都是在取值范圍內(nèi)隨機(jī)生成， 但經(jīng)過變異操作后有些個體可能已經(jīng)超出了取值范圍， 所以針對每個個體的每個維度都需要進(jìn)行邊界處理， 常規(guī)邊界處理一般是以超出邊界粒子的最近邊界值替代， 具體操作為：

(6)

3)交叉. 變異是基于個體整體進(jìn)行的運(yùn)算操作， 可以一定程度上增加種群多樣性， 但這種方法仍然不夠靈活. 為進(jìn)一步擴(kuò)大種群多樣性， 差分進(jìn)化算法還可以在個體維度層面進(jìn)行交叉互換， 通過改變個體一部分的方式來產(chǎn)生新個體， 交叉的控制更依賴于交叉因子設(shè)置， 將其與隨機(jī)數(shù)進(jìn)行對比， 更具有隨機(jī)性， 可有效增加個體多樣性， 交叉操作如下所示：

(7)

式中： CR為交叉因子， 取值區(qū)間為[0, 1]；Ui, j，Vi, j，Xi, j分別是三個不同個體在i個體第j維度值.

4)選擇. 差分進(jìn)化算法根據(jù)貪婪原則， 從每個種群中選擇出最佳個體， 再從每次迭代的最佳個體中選擇出最優(yōu)個體， 最終在指定迭代次數(shù)內(nèi)或者精度要求范圍內(nèi)得到最優(yōu)解. 選擇依據(jù)是個體適應(yīng)度函數(shù)值大小， 在最小化問題中一般選擇適應(yīng)度函數(shù)值最小個體作為最優(yōu)解， 最大化問題則通常篩選出適應(yīng)度函數(shù)值最大個體. 以最小化問題為例， 適應(yīng)度函數(shù)值越小， 說明越符合需求， 選擇方式如下：

(8)

2.2 自適應(yīng)動態(tài)差分進(jìn)化算法

在實際情況中， 基本差分進(jìn)化算法易于陷入局部搜索， 其原因在于算法搜索方式一成不變， 隨著迭代進(jìn)行， 算法一直按照固定方式進(jìn)行搜索， 以至于最終可能陷入局部最優(yōu)而找不到全局最優(yōu)解位置. 所以本研究引入了自適應(yīng)變異因子以及隨機(jī)變動交叉因子， 使算法隨著迭代進(jìn)行而調(diào)整搜索強(qiáng)度， 提出一種自適應(yīng)動態(tài)差分進(jìn)化算法.

2.2.1自適應(yīng)變異因子

變異因子F是控制種群多樣性以及收斂性的重要參數(shù)， 基本算法變異因子通常取值為常數(shù)， 導(dǎo)致算法不夠靈活.若F取值過大， 則會導(dǎo)致算法收斂速度變慢且收斂精度降低； 若F過小， 則種群多樣性不夠， 容易出現(xiàn)收斂過早現(xiàn)象.為取得良好收斂效果， 應(yīng)該使算法先進(jìn)行大跨度搜索再小范圍搜索， 即變異因子應(yīng)隨著迭代進(jìn)程減小， 逐漸逼近最優(yōu)解， 故引入如下隨迭代進(jìn)行而變化的自適應(yīng)變異因子：

(9)

其中：F0為變異因子初始值；G為最大迭代次數(shù)；g為當(dāng)前迭代次數(shù).

2.2.2隨機(jī)變動交叉因子

交叉因子CR控制個體各維參與交叉操作程度以及全局種群多樣性， 基本算法交叉因子通常取固定值， 引入隨機(jī)變化機(jī)制可增加交叉隨機(jī)性， 從而增加種群多樣性. 隨機(jī)變動交叉因子操作如下：

CR=0.5×(1+rand(0, 1))

(10)

綜上所述， 自適應(yīng)動態(tài)差分進(jìn)化算法流程如圖2所示.

圖2 自適應(yīng)動態(tài)差分進(jìn)化算法流程圖Fig.2 Flow chart of the adaptive dynamic differential evolution algorithm

