一種基于矩陣乘積態(tài)的一維量子幾何糾纏算法

陳愛民，趙毅婕，劉東昌，蘇耀恒

(西安工程大學(xué) 理學(xué)院，陜西 西安 710048)

0 引 言

自從朗道提出針對二級相變的對稱破缺理論以來，多體系統(tǒng)中的量子相變研究一直是凝聚態(tài)物理的研究熱點(diǎn)[1-3]。量子相變是由量子漲落占主導(dǎo)地位而引起的一種量子效應(yīng)。近年來，量子信息科學(xué)取得的驚人進(jìn)展，使人們對多體系統(tǒng)中量子相變研究更加深入。如今，在量子信息中用于分析量子相變的不再是可觀測的物理量，如比熱容、磁化率等，而是直接量化多體系統(tǒng)的波函數(shù)基態(tài)性質(zhì)的量子糾纏[4]、保真度[5]等。實(shí)際上，量子糾纏可以用來量度指定系統(tǒng)各部分之間的量子關(guān)聯(lián)。由于量子漲落，基態(tài)波函數(shù)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)在相變點(diǎn)歷經(jīng)了劇烈變化。顯然，系統(tǒng)的性質(zhì)是純粹由基態(tài)希爾伯特空間的幾何性質(zhì)決定的，無論量子多體系統(tǒng)中是否存在可觀測的序，量子糾纏都可以用于探測量子相變[6-8]。

用于度量量子糾纏的方法已經(jīng)在各種不同的系統(tǒng)中進(jìn)行了大量的測試，其中包括量子Concurrence[9]、von Neumann熵[10]、Renyi熵[11]等，都被證明用于探測量子相變是可行的，甚至有些度量量子糾纏的方法不依賴于模型，是普適的。以上方法基本上是針對于局域的部分糾纏度量，最近人們提出了多體系統(tǒng)中的一種全局糾纏度量的方法——幾何糾纏[12]。這種方法本質(zhì)上是具有幾何意義的，與給定的純態(tài)和一組完全分離的乘積態(tài)之間的距離相聯(lián)系。因此，多體幾何糾纏的奇異行為揭示了更為豐富系統(tǒng)的量子臨界行為，在許多系統(tǒng)中也都得到了驗(yàn)證。

就數(shù)值模擬而言，人們也一直在發(fā)展不同的算法，用以計(jì)算不同系統(tǒng)、不同尺度下的全局幾何糾纏[12-15]；WEI等用解析法計(jì)算了XY模型的幾何糾纏，發(fā)現(xiàn)幾何糾纏和自旋關(guān)聯(lián)之間的深層次聯(lián)結(jié)[12]；ZHANG等在XXZ模型中首次實(shí)現(xiàn)了量子幾何糾纏的實(shí)驗(yàn)?zāi)M[13]；ORS等應(yīng)用矩陣乘積態(tài)(MPS)表示方法開發(fā)算法，計(jì)算了SO(n)雙線性雙二次型模型的全局幾何糾纏，得到了此系統(tǒng)極為豐富的相圖[14]。最近，CHEN等利用無限投影糾纏對態(tài)(iPEPS)表示方法，開發(fā)了針對三腿自旋管子模型的幾何糾纏算法，首次確定了自旋為3/2的三腿自旋管子的相圖[15]。在計(jì)算多體系統(tǒng)的幾何糾纏時(shí)，最關(guān)鍵的步驟是如何尋找到最接近基態(tài)波函數(shù)的最大乘積態(tài)，并且能夠準(zhǔn)確度量最大乘積態(tài)和基態(tài)波函數(shù)之間的接近程度。因此，發(fā)展更為有效的計(jì)算全局幾何糾纏算法，對深層次理解量子糾纏和量子相變是非常重要的。本文針對于多體系統(tǒng)的幾何糾纏模擬，利用近些年才發(fā)展成熟的張量網(wǎng)絡(luò)表示的無限矩陣乘積態(tài)(iMPS)表示方法[16-18]，開發(fā)了一種基于變分方法的算法，用以計(jì)算一維多體系統(tǒng)中基態(tài)的全局幾何糾纏。與之前的算法相比，本算法的優(yōu)勢在于能夠更快地找到所需要的最大乘積態(tài)，并準(zhǔn)確計(jì)算最大乘積態(tài)和基態(tài)波函數(shù)之間的保真度。將本算法在一維橫場中的Potts模型和一維雙線性雙二次型(BLBQ)模型中進(jìn)行驗(yàn)證，結(jié)果顯示對于計(jì)算一維多體系統(tǒng)的幾何糾纏非常有效。

