平面圖形概念教學(xué)的“動(dòng)”與“靜”

李丹 王俊亮

摘要：小學(xué)階段，平面圖形的定義往往以靜態(tài)的描述為主，而無論是空間觀念的培養(yǎng)，還是圖形意識(shí)的形成，都需要學(xué)生經(jīng)歷觀察、抽象、想象和描述等活動(dòng)，并在活動(dòng)中形成對(duì)平面圖形本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。小學(xué)階段平面圖形的教學(xué)，應(yīng)緊扣教材“靜態(tài)”定義，輔以操作性的“運(yùn)動(dòng)”視角：靜中求動(dòng)，在“動(dòng)”中建構(gòu)概念;動(dòng)中取靜，在“靜”中突出本質(zhì);動(dòng)靜結(jié)合，在“用”中融會(huì)貫通。

關(guān)鍵詞：平面圖形;概念教學(xué);動(dòng)態(tài);靜態(tài)

“平面圖形”是小學(xué)數(shù)學(xué)課程“圖形與幾何”領(lǐng)域中非常重要的一部分內(nèi)容?，F(xiàn)行小學(xué)數(shù)學(xué)教材對(duì)平面圖形的定義往往以描述性語言為主：給出若干生活中的實(shí)物圖，從中抽取某些圖形，然后明確“像這樣的圖形就是……”。這樣靜態(tài)的描述性定義不能凸顯圖形的性質(zhì)以及知識(shí)之間的聯(lián)系。教學(xué)中，可“靜中求動(dòng)”“動(dòng)中取靜”“動(dòng)靜結(jié)合”，幫助學(xué)生建構(gòu)平面圖形概念。

一、靜中求動(dòng)：在“動(dòng)”中直觀建構(gòu)

嚴(yán)格而言，有關(guān)圖形的概念是提煉到抽象層面的數(shù)學(xué)對(duì)象，這樣的概念是一種理念上的存在。而高度抽象的概念對(duì)于小學(xué)生而言是難以理解的，不能讓學(xué)生很好地感受這些概念的本質(zhì)。小學(xué)生對(duì)平面圖形的認(rèn)識(shí)仍然以感性認(rèn)知為主、抽象思維為輔。對(duì)此，與其讓學(xué)生“說千遍”，不如讓他們“做一遍”，在“動(dòng)”中經(jīng)歷知識(shí)的產(chǎn)生過程，建構(gòu)完整、準(zhǔn)確、“有血有肉”的平面圖形概念。

例如，“射線”和“直線”都是無限長的，是純數(shù)學(xué)抽象的產(chǎn)物，在現(xiàn)實(shí)生活中缺乏有效的直觀形象支撐，諸如探照燈、鐵軌等都是用有限比喻無限，不能真的達(dá)到無限。同時(shí)，學(xué)生對(duì)于“直線”和“射線”的表達(dá)只能在有限的紙面上，在有限中表示無限，這對(duì)學(xué)生的符號(hào)化能力有著較高的要求。于是，教學(xué)“射線、直線和線段的認(rèn)識(shí)”這部分內(nèi)容時(shí)，可借助平移運(yùn)動(dòng)讓學(xué)生經(jīng)歷從點(diǎn)到線的過程。

師（在黑板上畫一個(gè)點(diǎn)）看！這是一個(gè)點(diǎn)。如果把這個(gè)點(diǎn)向右平移，并保留每個(gè)位置上的點(diǎn)，你會(huì)看到什么？