3 冗余機(jī)械臂逆運(yùn)動學(xué)求解

冗余機(jī)械臂逆運(yùn)動學(xué)問題具有高度非線性、 高耦合等特點， 機(jī)械臂每個關(guān)節(jié)都有其自身可運(yùn)動范圍， 需要根據(jù)逆運(yùn)動學(xué)求解問題實際特點， 對差分進(jìn)化算法進(jìn)行適當(dāng)修改. 通過分析使用自適應(yīng)動態(tài)差分進(jìn)化算法求解七自由度機(jī)械臂逆運(yùn)動學(xué)實際效果， 發(fā)現(xiàn)以下兩個問題： 1) 位置誤差和姿態(tài)誤差兩者收斂效果差距大， 往往位置收斂精度比姿態(tài)精度高出4～5倍， 即出現(xiàn)了兩種誤差收斂不平衡現(xiàn)象， 同時由于各歐拉角之間存在耦合， 導(dǎo)致姿態(tài)收斂發(fā)生漂移. 2) 常用邊界處理方法使得最后得出的結(jié)果中有些維度取值是邊界極值， 不符合機(jī)械臂實際使用要求， 當(dāng)關(guān)節(jié)角取極值時容易造成機(jī)械臂抖動， 導(dǎo)致機(jī)械臂工作不穩(wěn)定. 針對這些問題， 對適應(yīng)度函數(shù)以及邊界處理進(jìn)行改進(jìn)， 適應(yīng)度函數(shù)主要針對平衡對位置誤差和姿態(tài)誤差， 邊界處理將避免關(guān)節(jié)限位納入考慮.

3.1 適應(yīng)度函數(shù)設(shè)計

冗余機(jī)械臂逆運(yùn)動學(xué)問題可視為末端執(zhí)行器位姿誤差最小化問題， 位置誤差用ΔP表示， 姿態(tài)誤差用ΔR表示：

(11)

其中： Δx， Δy， Δz分別為X，Y，Z方向位置誤差值； Δα， Δβ， Δγ為姿態(tài)誤差.

位置誤差與連桿長度有關(guān)， 姿態(tài)誤差與關(guān)節(jié)角度相關(guān)聯(lián)， 關(guān)節(jié)角度采用弧度制， 所以弧度制與機(jī)械臂連桿長度具有一定倍數(shù)關(guān)系. 正是這種數(shù)量關(guān)系的存在， 使兩種誤差收斂不平衡， 分別為均衡位置誤差與姿態(tài)誤差收斂. 改進(jìn)適應(yīng)度函數(shù)采用加權(quán)處理方法：

f=ωp·ΔP+ωr·ΔR

(12)

分析可知弧度制與連桿單位具有一定倍數(shù)關(guān)系， 當(dāng)設(shè)置ωp=1，ωr=180/π時對位置誤差和姿態(tài)誤差具有良好平衡效果. 對KUKA LBR iiwa機(jī)械臂模型實驗結(jié)果進(jìn)行分析， 由于表示冗余機(jī)械臂姿態(tài)的歐拉角之間存在耦合關(guān)系， 導(dǎo)致歐拉角α的擬合值始終包含0.43 rad的固定漂移增量， 故在計算過程中對歐拉角α進(jìn)行漂移量補(bǔ)償：

(13)

3.2 關(guān)節(jié)邊界處理

常用差分進(jìn)化算法對超出邊界的個體是用邊界值替代， 實際情況中， 機(jī)械臂關(guān)節(jié)角取邊界值不利于機(jī)械臂控制和有載工作， 會造成機(jī)械臂異常抖動使得工作穩(wěn)定性下降， 所以為盡可能避免解中包含關(guān)節(jié)角邊界值， 對于迭代過程中超出邊界的個體進(jìn)行處理， 使其重新從取值范圍中點開始取值， 從而盡可能地避免邊界取值， 關(guān)節(jié)邊界處理操作如下：

(14)

4 仿真實驗

為驗證算法各方面性能表現(xiàn)， 以KUKA LBR iiwa 七自由度機(jī)械臂為實驗對象， 實驗平臺基于Windows 10系統(tǒng)， 硬件條件為Intel Core i7-8700K @ 3.7 GHz， 內(nèi)存大小為16 GB. 利用自適應(yīng)動態(tài)差分進(jìn)化算法進(jìn)行逆運(yùn)動學(xué)求解， 基于Matlab進(jìn)行了三類仿真測試： 算法收斂性測試、 算法穩(wěn)定性測試， 算法對比測試， 所得結(jié)果證明了算法在收斂性以及穩(wěn)定性方面都具有良好效果， 適合用于冗余機(jī)械臂逆運(yùn)動學(xué)求解.

4.1 算法比較測試

為驗證自適應(yīng)動態(tài)差分進(jìn)化算法改進(jìn)后的收斂性和穩(wěn)定性， 把本算法與基本差分進(jìn)化算法進(jìn)行比較， 對同一點位姿進(jìn)行逆運(yùn)動學(xué)求解. 適應(yīng)度函數(shù)由位置誤差與姿態(tài)誤差組成， 為體現(xiàn)綜合性能， 以適應(yīng)度函數(shù)值為評價標(biāo)準(zhǔn)， 分別從收斂性與穩(wěn)定性兩方面進(jìn)行比對.

