形式三角矩陣半環(huán)上的雙導(dǎo)子

陳艷平， 莊金洪， 譚宜家

(1. 福建商學(xué)院信息工程學(xué)院， 福建 福州 350012； 2. 福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院， 福建 福州 350108)

0 引言

作為模糊代數(shù)的推廣， 半環(huán)理論已在數(shù)學(xué)的多個(gè)領(lǐng)域以及計(jì)算機(jī)科學(xué)、 系統(tǒng)理論分析與信號(hào)處理、 自動(dòng)機(jī)理論、 開關(guān)理論與控制論、 優(yōu)化理論等其他學(xué)科中有著廣泛的應(yīng)用， 這些學(xué)科領(lǐng)域中的許多問題可轉(zhuǎn)化為某類半環(huán)上的相關(guān)問題[1-2]. 半環(huán)上的導(dǎo)子是半環(huán)理論中重要研究?jī)?nèi)容之一[3-5], 應(yīng)用廣泛[1-2, 6-7]. 文獻(xiàn)[3]討論了交換半環(huán)上的上三角矩陣代數(shù)的 Jordan 導(dǎo)子； 文獻(xiàn)[4]研究了半環(huán)上某些特殊類型的矩陣半環(huán)的導(dǎo)子; 文獻(xiàn)[5]討論了多項(xiàng)式半環(huán)的導(dǎo)子.

形式矩陣環(huán)是一類非常重要的非交換環(huán)， 在有限維代數(shù)和算子代數(shù)研究中較常見， 是環(huán)和模中非對(duì)稱性質(zhì)的構(gòu)造例子和重要反例來源， 也是近期矩陣研究中較活躍的方向之一. 文獻(xiàn)[8]證明了非交換素環(huán)上的形式三角矩陣環(huán)的雙導(dǎo)子必是內(nèi)導(dǎo)子， 推廣了文獻(xiàn)[9]的結(jié)論; 文獻(xiàn)[10]又將此結(jié)論推廣到幺環(huán)上的形式三角矩陣代數(shù)上; 文獻(xiàn)[11]得到了三角代數(shù)上滿足廣義恒等式的導(dǎo)子的結(jié)構(gòu).

1.2.1.2 患者方面:攜帶物品較多;文化層次普遍偏低,習(xí)慣物品亂堆放;對(duì)醫(yī)院規(guī)章制度和病房管理了解甚少,部分病人認(rèn)為與自己無關(guān)。

三角矩陣半環(huán)、 形式三角矩陣環(huán)都是特殊的形式三角矩陣半環(huán). 本文在上述基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究形式三角矩陣半環(huán)上的雙導(dǎo)子， 探討加法可消交換半環(huán)上形式三角矩陣半環(huán)的雙導(dǎo)子的基本性質(zhì)， 及其與兩個(gè)半環(huán)的雙導(dǎo)子及雙半模同態(tài)之間的關(guān)系， 從而獲得三角矩陣半環(huán)雙導(dǎo)子的等價(jià)刻畫.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[1]設(shè)R是一個(gè)非空集合， “+”與“·”是R的兩個(gè)代數(shù)運(yùn)算. 如果以下條件滿足:

a) (R, +, 0) 是一個(gè)交換幺半群， 其中 0 為R的加法恒等元；

很多中小企業(yè)受到傳統(tǒng)管理理念的影響，尚未構(gòu)建科學(xué)完善的管理模式，在實(shí)際工作中仍然采用傳統(tǒng)家族式的管理方法，因此造成對(duì)企業(yè)財(cái)務(wù)工作負(fù)責(zé)的工作人員多數(shù)是企業(yè)領(lǐng)導(dǎo)者的親屬，專業(yè)能力不強(qiáng)，無法結(jié)合市場(chǎng)動(dòng)態(tài)變化對(duì)財(cái)務(wù)報(bào)告進(jìn)行完善，也難以針對(duì)財(cái)務(wù)會(huì)計(jì)工作實(shí)施科學(xué)化的管理，導(dǎo)致在中小企業(yè)的建設(shè)和發(fā)展過程中，不能發(fā)揮出財(cái)務(wù)會(huì)計(jì)管理工作的效能，不僅會(huì)影響中小企業(yè)發(fā)展過程中經(jīng)濟(jì)效益的獲取，甚至?xí)萍s和阻礙中小企業(yè)在當(dāng)前市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)背景下實(shí)現(xiàn)持續(xù)穩(wěn)定發(fā)展的目標(biāo)。

c )對(duì)任意的a,b,c∈R， 均有a·(b+c)=a·b+a·c， (b+c)·a=b·a+c·a；

d) 對(duì)任意的a∈R, 0·a=a·0=0成立；

e) 0≠1.