生這些點(diǎn)連成了一條線段。

師你怎么知道它能連成一條線段的？

生以前學(xué)過，直直的、有兩個(gè)端點(diǎn)的就是一條線段。

師如果這個(gè)點(diǎn)繼續(xù)往右平移并保留每個(gè)位置上的點(diǎn)呢？

生那將會(huì)是一條特別長的線段。

師想象一下，如果這個(gè)點(diǎn)一直往右平移，那它還是一條線段嗎？

生我覺得不是線段。因?yàn)殡m然有的線段很長，但還是能測量出長度;如果這個(gè)點(diǎn)一直往右延伸的話，我們就無法測量出它的長度了。

師是的，所以當(dāng)線段的一端無限延伸，就不是線段了，它有一個(gè)新的名字：射線。說說看，你覺得射線是什么樣的？

生把線段的一端無限延長。

師如果兩端都無限延伸，它還是射線嗎？

生應(yīng)該不是了。

生那就是直線了。

師你說得沒錯(cuò)，這是直線。（課件顯示線段、射線、直線圖）比較一下射線、直線和線段，它們之間有什么聯(lián)系和區(qū)別？

生它們都是直直的。

生線段有兩個(gè)端點(diǎn)，射線有一個(gè)端點(diǎn)，而直線沒有端點(diǎn)。

生射線和直線，都可以無限延伸。只不過射線是往一端無限延伸，而直線可以往兩端無限延伸。

生我感覺直線最長，射線其次，線段最短。

生線段是可以測量出長度的，但是我們沒有辦法測量出射線和直線的長度，所以無法比較它們的長度。

生直線、射線、線段很像，都是直的。從直線當(dāng)中截取一部分就能得到射線和線段;也可以把線段的一端無限延伸得到射線，兩端無限延伸得到直線。

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)觀認(rèn)為，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一種自主的、能動(dòng)的、有意義的建構(gòu)過程。而經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)形成的過程，有助于學(xué)生形成知識(shí)的整體建構(gòu)。學(xué)生學(xué)習(xí)圖形，并不是一味地識(shí)記圖形的形狀、名稱、性質(zhì)或量的計(jì)算公式，而要通過具體的操作活動(dòng)去感知、發(fā)現(xiàn)，建構(gòu)正確的空間形式和關(guān)系。從“線”的概念特質(zhì)出發(fā)，直線和射線都是動(dòng)態(tài)的概念?！盁o限延伸”也是動(dòng)態(tài)的，它指向“一端”或“兩端”的永無止境的向前延伸，畫出來的、表示出的直線和射線永遠(yuǎn)只是一部分。因而，把原本教材中和生活中靜態(tài)的“直線”“射線”“線段”都看成“點(diǎn)”的平移運(yùn)動(dòng)的結(jié)果，引導(dǎo)學(xué)生想象“如果這個(gè)點(diǎn)一直往右平移會(huì)怎么樣”，由此感受到“線”是“點(diǎn)”的移動(dòng)軌跡。化靜為動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷直線、射線、線段的產(chǎn)生過程，于動(dòng)態(tài)的情境中建構(gòu)直觀的概念。

二、動(dòng)中取靜：在“靜”中突出本質(zhì)

圖形的運(yùn)動(dòng)是研究圖形性質(zhì)和探索圖形面積計(jì)算的重要工具。在平面圖形概念中，常常會(huì)遇到一個(gè)概念有著多種形狀和位置。以“角”為例，把角看作射線圍繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)出來的圖形，角的大小就可以看作運(yùn)動(dòng)過程中的連續(xù)變量。在這個(gè)動(dòng)態(tài)的過程中，會(huì)產(chǎn)生銳角、直角、鈍角、平角、周角等許多相關(guān)的子概念，并且它們表現(xiàn)出的非本質(zhì)屬性各不相同。教師在教學(xué)中需要“削枝強(qiáng)干”“動(dòng)中取靜”，突出圖形概念的本質(zhì)屬性。

例如，教學(xué)“三角形的面積計(jì)算”時(shí)，教師讓學(xué)生通過對(duì)三角形的紙片進(jìn)行操作，探究三角形面積的計(jì)算方法。

師同學(xué)們都是怎么計(jì)算三角形面積的？

生（展示方法，如下頁圖1）我把兩個(gè)一模一樣的三角形拼成一個(gè)平行四邊形，兩個(gè)三角形的底就是平行四邊形的上底和下底，三角形的高就是平行四邊形的高，所以求出平行四邊形的面積后除以二就是三角形的面積。

生（展示方法，如圖2）我把三角形橫著從中間（中位線）分成兩半，然后把上面的小三角形豎著分成兩半，再旋轉(zhuǎn)一下拼成一個(gè)長方形。長方形的長是三角形的底，長方形的寬是三角形高的一半，所以三角形的面積就是底乘高的一半。

生（展示方法，如圖3）我是在三角形內(nèi)部畫一條高，把這個(gè)三角形分成兩個(gè)小三角形。然后，再過三角形的頂點(diǎn)畫出三角形底邊的平行線和高的兩條平行線，這樣一連就是長方形。從圖上我們看到左邊小三角形的面積是左邊小長方形面積的一半，右邊小三角形的面積是右邊小長方形面積的一半，合起來就是長方形面積的一半，長方形的底是三角形的底，長方形的高是三角形的高，所以三角形的面積就是底乘高除以二。