4.1.1收斂性比對

對于位姿(400, 500, 600, π/2, π/4, π/3)， 設(shè)置自適應(yīng)動態(tài)差分進(jìn)化算法初始變異因子F0為2， 分別使用兩種算法迭代200次進(jìn)行逆運(yùn)動學(xué)求解， 對比兩種方法適應(yīng)度函數(shù)值如圖3所示. 可以發(fā)現(xiàn), 自適應(yīng)動態(tài)差分進(jìn)化算法最終收斂曲線位于基本差分進(jìn)化算法下方， 適應(yīng)度函數(shù)值最終收斂至1.64， 得出解為(399.941 3, 500.015 6, 599.957 7, -0.138 8, 1.114 0, 1.047 3)， 與目標(biāo)位姿相差較大， 尤其是姿態(tài)誤差最大. 改進(jìn)后算法適應(yīng)度函數(shù)收斂值為1.53×10-5， 得出解為(399.999 9, 500.000 1, 600.000 0, 1.570 8, 0.785 4, 1.047 2). 將兩者結(jié)果進(jìn)行對比可發(fā)現(xiàn)， 本算法在精度方面明顯優(yōu)于基本差分進(jìn)化算法. 說明改進(jìn)后算法在收斂性方面優(yōu)于基本差分進(jìn)化算法， 收斂曲線下降趨勢更大， 且基本差分進(jìn)化算法收斂速度一直慢于自適應(yīng)動態(tài)差分進(jìn)化算法， 體現(xiàn)了本算法優(yōu)越性.

圖3 收斂性對比曲線Fig.3 Convergence plots of the two algorithms

4.1.2穩(wěn)定性對比

穩(wěn)定性測試采用重復(fù)定位的方法， 同樣對位姿(400, 500, 600, π/2, π/4, π/3)求解， 分別使用兩種算法迭代30次計算， 記錄每次定位的適應(yīng)度函數(shù)收斂值并對比. 基本差分進(jìn)化算法最大和最小收斂值分別是2.45和1.12， 平均收斂值為1.65， 收斂值變化幅度非常大. 本算法適應(yīng)度函數(shù)收斂值則一直保持在1×10-5附近， 兩者收斂值曲線對比如圖4所示. 由圖4可見， 基本差分進(jìn)化算法不僅收斂值高于本算法， 收斂精度波動幅度也更大， 證明了改進(jìn)后方法具有更好的穩(wěn)定性.

圖4 穩(wěn)定性對比曲線Fig.4 Stability curves of the two algorithms

4.2 自適應(yīng)差分進(jìn)化算法性能測試

4.2.1求解精度測試

對于KUKA LBR iiwa機(jī)械臂末端執(zhí)行器在工作空間內(nèi)的目標(biāo)位姿 (400, 500, 600, π/2, π/4, π/3)，設(shè)置自適應(yīng)動態(tài)差分進(jìn)化算法初始變異因子F0為2， 迭代次數(shù)G為200次， 對這一位姿進(jìn)行逆運(yùn)動學(xué)求解. 計算得到的一組解為(0.127 7， 0.945 3， 1.184 0， 1.331 4， -1.405 0， -1.148 4， 1.850 0)， 適應(yīng)度函數(shù)值為1.4×10-5. 為驗證結(jié)果準(zhǔn)確性， 把這組關(guān)節(jié)角帶入到正運(yùn)動學(xué)方程中， 得到此時末端執(zhí)行器位姿為(399.999 9, 500.000 1, 600.000 0, 1.570 8, 0.785 4, 1.047 2)， 位置最大誤差僅為0.000 1 mm， 姿態(tài)誤差為0 rad， 說明本方法具有較高逆運(yùn)動學(xué)求解精度與計算效率. 計算過程中適應(yīng)度函數(shù)值以及誤差曲線如圖5～7所示. 分別使用ε，η代表位置誤差和姿態(tài)誤差, 假設(shè)工作場合所需位姿綜合精度為10-3(圖中用紅色虛線表示)， 則全局在第73次迭代就已滿足位姿精度要求， 單獨位置精度和姿態(tài)精度分別在第82次和第43次達(dá)到要求精度. 說明改進(jìn)后的算法不僅提高了姿態(tài)收斂精度， 也加快了收斂速度.