1 幾何糾纏算法

如果糾纏態(tài)由2個分開的糾纏對子系統(tǒng)組成，量化其中的糾纏是非常有意義的。幾何糾纏是用于度量量子基態(tài)波函數(shù)和與之最近的乘積態(tài)之間距離的物理量；幾何糾纏測量的是基態(tài)波函數(shù)中整體糾纏的大小，是糾纏的一個全局量化。這個量度本質(zhì)上是有幾何意義的，因?yàn)閹缀渭m纏與給定的純態(tài)和一組完全分離的乘積態(tài)之間的距離相一致。

系統(tǒng)的幾何糾纏的值隨著系統(tǒng)尺寸的增長呈線性增大，所以很容易定義單位長度上幾何糾纏的值。對于一維晶格系統(tǒng)，若把每個格點(diǎn)看作一部分，那么單位格點(diǎn)的幾何糾纏可以定義為單點(diǎn)幾何糾纏[18]。為了介紹清楚如何測量量子多體系統(tǒng)中的單點(diǎn)幾何糾纏，此處考慮一個一般的具有N個部分的歸一化狀態(tài)|ψ(α)〉，其中α表示系統(tǒng)控制參量。實(shí)際上，量子態(tài)|ψ(α)〉和最接近的N體乘積態(tài)|φ〉之間的最大保真度Λmax(α)=maxφ〈φ|ψ(α)〉可以量化|ψ(α)〉的全局多體幾何糾纏。此處

|φ〉=?as|φi〉

其中:|φi〉表示單個自旋純態(tài);?as表示所有自旋態(tài)張量積。全局單點(diǎn)幾何糾纏GELS定義為[13]

(1)

如果一個量子態(tài)與一個乘積態(tài)越接近，則由定義可知最大保真度變大并且GELS變小。因?yàn)?<Λmax<1，Λmax越大，系統(tǒng)的糾纏越小。如果糾纏態(tài)是由2個分離的糾纏對組成的，那么Λmax就表示這2個糾纏對之間的相似度。因此，可以根據(jù)幾何糾纏廣延的性質(zhì)給出狀態(tài)|ψ(α)〉的全局糾纏定義

(2)

(3)

式中：b是單位格點(diǎn)幾何糾纏有限尺寸修正的最大項(xiàng)系數(shù)。從量子信息的角度看，一個狀態(tài)包含的糾纏越多，它的資源也就越多。因此，需要量化量子系統(tǒng)處于臨界點(diǎn)附近時(shí)的糾纏度。通過糾纏判斷量子多體態(tài)的性質(zhì)，將可能會提供一個解決量子多體問題的新視角。

可以利用圖1(c)計(jì)算出〈ψ|ψ〉對態(tài)|ψ〉的歸一化，而圖1(d)可以計(jì)算出單格點(diǎn)約化密度矩陣。為了計(jì)算單點(diǎn)幾何糾纏GELS，需要計(jì)算〈φ|ψ〉，其中|φ〉是一個任意的N體乘積態(tài)，每一個部分對應(yīng)一個格點(diǎn)。因?yàn)镚ELS定義為交疊函數(shù)〈φ|ψ〉的極大值，因此，在數(shù)值模擬中如何實(shí)現(xiàn)取遍所有可能的乘積態(tài)|φ〉以計(jì)算交疊函數(shù)〈φ|ψ〉，顯得尤為關(guān)鍵。