則稱R為一個(gè)半環(huán)， 記為(R, +, ·, 0, 1) 或簡(jiǎn)記為R.通常，a·b簡(jiǎn)記為ab.

一個(gè)半環(huán)R稱為交換的， 如果?a,b∈R， 均有ab=ba.一個(gè)半環(huán)R稱為非負(fù)的， 如果?a,b∈R由a+b=0 可推出a=b=0.非負(fù)半環(huán)又稱為反環(huán)或零和自由半環(huán)[1].顯然， 任何帶有單位元的環(huán)都是半環(huán)， 每一個(gè)布爾代數(shù)(包括二元布爾代數(shù))、 模糊代數(shù)、 每一個(gè)有界分配格以及任何坡都是非負(fù)交換半環(huán).另外， 非負(fù)實(shí)數(shù)集對(duì)于數(shù)的加法與乘法也構(gòu)成一個(gè)非負(fù)交換半環(huán).

一個(gè)半環(huán)R稱為加法可消的， 如果?a,b,c∈R, 由a+c=b+c可推出a=b.半環(huán)R中的元素a稱為可反的， 如果存在b∈R， 使得a+b=0， 記b=-a， 稱b為a的反元.?c∈R, 定義c-a=c+(-a).易證， 若a是可反元， 則?c∈R,ac與ca均是可反元且-(ac)=(-a)c， -(ca)=c(-a).若R中所有可反元的全體記作V(R)， 則V(R)非空且是R的一個(gè)理想.

定義2[1]半環(huán)R上的一個(gè)左半模(簡(jiǎn)稱左R-半模)是一個(gè)交換幺半群(M, +, 0)， 并且存在一個(gè)映射R×M→M， (r,m)→rm， 滿足對(duì)于任意r,r′∈R,m,m′∈M， 均有：

Ⅰ)r(m+m′)=rm+rm′； Ⅱ) (r+r′)m=rm+r′m；

Ⅲ) (rr′)m=r(r′m)； Ⅳ) 1Rm=m；

(2)網(wǎng)絡(luò)貸款的現(xiàn)狀。根據(jù)艾瑞咨詢數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，2015年我國(guó)網(wǎng)絡(luò)貸款行業(yè)的交易金額達(dá)到8000億元，通過網(wǎng)絡(luò)取得貸款的用戶規(guī)模達(dá)到3970.1萬人。在交易結(jié)構(gòu)中，非消費(fèi)類網(wǎng)絡(luò)貸款大于消費(fèi)類網(wǎng)絡(luò)貸款。

Ⅴ)r0=0=0m.

類似地， 可定義半環(huán)S的右S-半模.一個(gè)交換半群(M, +, 0)如果既是左R-半模又是右S-半模， 則稱其為(R,S)-雙半模， 且滿足?r∈R，m∈M，s∈S均有(rm)s=r(ms).在沒有特殊指明的情況下，R-半模是指左R-半模.左R-半模(右S-半模)稱為忠實(shí)的， 如果?r∈R(?s∈S)， 當(dāng)?m∈M， 均有rm=0(均有ms=0)時(shí)，r=0(s=0).(R,S)-雙半模M稱為忠實(shí)的， 如果M既是忠實(shí)的左R-半模又是忠實(shí)的右S-半模.用V(M)表示半模M中所有可反元的全體， 易證， 若m∈V(M)， 則?r∈R,s∈S， 均有rm,ms∈V(M)且-(rm)=r(-m)， -(ms)=(-m)s.

