巧用對比　加深感悟

劉兆偉

小學數(shù)學教學不應當只關注顯性的知識與技能，還應當關注知識技能背后的數(shù)學思想。如何將隱含的數(shù)學思想凸顯出來，對比感悟是個好方法。下面以數(shù)形結合思想為例，談談筆者的實踐與思考。

一、在抽象與直觀的對比中，感悟數(shù)形結合思想

數(shù)學概念是數(shù)學知識體系的基石，正確、深入地理解數(shù)學概念對于后續(xù)的數(shù)學學習有著十分重要的作用。數(shù)學概念是抽象的，而小學生的思維以形象思維為主，數(shù)學概念的抽象性與學生思維的形象性形成了一個矛盾，數(shù)形結合思想就是解決這個矛盾的有效方法。在教學抽象的數(shù)學概念時，教師可以借助圖形讓學生感悟數(shù)學概念的本質(zhì)內(nèi)涵，同時通過圖形的直觀性與數(shù)學概念的抽象性的對比，讓學生感悟數(shù)形結合思想。

如教學蘇教版數(shù)學教材五年級下冊“質(zhì)數(shù)和合數(shù)”一課時，教材中對于質(zhì)數(shù)和合數(shù)是這樣描述的：“2、3、5這幾個數(shù)只有1和它本身兩個因數(shù)，像這樣的數(shù)叫作質(zhì)數(shù)（或素數(shù)）。”“6、8、9這幾個數(shù)除了1和它本身還有別的因數(shù)，像這樣的數(shù)叫作合數(shù)?！边@樣的描述是抽象的，不利于學生理解質(zhì)數(shù)和合數(shù)的本質(zhì)內(nèi)涵。在教學這一內(nèi)容時，筆者在研究得到20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)后，讓學生思考用質(zhì)數(shù)個同樣的小正方形拼長方形或大正方形有幾種不同的拼法，學生通過畫圖與觀察，發(fā)現(xiàn)都只有一種拼法。接著讓學生用合數(shù)個同樣的小正方形拼長方形或大正方形，學生通過畫圖與觀察，發(fā)現(xiàn)都不止一種拼法（如圖1）。

隨后，筆者讓學生思考為什么用質(zhì)數(shù)個小正方形拼長方形或大正方形只有一種拼法，而合數(shù)個小正方形拼長方形或大正方形不止一種拼法。通過思考學生發(fā)現(xiàn)，表示質(zhì)數(shù)的乘法算式只有一個，即1與這個質(zhì)數(shù)相乘，所以拼成的長方形只有一種。而表示合數(shù)的乘法算式卻有兩個或兩個以上，所以拼成的長方形或大正方形不止一種。這樣，質(zhì)數(shù)和合數(shù)的概念就與相應圖形聯(lián)系起來了，它們在學生頭腦中就不再是抽象的文字，而是變成了可以感知、可以想象的圖形，原本抽象枯燥的數(shù)學概念就變得形象生動了。

二、在復雜與簡單的對比中，感悟數(shù)形結合思想

計算是小學數(shù)學的重要內(nèi)容，一般的算式只要按照運算順序和法則就能夠算出得數(shù)，而有些存在規(guī)律的算式，如果按照常規(guī)運算順序進行計算，過程可能會非常復雜，而如果能通過數(shù)形結合找到其中的規(guī)律，計算就會變得很簡單。在復雜與簡單的對比中，讓學生感悟數(shù)形結合思想及其價值。

如教學蘇教版數(shù)學教材五年級下冊“解決問題的策略”例2，教材中先讓學生計算[12+14+18+116]，然后借助圖形讓學生發(fā)現(xiàn)這道算式可以轉化成[1-116]來計算（如圖2）。

筆者為了讓學生對數(shù)形結合思想產(chǎn)生強烈的感覺，將“練一練”中的[12+14+18+116+132+164+1128]調(diào)整為例題來教學。首先，讓學生嘗試計算這道算式，有的學生按照運算順序依次計算，還有的學生先將所有分數(shù)通分成同分母分數(shù)再計算。不管用哪種方法計算，過程都非常復雜。此時有些學生產(chǎn)生了尋求更簡單的算法的需要。隨后，筆者引導學生觀察算式中加數(shù)的特點，學生通過觀察發(fā)現(xiàn)前一個分數(shù)是后一個分數(shù)的兩倍。接著，引導學生像教材例題中那樣，用一個正方形表示1，并在這個正方形中表示[12+14]，然后引導學生依據(jù)圖形發(fā)現(xiàn)[12+14]與[1-14]的計算結果相等，接著讓學生繼續(xù)結合圖形發(fā)現(xiàn)，[12+14+18]與[1-18]的計算結果相等，[12+14+18+116]與[1-116]的計算結果相等。最后，學生根據(jù)算式中加數(shù)的特點歸納出，這些算式都可以用1減去最后一個加數(shù)來計算。按照這樣的規(guī)律加下去，“練一練”中的算式可以用[1-1128]來計算，并且按照這樣的規(guī)律繼續(xù)加下去，仍然可以用這樣的方法來計算。