師大家的方法有很多，這么多種方法之間有什么共同之處呢？

生無論是什么方法，求三角形的面積都是把三角形的底和高相乘再除以二。

生他們都是把三角形剪一剪、拼一拼，或是補(bǔ)一補(bǔ)，轉(zhuǎn)化成長方形或者平行四邊形，然后再用這些圖形的面積除以二。

生我覺得這里都是把沒有學(xué)過的圖形轉(zhuǎn)化成學(xué)過的圖形，然后再找到它們之間的關(guān)系，算出新圖形的面積。

……

對(duì)于剛剛進(jìn)入多邊形面積學(xué)習(xí)的學(xué)生而言，利用圖形的運(yùn)動(dòng)展開空間想象是具有一定的學(xué)習(xí)難度的?！皠?dòng)”具有不確定性，學(xué)生不好把握，怎樣突破“動(dòng)”帶來的多樣變化產(chǎn)生的不確定性呢？小學(xué)生對(duì)圖形的認(rèn)知遵循著“直覺動(dòng)作思維—直觀表象思維—抽象邏輯思維”的規(guī)律，于是，教師設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生借助實(shí)驗(yàn)操作，展開自主研究。學(xué)生利用圖形的變化，將三角形轉(zhuǎn)化為平行四邊形或長方形，進(jìn)而推導(dǎo)出三角形的面積公式。這個(gè)過程是動(dòng)態(tài)的，而為了讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)動(dòng)態(tài)過程中不變的規(guī)律，需要抓住平面圖形概念的“邊界”，讓它“靜”下來。教師利用板書、課件以及學(xué)生自己的作品，定格住操作過程中的關(guān)鍵片段，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“求三角形的面積都是把三角形的底和高相乘再除以二”“都是把沒有學(xué)過的圖形轉(zhuǎn)化成學(xué)過的圖形”。

平面圖形概念教學(xué)，通過“動(dòng)”能夠多元地、直觀地呈現(xiàn)出知識(shí)本身的結(jié)構(gòu)，便于學(xué)生理解概念;而“靜”下來的片段更有利于學(xué)生進(jìn)行觀察、對(duì)比，發(fā)現(xiàn)背后的規(guī)律。教師需要以核心問題串聯(lián)起整個(gè)學(xué)習(xí)活動(dòng)，“動(dòng)”中取“靜”，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“運(yùn)動(dòng)”背后那不變的真理，強(qiáng)化對(duì)知識(shí)本質(zhì)的理解。

三、動(dòng)靜結(jié)合：在“用”中融會(huì)貫通

數(shù)學(xué)對(duì)象是明確定義的產(chǎn)物，數(shù)學(xué)結(jié)論又是按照相應(yīng)的定義與給定的推理規(guī)則進(jìn)行推理的結(jié)果，因此，數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)就完全反映于它們的相互關(guān)系。這也是指數(shù)學(xué)對(duì)象的建構(gòu)實(shí)際上是一種整體性的建構(gòu)活動(dòng)。教師需要以整體的視野，采用“動(dòng)靜結(jié)合”的方法，確定教學(xué)目標(biāo)，預(yù)設(shè)教學(xué)過程。在教學(xué)中還要注意從知識(shí)體系和學(xué)生已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)等多方面理清各平面圖形的核心概念和學(xué)習(xí)過程，使得不同年級(jí)平面圖形的學(xué)習(xí)連貫一致又各有側(cè)重，循序漸進(jìn)又不脫節(jié)。

例如，為了讓二年級(jí)學(xué)生真正認(rèn)識(shí)角，教師在觀察“靜態(tài)角”的基礎(chǔ)上，從“運(yùn)動(dòng)”的角度展開了如下教學(xué)：

（教師課件展示圖4所示的角的教具，要求學(xué)生指出角的頂點(diǎn)和邊。）

師要想讓這個(gè)角變得更大一些，可以怎么做呢？請(qǐng)你從材料袋中選擇合適的材料，自己動(dòng)手試一試。

（學(xué)生活動(dòng)。教師選擇學(xué)生作品交流。）

師（出示圖5）老師把小明同學(xué)的作品拍了下來，請(qǐng)同學(xué)們看看，角變大了嗎？你是怎么想的？

生變大了。

（不少學(xué)生點(diǎn)頭附和。）

生我覺得角并沒有變大，他只是把這個(gè)角的邊延長了，（用手在角的兩邊之間畫出一道圓?。┙堑拇笮∈强催@個(gè)地方。

師你們聽懂他的意思了嗎？

生他的意思是，這個(gè)角和原來的那個(gè)角（用手比畫）這個(gè)地方是一樣大的，只是邊延長了。

師哦，老師明白你們的意思了，（用手比畫）角是看這里的。這兩個(gè)角這里是一樣大的，你們同意嗎？這樣吧，我們來比一比這兩個(gè)角。（手持兩個(gè)角，緩慢靠近至重合）看，它們一樣大嗎？