定義3設(shè)R是一個(gè)半環(huán)，d：R→R是一個(gè)映射且滿足對(duì)于任意的x,y∈R, 均有d(x+y)=d(x)+d(y).d稱為R上的一個(gè)導(dǎo)子[1]， 如果d(xy)=d(x)y+xd(y).

定義4設(shè)R是半環(huán)，d：R×R→R是一個(gè)映射且對(duì)于任意的x,y,z∈R, 均有d(x+y，z)=d(x,z)+d(y,z),d(x，y+z)=d(x,y)+d(x,z).d稱為R上的雙導(dǎo)子[9]， 如果d(xy，z)=d(x,z)y+xd(y,z)，d(x，yz)=yd(x,z)+d(x,y)z.

3.2 普通高校的師資力量有待提高，專業(yè)的定向運(yùn)動(dòng)制圖人才需要大量培養(yǎng)，以滿足學(xué)生對(duì)定向運(yùn)動(dòng)的專業(yè)人才需求。

定義5[9]設(shè)R是一個(gè)半環(huán)，M是左R-半模， 映射f：M→M稱為左R-半模同態(tài)， 如果對(duì)于任意r∈R,m,m′∈M, 均有f(m+m′)=f(m)+f(m′),f(rm)=rf(m).類似可定義半環(huán)的右S-半模同態(tài).設(shè)M是(R,S)-雙半模， 若映射f：M→M既是左R-半模同態(tài)又是右S-半模同態(tài)， 則稱f為(R,S)-雙半模同態(tài).

為了進(jìn)一步提高區(qū)縣級(jí)電視臺(tái)專題節(jié)目的質(zhì)量，在節(jié)目拍攝手段上要下功夫、創(chuàng)新拍攝手段，這樣才能夠讓更多的觀眾產(chǎn)生新的興趣點(diǎn)。中央電視臺(tái)的新聞因具有權(quán)威性，所以專題節(jié)目用詞精準(zhǔn)，所表達(dá)的意思言簡(jiǎn)意賅。而區(qū)縣級(jí)的觀眾從一定程度上來說，觀眾的文化水平以及專業(yè)素質(zhì)相對(duì)較低，在拍攝手段上盡可能以簡(jiǎn)單直觀的方式進(jìn)行拍攝，這樣便于地方觀眾理解，容易引起觀眾的共鳴，一定程度上拉近節(jié)目與群眾之間的距離，吸引觀眾關(guān)注自己的節(jié)目。以普法為例，在劇本上以及人物講述角度上，可以采取第一人稱的拍攝手法，語言通俗易懂，鏡頭簡(jiǎn)單明了，這樣觀眾就更容易理解和掌握法律知識(shí)。

設(shè)M是(R,S)-雙半模.映射f：M×M→M稱為(R,S)-雙半模雙同態(tài)， 如果對(duì)于任意的r,r′∈R,s,s′∈S,m,m1,m′∈M, 均有f(m+m1,m′)=f(m,m′)+f(m1,m′),f(m,m1+m′)=f(m,m1)+f(m,m′),f(rms,m′)=rf(m,m′)s,f(m,r′m′s′)=r′f(m,m′)s′.

四是優(yōu)化綜合利用。積極探索政府、合作社、農(nóng)戶3方利益聯(lián)結(jié)機(jī)制，大力推廣“秸稈全量深翻還田”“秸稈全覆蓋免耕還田”“水田秸稈全量還田”“秸稈能源生態(tài)”等典型利用模式，因地制宜開展“五化”利用。加大秸稈收購(gòu)點(diǎn)設(shè)置，縮短農(nóng)戶與企業(yè)之間的“距離”，減少秸稈田間源頭數(shù)量。例如，沅江市南嘴鎮(zhèn)在7個(gè)村設(shè)置回收點(diǎn)，安排專人負(fù)責(zé)收購(gòu)，效果良好。

