帶權(quán)高階橢圓方程正解的退化性與正則性

李冬艷，陸 玲

(1.西安工程大學(xué) 理學(xué)院，陜西 西安 710048； 2.陸軍邊海防學(xué)院 數(shù)學(xué)教研室，陜西 西安 710108)

1 引言及主要結(jié)果

本文研究如下帶權(quán)高階半線(xiàn)性橢圓方程

Δ(|x|θΔu)=|x|lf(u),x∈RN

(1)

正解的性質(zhì)，其中，Δ為拉普拉斯算子,θ,l∈R，N≥5，函數(shù)f:[0,∞)→R連續(xù)。令

(2)

顯然,θ∈(4-N,N),N+l>0。除非特殊說(shuō)明,本文所考慮的正解均屬于C4(RN{0})∩C0(RN)空間，且

|x|θ?u∈C0(RN)。

方程(1)起源于如下形式的變分不等式[1]

本文將進(jìn)一步研究方程(1)正解的性質(zhì)。 設(shè)函數(shù)f>0在RN上連續(xù)，p>1,且存在常數(shù)h，使得

(3)

首先，討論方程(1)正解的奇異退化性估計(jì)，結(jié)論如下:

1) 在Ω={x∈RN:0<|x|<ρ}(ρ>0)中，方程(1)的任意正解u∈C4(RN{0})∩C0(RN)且|x|θΔu∈C0(RN)，滿(mǎn)足

(4)

且

其中，v(x)=-|x|θΔu(x)。

2) 在Ω={x∈RN:|x|>ρ} (ρ>0)中，方程(1)的任意正解u∈C4(RN{0})∩C0(RN)且|x|θΔu∈C0(RN)，滿(mǎn)足

|x|>2ρ

(5)

且

定理1的證明是基于Re-scaling變換及Double引理。 此外，還需要雙調(diào)和方程的Liouville定理。特別地，當(dāng)f(u)=up時(shí)，方程組(1)變?yōu)?/p>

Δ(|x|θΔu)=|x|lup,x∈RN

(6)

對(duì)于方程(6)也有同樣的結(jié)論成立，這時(shí)將不再需要條件(3)。

令Hθ,r(B)={u∈Hθ(B):u(x)=u(|x|)}。若u∈Hθ,r(B)且滿(mǎn)足

v∈Hα(B)

則稱(chēng)u是方程

(7)

2 定理1的證明

則x0+Ry∈Ω。 令

則(U,V)滿(mǎn)足方程組

首先證明存在與x0無(wú)關(guān)常數(shù)C>0，使得

(8)

用反證法。假設(shè)存在序列xk∈Ω及(Uk,Vk)滿(mǎn)足

滿(mǎn)足

Mk(zk)>2k(1+dist-1(zk,?B1))>

2kdist-1(zk,?B1)

由Double引理[19]可知，存在序列yk∈B1(0),使得

Mk(yk)>Mk(zk),Mk(yk)>2kdist-1(yk,?B1)

且

(9)

由Mk(yk)>Mk(zk)>2k可知

(10)

令

顯然，

(11)

由式(9)知

|z|≤k

(12)

(13)

式中：

(14)

的非負(fù)經(jīng)典解，且由式(11)知

|U(0)|+|V(0)|+|?U(0)|+|?V(0)|≤C

因此，

且

證畢。

3 定理2的證明

令v(r)=-rθΔu(r)，由定理2條件知v(r)>0，且(u,v)滿(mǎn)足方程組

(15)

(16)

及

(17)

由式(3)知f(s)≤C(1+sp),s≥0，從而

(18)

因此，?ε>0，有

(19)

聯(lián)立式(19)及(17)、(18)可知，當(dāng)r→0時(shí)，rN-1u′(r)→0,rN-1v′(r)→0。對(duì)式(15)兩端同時(shí)積分可得

u∈C2(0,R),v∈C2(0,R)

為證明定理2，只需證明

(20)

其中k0、h0為常數(shù)。由式(2)和條件u(x)∈Hθ,r(B)，有

(21)

從式(21)易知，r在原點(diǎn)0附近有

(22)

又因?yàn)閡(r)是單調(diào)減的，故

(23)

從而由式(23)及(22)可知,r在原點(diǎn)附近，

且

(24)

同理可證

(25)

(26)

由式(24)、(25)可知，當(dāng)t→∞時(shí)，ω(t)→0,χ(t)→0。并且由條件(3)可得

(27)

注意到當(dāng)1

故當(dāng)t→∞時(shí)，

(28)

由于當(dāng)t→∞時(shí)，(w1,w2,w3,w4)→(0,0,0,0)，且在點(diǎn)(0,0,0,0)處對(duì)應(yīng)于方程組(28)的齊次線(xiàn)性方程為

(29)

從而方程組(29)所對(duì)應(yīng)的系數(shù)矩陣為

(30)

意味著存在常數(shù)k0、h0,使得當(dāng)t→∞時(shí)，

故式(20)得證。證畢。

4 結(jié) 語(yǔ)

研究了帶權(quán)高階橢圓方程正解及弱徑向?qū)ΨQ(chēng)解的性質(zhì)，證明了當(dāng)指數(shù)

時(shí)，方程的正解具有奇異退化性，且此奇異退化性?xún)H依賴(lài)于非線(xiàn)性項(xiàng)f在無(wú)窮遠(yuǎn)處的行為。 進(jìn)一步提升了方程在單位球上弱徑向?qū)ΨQ(chēng)解的正則性。