三、在困難與容易的對比中，感悟數(shù)形結合思想

在解決問題教學中，常用畫線段圖的方法幫助學生分析與理解題意。線段圖能夠直觀地表示出文字敘述的條件和問題，使原本抽象的數(shù)學問題變得易于理解。在教學中，很多教師先要求學生畫線段圖表示題目中的條件和問題，然后讓學生根據(jù)線段圖思考解決問題的路徑。雖然學生根據(jù)線段圖能夠很容易想到解題思路，但由于畫線段圖是按照老師的要求做的，所以學生無法感受到數(shù)形結合思想的價值。教學時，我們不妨先讓學生獨立嘗試解決問題，在學生探尋解題思路遇到困難時，再讓他們用畫線段圖的方法來幫助思考，找到解決問題的思路或突破口，從而在困難與容易的對比中，讓學生感悟數(shù)形結合思想及其價值。

如教學蘇教版數(shù)學教材四年級下冊“解決問題的策略”時，教材中例1：小寧和小春共有72枚郵票，小春比小寧多12枚。兩人各有郵票多少枚？筆者在出示例題后，讓學生解決這個問題。有的學生想到“去多法”，即先把小春比小寧多的12枚去掉，此時兩人的郵票枚數(shù)就同樣多了，郵票總枚數(shù)就變成了72-12=60（枚），再用60÷2=30（枚），得到小寧的郵票枚數(shù)，最后用30+12=42（枚），得到小春的郵票枚數(shù)。還有的學生想到“補少法”，即先給小寧補上12枚郵票，此時兩人的郵票枚數(shù)也變得同樣多，郵票總枚數(shù)就變成了72+12=84（枚），再用84÷2=42（枚），得到小春的郵票枚數(shù)，最后用42-12=30（枚），得到小寧的郵票枚數(shù)。此時，筆者讓想出這兩種方法的學生講解自己的解題思路，有不少學生難以解釋自己的解題思路，說明這些學生對解題思路的認識是模糊的。

于是，筆者讓學生畫線段圖表示題目中的條件和問題，當有了線段圖后，原本不能解釋自己解題思路的學生能夠清晰地解釋自己的想法，原本沒有解題思路的學生很容易理解了上述兩種解題思路，但仍有少部分學生還不能明白這兩種解題思路。此時，筆者用課件分別將線段圖與兩種解題步驟中的每一道算式同步動態(tài)演示。演示完后，有不少學生能根據(jù)兩種解題思路中的共同點（都是先將小寧和小春的郵票枚數(shù)變得同樣多）想到了“均分法”（如圖3）。

四、在模糊與精確的對比中，感悟數(shù)形結合思想

數(shù)形結合思想在數(shù)學中的應用主要有兩類，分別是“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”。在小學數(shù)學教學中，在解決很多與圖形相關的問題時，如果僅依據(jù)對圖形的觀察，憑直覺去判斷，有時是不夠準確的，甚至會出現(xiàn)錯誤，而如果賦予圖形恰當?shù)臄?shù)值，通過具體數(shù)值的精確計算能夠幫助學生深入地理解圖形問題，做出準確的判斷。從而讓學生在模糊與精確的對比中，感悟數(shù)形結合思想及其價值。

如教學蘇教版數(shù)學教材五年級下冊“整理與復習”中的一道習題時（如圖4），為了讓學生感悟數(shù)形結合思想，在教學此題時，筆者先呈現(xiàn)三幅圖形，并將此題改為：“將三塊一樣大的正方形鐵皮，分別按右圖剪下不同規(guī)格的圓片，剩下的鐵皮面積相等嗎？”由于將原題中“邊長都是12厘米”去掉了，解決此問題時，學生只能根據(jù)直覺進行判斷，大部分學生認為第一張鐵皮剩下的面積最大，最后一張鐵皮剩下的面積最小;還有些學生認為剩下的鐵皮面積相等。由于這兩類學生的判斷都是依據(jù)模糊的直覺，所以都不能說服對方。有部分學生開始想到用假設法來進行解釋，即假設正方形的邊長是4厘米、8厘米、12厘米……并通過計算發(fā)現(xiàn)，不管正方形的邊長是多少厘米，剪掉的圓的總面積都相等，所以剩下的鐵皮面積也相等。并且還有學生想到，按照這樣的方式在這張正方形鐵皮中剪去9個、25個、36個同樣大小的圓片，剩下的鐵皮面積也是一樣的。

（作者單位：江蘇省高郵實驗小學）