定義6[12]設(shè)R,S是兩個(gè)半環(huán)，M是一個(gè)非零的(R,S)-雙半模， 令

在當(dāng)前社會(huì)中，為了能夠促進(jìn)鄉(xiāng)村生態(tài)旅游在互聯(lián)網(wǎng)+背景下得到更好的發(fā)展，那么當(dāng)?shù)氐呢?fù)責(zé)部門就可以充分發(fā)揮出培訓(xùn)機(jī)構(gòu)的作用，選擇合適的培訓(xùn)機(jī)構(gòu)來為鄉(xiāng)村生態(tài)旅游經(jīng)營(yíng)者們提高職業(yè)技能培訓(xùn)，并提供相應(yīng)的平臺(tái)來讓他們互相交流和學(xué)習(xí)。與此同時(shí)，當(dāng)?shù)卣部梢苑e極地引進(jìn)懂得生態(tài)旅游經(jīng)營(yíng)知識(shí)和電子商務(wù)的復(fù)合型人才，對(duì)鄉(xiāng)村生態(tài)旅游經(jīng)營(yíng)者們定期進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)信息化培訓(xùn)和現(xiàn)場(chǎng)指導(dǎo)，使他們都能夠掌握相關(guān)的技能。

不難證明，T是一個(gè)半環(huán), 稱之為形式三角矩陣半環(huán)， 也稱為半環(huán)上的廣義三角矩陣半環(huán).若無特別說明， 本研究中T均表示加法可消的形式三角矩陣半環(huán).

2 主要結(jié)論

引理1設(shè)T=Tri(R,M,S)，d：T×T→T是雙導(dǎo)子.則對(duì)于任意X,Y,U,V∈T， 均有：

1)p(m)∈V(M)， 并且d(rE11,mE12)=rp(m)E12,d(sE22,mE12)=-p(m)sE12,δ(r,r′)m+r′rp(m)=rr′p(m),mγ(s,s′)+p(m)s′s=p(m)ss′.

ⅱ)d(X,Y)VU+XYd(U,V)=d(X,Y)UV+YXd(U,V).

證明 ⅰ)d(0,X)=d(0·0,X)=0·d(0,X)+d(0,X)·0=0， 同理可證d(X,0)=0；d(I,X)=d(I·I,X)=I·d(I,X)+d(I,X)·I=d(I,X)+d(I,X)， 由半環(huán)T的加法可消性， 得d(I,X)=0， 同理可證d(X,I)=0.

ⅱ) 由于d(XU,YV)=Xd(U,YV)+d(X,YV)U=XYd(U,V)+Xd(U,Y)V+Yd(X,V)U+d(X,Y)VU， 同時(shí),d(XU,YV)=Yd(XU,V)+d(XU,Y)V=YXd(U,V)+Yd(X,V)U+Xd(U,Y)V+d(X,Y)UV.于是，XYd(U,V)+Xd(U,Y)V+Yd(X,V)U+d(X,Y)VU=YXd(U,V)+Yd(X,V)U+Xd(U,Y)V+d(X,Y)UV， 由半環(huán)T的加法可消性可得:

d(X,Y)VU+XYd(U,V)=d(X,Y)UV+YXd(U,V)

(1)

證明 1) 設(shè)d(E11,mE12)=δ(m)E11+p(m)E12+γ(m)E22.利用d(E11,mE12)=d(E112,mE12)=E11d(E11,mE12) +d(E11,mE12)E11及T的加法可消性， 可得:δ(m)=γ(m)=0.于是存在映射p：M→M， 使得:

證明 設(shè)d(X,Y)=rE11+mE12+sE22，r∈R,m∈M,s∈S.在式(1)中， 取U=E11,V=m1E12，m1∈M， 利用XY=YX及T的加法可消性， 可得: (rE11+mE12+sE22)(m1E12)=0， 于是,rm1E12=0， 那么,rm1=0.由M是非零忠實(shí)的左R-半模， 得r=0.利用式(1)有:d(E11,m2E12)YX+E11(m2E12)d(X,Y)=d(E11,m2E12)XY+(m2E12)E11d(X,Y).利用XY=YX及T的加法可消性， 可得: (m2E12)(rE11+mE12+sE22)=0， 于是,m2sE12=0， 那么,m2s=0.由M是非零忠實(shí)的右S-半模， 得:s=0.于是，d(X,Y)=mE12,m∈M.