圖 1 張量網(wǎng)絡(luò)表示下的幾何糾纏算法Fig.1 Geometric entanglement in the tensor network (TN) representation

的對數(shù)對xs(xs∈{as,bs})求導(dǎo)，引入單階指標(biāo)張量xs更新過程:

(4)

其中〈φ|φ〉的張量網(wǎng)絡(luò)表示如圖1(f)所示。一旦獲得了交疊函數(shù)的梯度，則直接可以得到xs的更新

(5)

其中δ表示參數(shù)空間的步長。最后，為了獲得最好的乘積態(tài)|φ〉，使得交疊函數(shù)f最大化，重復(fù)更新過程直到梯度變?yōu)?。這個過程保證了態(tài)|ψ〉和|φ〉之間最大的交疊。

2 數(shù)值結(jié)果

2.1 Potts模型

一維量子模型具有極為豐富的臨界性質(zhì)，是深入理解量子臨界現(xiàn)象的最好選擇。而一維模型中作為一種量子統(tǒng)計(jì)模型，Potts模型一直被人們當(dāng)作算法驗(yàn)證的首選平臺。因此，選擇了一維橫場中的q態(tài)量子Potts模型[19]，其哈密頓量可表示為

(6)

式中：λ表示橫向磁場;Mx/z,p(j)(p∈[1,q-1])是格點(diǎn)j處的q態(tài)Potts自旋矩陣。q態(tài)Potts自旋矩陣寫作

(7)

式中：Iq-1是(q-1)×(q-1)單位矩陣；Mx,p=(Mx,1)p。此模型哈密頓量具有Zq對稱性[20]。如果哈密頓量的基態(tài)不再具有Zq對稱性，系統(tǒng)經(jīng)歷了Zq對稱性破缺，也就是發(fā)生了量子相變。特別地，當(dāng)磁場在λc=1前后變化時(shí)，q態(tài)量子Potts模型經(jīng)歷的是一個有序相和無序相之間的量子相變。這個量子相變起源于Zq對稱性破缺，并將導(dǎo)致有序相中長程序的出現(xiàn)和q個基態(tài)的簡并。

圖 2 三態(tài)Potts模型幾何糾纏GELS和保真度FLS隨λ的變化Fig.2 Variation of geometric entanglement per lattice site (GELS) and fidelity per lattice site (FLS) of three-state Potts model with λ

從圖2可以看出:單點(diǎn)格點(diǎn)保真度FLS在對稱破缺相中出現(xiàn)了2個不同的值，從而分為2支;在λ=1之后2分支合并，從而在λ=1處單點(diǎn)保真度FLS曲線出現(xiàn)奇異。此奇異點(diǎn)對應(yīng)著量子相變點(diǎn)。說明單點(diǎn)保真度FLS不但確定了模型的相變點(diǎn)，而且也確定了有序相中的對稱破缺。對于單點(diǎn)幾何糾纏GELS，其性質(zhì)和單點(diǎn)保真度FLS類似。單點(diǎn)幾何糾纏GELS在對稱破缺相中也出現(xiàn)了2個不同的值，從而分為2支；在λ=1之后2分支合并，從而在λ=1處單點(diǎn)幾何糾纏GELS曲線出現(xiàn)奇異。此奇異點(diǎn)標(biāo)明了量子連續(xù)相變點(diǎn)。所得到的相變點(diǎn)λc=1和單點(diǎn)保真度FLS是相同的，也符合解析解所確定的相變點(diǎn)位置?？梢?，文中所開發(fā)的計(jì)算系統(tǒng)幾何糾纏的算法，在用來刻畫Potts模型量子相變點(diǎn)時(shí)和普適的保真度方法是相同的。