圖5 適應(yīng)度函數(shù)收斂曲線 圖6 位置誤差收斂曲線 圖7 姿態(tài)誤差收斂曲線

4.2.2穩(wěn)定性測試

差分進(jìn)化算法屬于隨機(jī)搜索算法， 其搜索過程具有一定隨機(jī)性， 故算法計算效果也具有相應(yīng)隨機(jī)變動， 這種計算精度波動情況可用算法穩(wěn)定性來衡量， 穩(wěn)定性越好， 多次計算平均精度更低且不同次數(shù)間的計算精度差別更為合理. 為檢驗本算法穩(wěn)定性， 實施了重復(fù)定位實驗， 對(400, 500, 600, π/2, π/4, π/3)這一位姿進(jìn)行了30次重復(fù)定位計算并比較適應(yīng)度函數(shù)值變化情況. 在30次計算中， 最低和最高適應(yīng)度函數(shù)值分別為1.0×10-7和2.5×10-5， 平均適應(yīng)度值是1.6×10-5， 適應(yīng)度函數(shù)值變化曲線如圖8所示， 在多次重復(fù)定位測試下， 適應(yīng)度函數(shù)值波動小， 未發(fā)生較大數(shù)值偏差或陷入局部搜索現(xiàn)象， 穩(wěn)定性表現(xiàn)良好.

圖8 重復(fù)定位適應(yīng)度曲線Fig.8 Fitness curve of repeated positioning

4.2.3多點軌跡跟蹤測試

實際工作中， 機(jī)械臂末端執(zhí)行器通過掠過由多個點組成的工作路徑來完成動作， 為測試算法對連續(xù)多點的計算效果， 選定螺旋線和蝴蝶曲線兩種不同曲線用于軌跡跟蹤實驗， 函數(shù)表達(dá)式分別為:

x=cos(t)+400；y=sin(t)+500；z=t

(15)

{y=sin(t)(ecos(t)-2cos(4t)-sin5t12)+500

z=cos(t)(ecos(t)-2cos(4t)-sin5t12)+500

0≤t≤12

首先在曲線上按固定步長選取若干計算點， 螺旋曲線和蝴蝶曲線分別均勻選取100個和500個計算點， 把所有計算點代入計算， 將輸出計算結(jié)果點與標(biāo)準(zhǔn)軌跡進(jìn)行對比. 計算結(jié)果表明， 螺旋線擬合精度最低為2×10-4mm， 最高精度1×10-6mm， 平均精度為1×10-5mm， 蝴蝶線軌跡計算平均精度為1×10-5mm. 對比圖如圖9， 10所示， 兩種曲線計算結(jié)果點全部落在標(biāo)準(zhǔn)軌跡上， 表明算法對于軌跡上多點的位置計算精度高， 軌跡擬合能力較強(qiáng).

圖9 空間螺旋線預(yù)設(shè)軌跡與計算點Fig.9 Preset trajectory and calculated points of a spatial spiral

圖10 “蝴蝶”形曲線預(yù)設(shè)軌跡與計算點Fig.10 Preset trajectory and calculated points of a butterfly-shaped curve

4.3 與其他逆運(yùn)動學(xué)算法對比

目前冗余機(jī)械臂逆運(yùn)動學(xué)求解算法眾多， 每種方法都有其自身特點. 為綜合對比不同算法效果， 列舉了幾種逆運(yùn)動學(xué)算法性能表現(xiàn), 如表2所示. 文獻(xiàn)[18]使用改進(jìn)人工蜂群算法求解七自由度冗余機(jī)械臂逆運(yùn)動學(xué)， 位置計算精度可達(dá)10-3mm. 文獻(xiàn)[19]采用粒子群算法、 遺傳算法、 量子粒子群算法以及引力搜索算法求解四自由度機(jī)械臂逆運(yùn)動學(xué)問題， 求解位置精度較高可達(dá)10-5mm， 但求解時間長， 耗時約為2 s. 文獻(xiàn)[20]使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法， 對七自由度機(jī)械臂單次求解僅需0.1 s， 但位置精度僅為5 mm， 計算速度較快但精度不高. 而同樣針對七自由度冗余機(jī)械臂， 本算法位置計算精度可達(dá)10-7mm， 求解時間也較短， 僅需0.93 s.

表2 幾種逆運(yùn)動學(xué)求解方法對比

5 結(jié)語

采用自適應(yīng)動態(tài)差分進(jìn)化算法求解冗余機(jī)械臂逆運(yùn)動學(xué). 引入自適應(yīng)變異因子以及隨機(jī)變動交叉因子， 隨迭代進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整算法搜索強(qiáng)度， 避免算法過早陷入姿態(tài)局部搜索， 提高了算法收斂性及穩(wěn)定性. 改進(jìn)含加權(quán)操作的適應(yīng)度函數(shù)和關(guān)節(jié)邊界處理操作， 平衡了位置誤差及姿態(tài)誤差收斂. 最后， 完成了一系列數(shù)值仿真實驗， 測試和評價算法收斂性、 穩(wěn)定性， 并與基本差分進(jìn)化算法和其他逆運(yùn)動學(xué)算法完成了比對分析. 結(jié)果表明， 機(jī)械臂位置和姿態(tài)誤差均得到了良好收斂， 方法可普適于冗余機(jī)械臂逆運(yùn)動學(xué)求解.