引理3設(shè)T=Tri(R,M,S)， 且M是忠實(shí)的(R,S)-雙半模，d：T×T→T是一個(gè)雙導(dǎo)子.則存在m*∈V(M)、R上的雙導(dǎo)子δ和S上的雙導(dǎo)子γ， ?r,r′∈R，s,s′∈S， 均有:

a)rr′m*=r′rm*，m*ss′=m*s′s；

b)d(rE11,sE22)=d(sE22,rE11)=-rm*sE12；

兵團(tuán)城市的地域性設(shè)計(jì)策略研究——以十三師紅星市中心城區(qū)城市設(shè)計(jì)為例 彭雄亮 姜洪慶2018/01 09

證明 a) 由引理2知， 存在m*∈M， 使得:d(E11,E11)=m*E12.由引理1中 ⅰ)可知，d(E22,E22)+d(E11,E22)=0，d(E11,E22)+d(E11,E11)=0， 所以m*∈V(M).再由T的加法可消性知，d(E22,E22)=d(E11,E11)=m*E12.再利用引理1 中ⅰ)可得:d(E11,E22)=d(E22,E11)=-m*E12.

⑨ ? ? Caronline Rogus，“Fighting the Establishment:The Need for Procedural Reform of Our Paternity Laws”，Michigan Journal of Gender＆ Law，67(21)，2014，p．79，p．98，pp．114 ～115．

b) 由于(rE11)(E22)=(E22)(rE11)=0， 由引理2知， 存在m1∈M， 使得:d(rE11，E22)=m1E12.于是，d(rE11，E22)=d((rE11)E11，E22)=(rE11)d(E11，E22)+d(rE11，E22)E11=(rE11)(-m*E12)+(m1E12)E11=r(-m*E12)=-rm*E12.由于 (rE11)(sE22)=(sE22)(rE11)=0， 由引理2知， 存在m2∈M， 使得:d(rE11，sE22)=m2E12.于是,d(rE11，sE22)=d(rE11，E22(sE22))=E22(m2E12)+(-rm*E12)(sE22)=-rm*sE12.

同理可證，d(sE22,rE11)=-rm*sE12.

(2)

下證δ：R×R→R是R上的雙導(dǎo)子.

d) 類似于c)可證.

引理4設(shè)T=Tri(R,M,S)， 且M是忠實(shí)的(R,S)-雙半模，d：T×T→T是雙導(dǎo)子.則存在(R,S)-雙半模同態(tài)p：M→M和q：M→M， ?r,r′∈R,s,s′∈S,m∈M， 均有:

引理2設(shè)T=Tri(R,M,S)， 且M是忠實(shí)的(R,S)-雙半模，d：T×T→T是雙導(dǎo)子.若X,Y∈T滿足XY=YX， 則存在m∈M， 使得d(X,Y)=mE12.

d(E11,mE12)=p(m)E12

(3)

由引理1中 ⅰ)知,p(m)∈V(M)， 且d(E22,mE12)=-p(m)E12.現(xiàn)設(shè)d(rE11,mE12)=δ(r,m)E11+p(r,m)E12+γ(r,m)E22.由rE11=(rE11)E11及式(3)， 可得:d(rE11,mE12)=(rE11)d(E11,mE12)+d(rE11,mE12)E11=rp(m)E12+δ(r,m)E11.又由mE12=(mE12)E22及引理3 中b)， 可得 :

本課程主要采取項(xiàng)目教學(xué)的方法和一體化教學(xué)的方式。以任務(wù)驅(qū)動(dòng)、項(xiàng)目引領(lǐng)型課程為主體結(jié)構(gòu)，按照實(shí)際工作任務(wù)、工作過程和工作情境來組織課程。從崗位需求出發(fā)，盡早讓學(xué)生進(jìn)入工作實(shí)踐。以工作任務(wù)為中心來整合相應(yīng)的知識(shí)和技能，實(shí)現(xiàn)理論與實(shí)踐的統(tǒng)一，為學(xué)生提供體驗(yàn)完整工作過程的學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)，從而改變以前電工電子的系統(tǒng)教學(xué)框架，使知識(shí)結(jié)構(gòu)、技能要求、教學(xué)內(nèi)容彈性化。教學(xué)過程主要在實(shí)驗(yàn)實(shí)訓(xùn)室完成，讓學(xué)生邊學(xué)邊做，在學(xué)中做、做中學(xué)，將動(dòng)手動(dòng)腦緊密結(jié)合，相得益彰，即完成了一體化教學(xué)。

d(rE11,mE12)=d(rE11,mE12)E22+(mE12)d(rE11,E22)=rp(m)E12

(4)

類似可證d(sE22,mE12)=-p(m)sE12.下證， 映射p：M→M是(R,S)-雙半模同態(tài).