2.2 BLBQ模型

為了更全面地驗(yàn)證本算法的正確性，選擇了更為復(fù)雜、相圖更為豐富的一維自旋為1的BLBQ模型。前人針對此模型的各種物理量已經(jīng)進(jìn)行了詳細(xì)的研究，如不同的糾纏量和邊緣態(tài)的能隙等[23]。已有的研究結(jié)果表明，BLBQ模型具有特殊的自發(fā)二聚化特性[24]。自旋為1的BLBQ模型的哈密頓量可以寫成

(8)

式中：Si是格點(diǎn)i的自旋1算符；J表示最近鄰自旋之間的反鐵磁相互作用；α是雙二次項(xiàng)相互作用系數(shù)。BLBQ模型在AKLT點(diǎn)(α=1/3)是可以得到解析解的，其基態(tài)是有最低激發(fā)能隙的VBS(valence-bond-solid)態(tài)。模型在Takhtajan-Bubujian點(diǎn)(α=-1)和Uimin-lai-sutherland點(diǎn)(α=1)也是有解析解的，這2個點(diǎn)都有無能隙的基態(tài)。對于α<-1，系統(tǒng)是自發(fā)有能隙的二聚化態(tài)，而對α>1是沒有能隙的三重態(tài)。對于在二聚化態(tài)和三重態(tài)之間的-1<α<1，系統(tǒng)處于Haldane相。

圖3計(jì)算了BLBQ模型系統(tǒng)的單點(diǎn)幾何糾纏和單點(diǎn)保真度隨雙二次項(xiàng)相互作用系數(shù)α的變化。數(shù)值計(jì)算中所采用的截?cái)嗑S數(shù)χ=32。

圖 3 BLBQ模型幾何糾纏GELS和保真度FLS隨α的變化Fig.3 Variation of geometric entanglement per lattice site (GELS) and Fidelity per lattice site (FLS) of the BLBQ model with α

從圖3可以看出:隨著參數(shù)α從-2增大到2，單點(diǎn)保真度FLS在α≈-1.05處達(dá)到最大值，在α=1處達(dá)到最小值。這2個位置對應(yīng)著從自發(fā)二聚化相到Haldane相，Haldane相到Trimerized相的2個相變點(diǎn)的位置。從單點(diǎn)幾何糾纏GELS來看，單點(diǎn)幾何糾纏先緩慢減小，在α=-1.05處達(dá)到最小，隨后迅速增大，在α=1處達(dá)到峰值。此變化性質(zhì)正好和保真度所標(biāo)定的相變點(diǎn)是符合的，并且較為接近于精確的相變點(diǎn)位置，說明本文中所開發(fā)的幾何糾纏算法在用于刻畫更為復(fù)雜的雙線性雙二次型模型的量子相變點(diǎn)時(shí)是正確的。

3 結(jié) 語

為研究多體系統(tǒng)中的全局量子幾何糾纏和量子相變，本文利用多體系統(tǒng)的張量網(wǎng)絡(luò)表示，開發(fā)了一種基于變分的計(jì)算系統(tǒng)量子幾何糾纏的算法。通過此算法計(jì)算了三態(tài)Potts模型和BLBQ模型的單點(diǎn)幾何糾纏，并且和系統(tǒng)基態(tài)的單點(diǎn)保真度結(jié)果相互驗(yàn)證。結(jié)果表明，本算法對計(jì)算多體系統(tǒng)中的全局量子幾何糾纏是可行的、有效的。單點(diǎn)幾何糾纏的行為在系統(tǒng)相變點(diǎn)處出現(xiàn)奇異性，可以用于刻畫出量子相變點(diǎn)。在對稱破缺相中，單點(diǎn)幾何糾纏的分叉行為又直接確定了系統(tǒng)對稱破缺的性質(zhì)。計(jì)算結(jié)果與普適的單點(diǎn)保真度方法是吻合的。因而，本文開發(fā)出的系統(tǒng)全局量子幾何糾纏算法，為多體系統(tǒng)的量子糾纏和量子相變研究提供了一個全新而有效的技術(shù)手段。