生（齊）一樣大。

師如果我們把這個(gè)角的兩條邊再延長一點(diǎn)呢？

生還是跟原來的角一樣大。

師如果再延長呢？一直延長到100米、1000米、10000米……呢？

生（齊）還是一樣大。

生不管怎么延長，因?yàn)閮蓷l邊叉開的大小不變，角還是原來那么大。

師是的。角的兩條邊叉開的大小不變，不管怎么延長邊，角的大小都是不變的。那如果縮短呢？自己想一想、試一試，再和同桌說一說。

生我覺得不管邊怎么縮短，角的大小也是不變的。

師也就是說，不管邊是延長還是縮短，只要角的兩條邊叉開的大小不變，角的大小都是不變的。那怎么才能讓這個(gè)角更大呢？請(qǐng)你來演示給我們看一看。

（學(xué)生把活動(dòng)角的兩條邊向外拉。）

師變大了嗎？我們來比一比。

（教師手持兩個(gè)角，緩慢靠近。）

生（齊）變大了。

師那怎么變小呢？

生（邊說邊操作）把它的兩邊向里面慢慢地收。

師是啊，生活中這樣的現(xiàn)象也不少見呢，我們來一起看一看吧。

（教師出示鬧鐘的指針走動(dòng)、扇子開合、剪刀開合等的動(dòng)態(tài)圖。）

“動(dòng)態(tài)角”從不同于“靜態(tài)角”的層面揭示了角的本質(zhì)內(nèi)涵，反映兩個(gè)方向（兩條射線）的差異。通過“旋轉(zhuǎn)”，學(xué)生一步步感受到角的兩條邊位置的變化所帶來的角的大小的變化，豐富了對(duì)角的認(rèn)識(shí)。同時(shí)，在“動(dòng)態(tài)角”的操作過程中，學(xué)生還經(jīng)歷了銳角、直角、鈍角的產(chǎn)生過程，為四年級(jí)的角的再認(rèn)識(shí)以及線與線的位置關(guān)系做了鋪墊。教師借助“動(dòng)態(tài)”的操作和“靜態(tài)”的呈現(xiàn)，從兩個(gè)不同角度去表征，幫助學(xué)生在對(duì)比中清晰地理解角的本質(zhì)內(nèi)涵，使后續(xù)角的特征的探索過程變得更加流暢。

“動(dòng)靜結(jié)合”在勾連同類型知識(shí)之間的關(guān)系時(shí)也有不錯(cuò)的功效。如六年級(jí)復(fù)習(xí)平面圖形時(shí)，可引導(dǎo)學(xué)生通過梯形上底的變化，建立求平面圖形面積的通性通法：把梯形的上底延長至和下底一樣長，就能得到長方形（正方形）或平行四邊形;把梯形的上底縮短為0，就能得到三角形。在動(dòng)態(tài)變化、靜態(tài)內(nèi)化的過程中，學(xué)生自然建構(gòu)起平面圖形的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

*本文系全國教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2020年度教育部重點(diǎn)課題“小學(xué)數(shù)學(xué)核心知識(shí)建構(gòu)的教學(xué)研究”（編號(hào)：DHA200370）的階段性研究成果。

參考文獻(xiàn)：

[1]?侯正海.“圖形的認(rèn)識(shí)”教學(xué)中的幾個(gè)關(guān)鍵問題[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2018（7/8）.

[2]?章飛，凌曉牧，陳蓓，等.小學(xué)數(shù)學(xué)研究與教學(xué)指引[M].南京：南京大學(xué)出版社，2016.

[3]?袁菁華.結(jié)構(gòu)化視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)[J].江西教育，2020（12）.

[4]?王林，等.小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)研究與實(shí)踐[M].南京：江蘇教育出版社，2011.

[5]?周正娟.結(jié)構(gòu)化教學(xué)：促進(jìn)兒童有效建構(gòu)的必要途徑[J].福建教育，2018（23）.

[6]?王俊亮，戴爾康.動(dòng)待花開助力成長——突破起點(diǎn)型核心知識(shí)教學(xué)困境的思考[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2018（10）.