類似可證，ξ(m,m′)ss′=ξ(m,m′)s′s.

克氏綜合征又稱曲細(xì)精管發(fā)育不全癥，其基本臨床特征為：不同程度男性性成熟障礙、小睪丸、無精子癥、青春期明顯乳房發(fā)育、高促性腺激素水平[3]。生殖細(xì)胞減數(shù)分裂過程中染色體不分離導(dǎo)致性染色體二體生殖子產(chǎn)生，是本病的遺傳病理機(jī)制[4]。此病在嬰幼兒期不易發(fā)現(xiàn)異常，青春發(fā)育期睪丸小才被發(fā)現(xiàn)，出現(xiàn)某些女性體征才會(huì)引起注意，但大部分患者因婚后不育到醫(yī)院就診才能確診。絕大多數(shù)的患者射出的外周精液中是沒有精子的，但極個(gè)別報(bào)道精液中偶見精子[5]。本例患者不但精液中有精子，而且妻子自然受孕生育1胎，實(shí)為罕見。其原因可能是其中一條X染色體處于失活狀態(tài)，但具體機(jī)制有待進(jìn)一步研究。

2)類似于1)可證.

b) (R, ·, 1) 是一個(gè)幺半群， 其中 1 為R的乘法恒等元；

① 對(duì)于任意m∈M,p(m),q(m)∈V(M)；

② ?r,r′∈R,s,s′∈S,m,m′∈M， 均有：

δ(r,r′)m′+r′rp(m′)=rr′p(m′),m′γ(s,s′)+p(m′)s′s=p(m′)ss′

δ(r,r′)m+rr′q(m)=r′rq(m),mγ(s,s′)+q(m)ss′=q(m)s′s
rr′ξ(m,m′)=r′rξ(m,m′),ξ(m,m′)ss′=ξ(m,m′)s′s.

證明 充分性： 通過直接計(jì)算可知d是T的雙導(dǎo)子.下證必要性.

由引理4～5， 可得①～②. 證畢.

SF用它的經(jīng)營(yíng)理念更快幫助客戶、對(duì)市場(chǎng)更快更好地做出反應(yīng)：為了提高企業(yè)的市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力不斷地推出新產(chǎn)品，使服務(wù)周期能夠縮短；調(diào)整競(jìng)爭(zhēng)策略，使經(jīng)營(yíng)成本能夠降低。SF為國(guó)民經(jīng)濟(jì)的持續(xù)健康發(fā)展貢獻(xiàn)了稅收做出了積極貢獻(xiàn)，它的企業(yè)規(guī)模也在緩解社會(huì)就業(yè)壓力上做出了應(yīng)有的積極貢獻(xiàn)。

經(jīng)計(jì)算， 可知d：T×T→T是雙導(dǎo)子.

經(jīng)超聲檢查后，本組60例患者均明確診斷，診斷符合率100%，其中慢性闌尾炎急性發(fā)作7例、闌尾周圍膿腫6例、急性化膿性闌尾炎14例、急性單純性闌尾炎26例，急性壞疽穿孔性闌尾炎7例、。其中闌尾腔有糞石者11例。見表。

3 結(jié)論

本研究分析了形式三角矩陣半環(huán)雙導(dǎo)子. 探討了加法可消交換半環(huán)上形式三角矩陣半環(huán)Tri(R,M,S)的雙導(dǎo)子的基本性質(zhì)及判定方法， 給出了形式三角矩陣半環(huán) Tri(R,M,S)的雙導(dǎo)子與兩個(gè)半環(huán)R與S的雙導(dǎo)子及(R,S)-雙半模同態(tài)之間的關(guān)系， 從而獲得了三角矩陣半環(huán)雙導(dǎo)子的等價(jià)刻畫.